高校数学I 二次方程式と判別式—実数解の個数を放物線と横軸の位置から読む｜武蔵野個別指導塾

判別式が0になる重解を平方完成で確かめ、係数が消える場合も含めて実数解の個数を判定します。

よくあるのは、定期テストの復習で判別式が0になり、実数解なしと書いてしまう場面です。平方根の中が負なら実数の範囲で平方根を取れませんが、0なら平方根は0です。この違いを式と図の両方で確かめましょう。横軸に放物線が触れる1点も、方程式の解に対応します。

答えるものを先に決める

二次方程式と判別式の問題には、主に3つの型があります。1つ目は方程式そのものを解き、実数解を具体的に書く型です。因数分解できる形なら積が0になる条件を使い、難しいときは解の公式を選びます。2つ目は解を求めず、実数解の個数を答える型です。この場合は判別式の符号で判断できます。3つ目は文字を含む係数について、指定された個数の実数解を持つ条件を求める型です。

個数だけを問われたときも、異なる2個なのか、重解として1個なのかを区別します。重解を「2個」と数える扱いもありますが、ここでは異なる実数解の個数を数え、重解は1個とします。実数解がないという結論は、解の値が0という意味ではありません。0が解かどうかは、元の式に0を代入して確かめられます。

判別式が示す3通り

実数を係数とする ax² + bx + c = 0 を考えます。ただし a は0ではありません。a = 0 なら二次方程式ではなくなり、これから使う公式の分母も0になるので、先に別扱いします。左辺を y とした放物線と横軸の共有点では y = 0 です。したがって共有点の x 座標が方程式の実数解です。

図1のように、放物線が横軸と2点で交われば異なる実数解は2個、頂点で接すれば1個、共有点がなければ0個です。上に開く場合も下に開く場合も、この対応は変わりません。判別式 D = b² − 4ac の符号が、この3通りを分けます。

その理由を平方完成で追います。元の式を a で割り、定数項を右に移して左辺を平方の形にすると、次のようになります。

x² + (b/a)x = -c/a

(x + b/(2a))² = (b² − 4ac)/(4a²)

ここで 4a² は正です。右辺の符号は D の符号と同じになります。D が正なら平方が正の数になるので、括弧の中は正と負の2通りです。D が0なら括弧の中は0の1通りです。D が負なら実数の平方は負にならないので、実数解はありません。

平方根を使って整理したものが解の公式 x = (-b ± √D)/(2a) です。± は正負の2つを表しますが、D = 0 では足しても引いても同じ値になります。公式を機械的に読むより、平方が0になる場合に戻ると個数を判断しやすくなります。

基本例題：係数をそろえて公式へ

問題：方程式 2x² − 3x − 2 = 0 の実数解を求め、整数または正確な分数で答えてください。

まず左辺を0と比較する形になっていることを確かめます。係数は a = 2、b = -3、c = -2 です。特に b と c は符号を含めて読みます。判別式は次のようになります。

D = (-3)² − 4 × 2 × (-2)

= 9 + 16

= 25

D は正なので、異なる実数解が2個あります。解の公式に代入すると、分子の -b は3です。

x = {3 ± √25}/4

= (3 ± 5)/4

よって x = 2 または x = -1/2 です。分母の 2a は2ではなく4です。± の2通りを別々に計算すると、片方の解を書き落としにくくなります。

図2のように、左辺を y とした放物線は x = -1/2 と x = 2 で横軸を横切ります。計算を元の式へ戻します。x = 2 では 2 × 2² − 3 × 2 − 2 = 8 − 6 − 2 = 0 です。x = -1/2 では 2 × (1/4) + 3/2 − 2 = 1/2 + 3/2 − 2 = 0 です。どちらも問題で与えられた左辺を0にするので、求める値として適切です。

この式は (2x + 1)(x − 2) = 0 と因数分解しても解けます。積が0なら少なくとも一方の因数が0なので、2x + 1 = 0 または x − 2 = 0 です。公式で出した答えと同じになります。因数分解を選ぶ場合は、展開して中間の項が -3x に戻ることまで見ておくと符号の誤りを拾えます。

文字を含むときの境目

問題：実数 k について、方程式 x² − 2x + k = 0 が異なる実数解を2個持つ k の範囲を求めてください。範囲は不等号で正確に表してください。

二次の係数は常に1なので、k の値によって二次方程式でなくなる心配はありません。ここで a = 1、b = -2、c = k として判別式を計算します。

D = (-2)² − 4 × 1 × k

= 4 − 4k

異なる実数解が2個という条件は D > 0 です。したがって 4 − 4k > 0 を解き、k < 1 を得ます。境界の k = 1 は含めません。そのときの式は x² − 2x + 1 = 0、つまり (x − 1)² = 0 となり、実数解は x = 1 の1個だからです。

k > 1 なら D < 0 で実数解はありません。k < 1 の例として k = 0 を元の式へ戻すと x² − 2x = x(x − 2) = 0 で、0と2の異なる2個が得られます。これは範囲全体の証明ではなく、求めた条件と元の式が合うかを見る確認です。範囲全体は D > 0 と同値な変形から導いています。

文字が二次の係数に入る問題では事情が変わります。例えば t x² + x + 1 = 0 なら、t = 0 で x + 1 = 0 という一次方程式です。t が0でない場合に限って二次方程式の判別式を使い、t = 0 を元の式で別に調べます。判別式だけで分類しようとすると、二次の係数が消える境界を見落とします。

誤答を式から直す

「x² − 6x + 9 = 0 は D = 0 だから実数解なし」という答えを考えます。D = (-6)² − 4 × 1 × 9 = 0 までは正しい計算です。誤りは、0を負の数と同じ扱いにした判断にあります。

図3のように、左辺は (x − 3)² です。実数の平方が0になるのは中身が0のときなので、x − 3 = 0、つまり x = 3 です。元の式でも 3² − 6 × 3 + 9 = 0 と確かめられます。放物線は横軸に接し、その接点の x 座標が解です。

反対に、D が負なのに絶対値を取って平方根を計算するのも誤りです。実数の範囲では負の数を平方にして得ることはできません。判別式が0か負かを見分け、平方がそれぞれ何を意味するかまで言葉にしてから個数を書きましょう。

手を動かす問題

次の4問は、解または条件を正確な整数、分数、根号、不等号で答えてください。解が存在しない場合は「実数解なし」と書きます。個数は異なる実数解の個数です。

1. x² + x − 6 = 0 を解いてください。
2. 3x² + 2x − 2 = 0 を解いてください。
3. 4x² − 12x + 9 = 0 の実数解と、その個数を求めてください。
4. 実数 m について、x² + 4x + m = 0 が実数解を持たない m の範囲を求めてください。

解答と確かめ

1. 左辺は (x + 3)(x − 2) です。各因数を0とすると x = -3 または x = 2 です。元の式に戻すと、-3 では 9 − 3 − 6 = 0、2 では 4 + 2 − 6 = 0 です。両方とも与えられた方程式を満たします。

2. a = 3、b = 2、c = -2 なので、D = 2² − 4 × 3 × (-2) = 28 です。公式より x = (-2 ± √28)/6 = (-1 ± √7)/3 です。確認には、元の式を 3x² + 2x = 2 と見て平方完成します。9x² + 6x = 6、つまり (3x + 1)² = 7 です。得られた2つの値はいずれも 3x + 1 = ±√7 を満たすので、元の条件に戻ります。

3. 左辺は (2x − 3)² です。2x − 3 = 0 より x = 3/2、異なる実数解は1個です。代入すると 4 × 9/4 − 12 × 3/2 + 9 = 9 − 18 + 9 = 0 です。判別式も (-12)² − 4 × 4 × 9 = 0 となります。

4. D = 4² − 4m = 16 − 4m です。実数解なしの条件 D < 0 から m > 4 です。元の左辺は (x + 2)² + m − 4 と書けます。m > 4 では平方に正の数を足すため0になりません。境界 m = 4 では x = -2 が元の式を0にし、m < 4 では (x + 2)² = 4 − m の右辺が正なので異なる2解があります。したがって境界の扱いも合っています。

解き方を選ぶときの見取り図

解そのものが必要か、個数だけが必要かで、計算の終点が変わります。例えば x² − 5x + 6 = 0 なら、積が6、和が-5になる2数を探して (x − 2)(x − 3) = 0 とできます。展開すれば x² − 5x + 6 に戻りますから、因数の選び方も確認できます。2と3をそれぞれ元の式に代入すると、4 − 10 + 6 = 0、9 − 15 + 6 = 0 です。

一方、x² + 2x − 1 = 0 では整数の組を探し続ける必要はありません。平方完成すると (x + 1)² = 2 なので、x + 1 = ±√2、x = -1 ± √2 です。たとえば x = -1 + √2 を元の左辺に代入すると、(3 − 2√2) + (-2 + 2√2) − 1 = 0 です。もう一方も根号を含む項が打ち消されます。根号を小数にして丸めると厳密に0かどうかを確認できないので、根号のまま計算します。

個数を知りたいだけなら、これらの解を最後まで計算しなくても D の符号で足ります。ただし、問題が解の値も求めているなら「D > 0、2個」で止めず、因数分解や公式で値を書きます。答案のはじめに、問われたものが値か個数かを短く記すと、途中で目的を見失いにくくなります。

係数が消える場合を別に調べる

先ほどの t x² + x + 1 = 0 を、実数解の個数の分類まで進めます。t = 0 なら x + 1 = 0 ですから、解は x = -1 の1個です。実際に元の式へ戻すと 0 × (-1)² + (-1) + 1 = 0 です。この1個は二次方程式の重解ではありません。

次に t ≠ 0 なら二次方程式なので、D = 1 − 4t です。t < 1/4 かつ t ≠ 0 では D > 0 で異なる実数解が2個、t = 1/4 では D = 0 で重解1個、t > 1/4 では D < 0 で実数解なしです。境界 t = 1/4 を元に戻すと (1/4)x² + x + 1 = 0、両辺を4倍して (x + 2)² = 0 です。x = -2 を代入すると 1 − 2 + 1 = 0 になり、重解の説明と一致します。

この分類では t = 0 と t = 1/4 の両方に注意します。前者は式の次数が変わる境界で、後者は二次方程式の判別式が0になる境界です。数直線で順に並べ、各区間と各点を確認すると、条件の抜けや重複を見つけられます。たとえば t = 1 では x² + x + 1 = (x + 1/2)² + 3/4 となり、実数の x で0にはなりません。

交点の数と座標を混同しない

放物線と横軸の共有点の数を読むとき、横軸より上にある部分が長いか短いかは関係ありません。必要なのは y = 0 となる点の数です。放物線が横軸に接する場合は、横切っていなくてもその点で y = 0 です。図だけでは接しているのか、わずかに離れているのか判別しづらい場合もあるため、式が与えられたら D の計算で確かめます。

また、共有点の座標は (解, 0) という点であり、方程式の解はその x 座標です。例えば x = 3 が重解なら、接点は (3, 0) です。解を0と書くと、点の縦座標を横座標と取り違えています。元の左辺に0を入れると9なので、誤りにも気づけます。

計算の途中で D = 0 と出たときは、公式の ± を2つの異なる数と決めつけず、分子を実際に書きます。√0 = 0 なので、足す場合も引く場合も -b です。分母 2a は0でないため、どちらも同じ値 -b/(2a) になります。解の個数を尋ねられたら、この同じ値を1回数えます。係数の符号を取り違えたままでは正しい判定にならないため、判別式に代入する前の係数の行も残してください。

持ち帰る4行

• 二次の係数が0でないことを確かめます。
• D > 0 は異なる実数解2個、D = 0 は重解1個です。
• D < 0 は実数解なしで、横軸との共有点もありません。
• 答えは元の式に戻し、文字の境界も調べます。

つまずく場所を見つける

係数を書き出す段階で止まるなら、まず左辺を0と比較する形に直し、各項の符号を含めて a、b、c を指で追います。D は出せるのに個数を誤るなら、(x − 3)² = 0 で平方が0になる数を説明できるか確かめます。公式の答えを元の式に戻せないときは、分母の 2a と ± の2通りを別々の行に分けます。

個別指導では、解答の最後だけでなく、係数の読み取り、平方の符号、境界の代入のどこで説明が途切れたかを見ます。たとえば D = 0 の図を見て接点の座標を言えれば、式の重解と図の1点を結び直せます。判別式の0は、横軸に触れる実数解を残します。