高校数学I 必要条件と十分条件—集合の包含と矢印から条件の向きを決める｜武蔵野個別指導塾

包含と反例から矢印の向きを判定します。12の倍数は4の倍数であるために十分です。

定期テストの復習でよくあるのは、条件から結論へ向かう矢印を逆向きに書いてしまう場面です。たとえば「6の倍数ならば3の倍数」という文を読んで、3の倍数ならいつでも6の倍数だと考えると、3や9を見落とします。条件の名前を先に暗記するより、何を出発点にして何を結論にするかを決め、それぞれの向きで成り立つかを調べましょう。

必要条件と十分条件の問題では、同じ2つの条件でも、どちらを基準に述べるかで呼び名が変わります。ここでは整数の倍数や実数の範囲を使い、矢印の判定から言葉への置き換えまでを順に扱います。

問題文から矢印を取り出す

定期テストでは、まず「pはqであるための何条件か」を選ぶ型があります。pからqへ、qからpへの2方向を別々に調べ、両方の結果を合わせて答えます。pとqの中身だけでなく、どちらについて答えるかにも線を引きましょう。

次に、条件を満たす数の集合を示し、包含関係から判定する型があります。集合が小さい側から大きい側への矢印は成り立ちますが、大きい側から小さい側へは、はみ出した要素がないか調べる必要があります。図だけに頼らず、全体集合が何かも書いておきます。

もう1つは、成り立たない向きについて反例を挙げる型です。矢印の出発点の条件を満たしながら、到着点の条件を満たさない数を示します。結論を満たさないだけの数では、出発点を満たしている保証がないので反例として不足します。

包含と条件の名前を対応させる

ある範囲の数を対象として、条件pを満たす数の集合をP、条件qを満たす数の集合をQとします。「pならばq」が真とは、対象の中でpを満たすすべての数がqも満たすという意味です。集合ではPがQに含まれ、P ⊆ Qと表します。PとQが等しい場合も含まれることに注意します。

このとき、pが成り立てばqが成り立つので、pはqであるための十分条件です。また、pが成り立つためにはqが成り立っていなければならないので、qはpであるための必要条件です。この矢印からpの十分性とqの必要性が読み取れます。pがqの必要条件でもあるかは、逆向きの「qならばp」も真かどうかを調べて決めます。

図1のようにPの内側のどの点もQの内側にあるなら、PからQへの矢印を引けます。反対方向が成り立つかどうかは、QのうちPの外に点があるかどうかで別に決まります。図1の外側に示した点は、qを満たすがpを満たさない数を表しています。

pからqへもqからpへも成り立つ場合、PとQは等しく、pはqであるための必要十分条件です。反対に、両方向とも成り立たないこともあります。2つの集合に共通部分があっても、それぞれの外側にはみ出す数があれば、どちらの矢印も真にはなりません。

「pはqの十分条件だが必要条件ではない」と答えるときは、pからqが真で、qからpが偽です。逆に「必要条件だが十分条件ではない」ときは、qからpが真で、pからqが偽です。必要と十分の両方に当てはまる場合と、どちらにも当てはまらない場合を加えると、2方向の真偽の組は4通りになります。名前を選ぶ前に、まず2つの文をそれぞれ判定すれば迷いを減らせます。

判定は次の順に行います。まず「pならばq」を声に出し、pを満たす数に限ってqが必ず成り立つかを考えます。次に出発点と到着点を入れ替え、別の文として調べます。最後に2つの真偽を十分・必要に対応させます。片方が真だった結果を、そのまま反対方向へ持ち越さないことが大切です。

対象の範囲も判定の一部です。たとえば実数全体で「x² = 4ならばx = 2」は、x = -2を考えると成り立ちません。しかし対象を0以上の実数に限定すれば、同じ文は成り立ちます。負の数を使ってよいかは、問題の冒頭に戻って確かめます。

基本例題：倍数の条件を2方向で調べる

整数nについて、pを「nは12の倍数」、qを「nは4の倍数」とします。pはqであるための十分条件、必要条件、必要十分条件のどれかを判定し、成り立たない向きには整数の反例を1つ示してください。どれにも当てはまらない場合はそのように答えます。

まずpからqへの向きを考えます。nが12の倍数なら、ある整数kを使って次のように書けます。

n = 12k

12 = 4 × 3なので、式をまとめ直すと次の形です。

n = 4 × 3k

kが整数なら3kも整数です。したがってnは整数の4倍であり、qを満たします。kを特定の値に限らずに示したので、pを満たすどの整数についてもqが成り立ちます。よってpならばqは真であり、pはqの十分条件です。

次にqからpへの向きを別に調べます。qを満たす数としてn = 4を選ぶと、4 = 4 × 1なので確かに4の倍数です。一方、4を12の整数倍として表すことはできません。したがってn = 4は「qならばp」の反例であり、この向きは偽です。pはqの必要条件ではありません。

図2のように、12の倍数の集合は4の倍数の集合に含まれます。図2の4は大きい集合の内側で小さい集合の外側にあり、逆向きの矢印を否定する数です。例として0も両方に含まれますが、共通する数があることだけでは包含の向きは決まりません。

答えは、pはqの十分条件ですが必要条件ではありません。したがって必要十分条件でもありません。求める条件の名前はpについてのものです。qについて尋ねられたなら、qはpの必要条件ですが十分条件ではないと答えます。

この問題の検算では、反例の4を元の2条件へ戻します。4を4で割ると整数1ですが、12で割ると整数にはなりません。証明の式も、12kを4でくくったときに残る3kが整数であることまで点検します。試しに12や24を調べるだけでは、負の整数や0を含むすべての場合の証明にはなりません。

少し難しい例題：範囲が重なるだけのとき

実数xについて、pを「x² < 9」、qを「x > 1」とします。pはqであるための十分条件、必要条件、必要十分条件のどれかを判定し、成り立たない各方向に実数の反例を1つずつ示してください。どれにも当てはまらない場合はそのように答えます。

まずpが表す範囲を求めます。x² < 9はx² − 9 < 0と同じで、左辺は次のように因数分解できます。

x² − 9 = (x − 3)(x + 3)

境目はx = -3とx = 3です。x < -3では2つの因数がともに負なので積は正です。-3 < x < 3では前者が負、後者が正なので積は負です。x > 3ではともに正なので積は正です。境目では積が0となり、0より小さいという条件を満たしません。よってpを満たす範囲は-3 < x < 3です。

qを満たす範囲はx > 1です。共通する範囲は1 < x < 3ですが、それだけで包含とは決められません。pの範囲にはqの範囲に入らない部分があり、qの範囲にもpの範囲に入らない部分があります。

pからqへは、x = 0が反例です。0² = 0 < 9なのでpを満たしますが、0 > 1は成り立たずqを満たしません。したがってpはqの十分条件ではありません。qからpへは、x = 3が反例です。3 > 1なのでqを満たしますが、3² = 9であり9より小さくないためpを満たしません。境界の3を含むかどうかが、ここで判定を分けます。

両方の向きが偽なので、pはqの必要条件でも十分条件でもありません。必要十分条件にも当てはまりません。x = 2なら両方を満たしますが、これは共通部分に数があることを示すだけです。1つの成功例から、条件を満たす数が全部含まれるとは言えません。

反例を元の問題へ戻すときは、xの値を2つの条件にそれぞれ代入します。0は平方しても0のままで9未満、3は平方するとちょうど9です。とくに不等号に等号がない場合は、境目の値が含まれると決めつけず、元の不等式で確認します。

逆向きにした誤答を直す

基本例題のpとqについて、次の答えを考えます。「12の倍数なら4の倍数だから、pはqの必要条件である」。前半の矢印は正しいのに、後半の条件名が逆です。図3のように、出発点のpには十分、到着点のqには必要を対応させて読み直します。

原因は「必要」という語だけを見て、どの条件がどちらに必要なのかを決めずに答えたことです。「pであるためにはqが必要」と言い換えると、必要なのは到着点のqだと確認できます。同時に「qであるにはpで十分」と言えば、出発点のpが十分条件です。

逆向きの文も実際に作ります。「4の倍数なら12の倍数」は、4を入れると成り立ちません。pをqの必要条件と呼ぶにはこの逆向きが真でなければならないので、誤答を取り消せます。矢印を書き直した後に反例を元の条件へ代入すると、図の向きと言葉の対応を二重に確認できます。

もう一つの誤りは、反例として12を挙げることです。12は12の倍数でも4の倍数でもあるため、どちらの方向も破っていません。反例には、出発点を満たし、到着点を満たさない数が必要です。両条件を満たす数と、片方だけを満たす数の役割を分けます。

自分で判定する5問

各問で指定された対象の範囲を使い、pはqであるための十分条件、必要条件、必要十分条件のどれかを答えてください。どれにも当てはまらなければ「必要条件でも十分条件でもない」と答えます。成り立たない方向には、指定された形の反例をそれぞれ1つ挙げてください。

1. 整数nについて、pは「nは5の倍数」、qは「nは10の倍数」です。反例は整数で示してください。
2. 実数xについて、pは「x = -4」、qは「x² = 16」です。反例は整数で示してください。
3. 実数xについて、pは「x ≥ 2」、qは「x > 2」です。反例は整数で示してください。
4. 整数nについて、pは「nは3の倍数」、qは「nは偶数」です。反例は整数で示してください。
5. 0以上の実数xについて、pは「x² = 25」、qは「x = 5」です。成り立たない方向があれば、反例は整数で示してください。

解答と考え方

1. 答えは、pはqの必要条件ですが十分条件ではありません。qならばn = 10k = 5 × 2kと書ける整数kがあるため、nは5の倍数です。逆にpからqへはn = 5が反例です。5 = 5 × 1ですが、5を10の整数倍にはできません。元の条件でも、5はpを満たしqを満たさないと確認できます。

2. 答えは、pはqの十分条件ですが必要条件ではありません。x = -4ならx² = (-4) × (-4) = 16なので、pからqへの矢印は真です。qからpへの反例はx = 4です。4² = 16でqを満たす一方、4は-4ではないのでpを満たしません。平方した結果だけを見ると符号の異なる数も候補になるため、元の等式へ戻して両方を調べます。

3. 答えは、pはqの必要条件ですが十分条件ではありません。x > 2ならx ≥ 2なのでqからpは真です。pからqへはx = 2が反例です。2 ≥ 2は成り立ちますが、2 > 2は成り立ちません。両方の範囲は境界より右では一致しても、境界の2の扱いが異なります。等号の有無を元の条件で確かめると、必要十分条件ではない理由が残ります。

4. 答えは、pはqの必要条件でも十分条件でもありません。pからqへの反例はn = 3です。3 = 3 × 1なのでpを満たしますが、偶数ではありません。qからpへの反例はn = 2です。2は偶数ですが、3の整数倍ではありません。両方を満たす6もありますが、それは2方向が真になる根拠にはならず、それぞれの反例が元の条件を破ることを確かめて判定します。

5. 答えは、pはqの必要十分条件です。pならばx² − 25 = 0なので、(x − 5)(x + 5) = 0です。対象は0以上の実数で、x + 5は正ですから、x − 5 = 0、つまりx = 5です。逆にqなら5² = 25でpを満たします。元の条件に戻すと5は0以上で、平方は25です。x = -5も平方すると25ですが、対象の範囲に入らないので反例には使えません。

手元に残す要点

pならばqが真なら、pはqの十分条件、qはpの必要条件です。
両方向が真なら必要十分条件で、集合は等しくなります。
反例は出発点を満たし、到着点を満たさない対象です。
判定前に対象の範囲と不等号の境界を確かめます。

説明が止まった場所を探す

答えの名前を間違えたときは、すぐに語句だけを書き直さず、「どの文を真だと判定したか」を先に口にしてみてください。矢印は正しいのに名前を逆にしたのか、矢印そのものを逆にしたのかで、戻る場所が変わります。反例が思いつかないときは、出発点の集合に入り、到着点の外にある場所を探します。

個別指導で確かめるなら、条件を満たす範囲の端に等号が付くか、反例が2条件をどう満たすか、1行ずつ説明してもらう場面が手掛かりです。図を描けても、対象が整数か実数かを忘れると使える数が変わります。出発点に立ってから到着点を確かめれば、矢印と条件名がつながります。