高校数学I 因数分解—共通因数と式のまとまりから積の形へ戻す｜武蔵野個別指導塾

たすき掛けの積と和を照合し、共通因数や置き換えを経て展開で戻す手順を扱う因数分解です。

よくあるのは、定期テストの復習で高校生がたすき掛けの両端の積だけ確かめ、真ん中の項を見ないまま答えを決めるという場面です。両端が合っていても、斜めに掛けた2つの項の和が違えば、もとの式には戻りません。積と和の両方を照らし合わせる手順を、共通因数を探すところから順に練習します。

どんな形を見分けるか

共通因数を取り出す操作と、二次式を一次式の積に戻す計算を扱います。因数定理を使う分解には進みません。

出方の1つは、各項に共通する数や文字を見つけ、括弧の外に出す形です。たとえば各項に2とxが含まれていれば、まず2xを取り出してから残りを見ます。共通因数を先に調べると、括弧の中がもっと簡単な二次式になることがあります。

2つ目は、二次の項の係数が1でない式を、2つの一次式の積にする形です。係数の組を候補に挙げたら、端の積だけでなく、交差する積の和まで確かめます。符号が違う候補も同じ手順で調べられます。

3つ目は、同じ括弧や文字式が繰り返し現れる式です。そのまとまりを1つの文字と見て二次式に直し、最後に元の式へ戻します。どの型でも、答えを展開して元の各項に戻るかを確認することが、計算を閉じる最後の手順です。

積へ戻すための道具

因数分解とは、和や差で表された式を積の形に直すことです。たとえば 6x + 12 は、両方の項に共通する6を使って 6(x + 2) と書けます。6と括弧の中の式が因数で、分配法則で展開すると 6x + 12 に戻ります。共通因数は、数だけでなく文字や括弧のまとまりでもかまいません。

図1のように、和の形から共通因数を外に出し、逆向きに展開して戻る関係を見ます。取り出した後の括弧の各項に外側を掛けたとき、元の項と一致するかを確かめます。共通する文字を出すときは、どの項にも含まれる個数まで出します。

二次式では、(ax + b)(cx + d) を展開すると acx² + (ad + bc)x + bd です。最初の項は ax と cx の積、最後の項は b と d の積です。真ん中の係数は、斜めの2つの積 ad と bc を足して作ります。たすき掛けは、この3か所の対応を使って候補を探す方法です。

たとえば x² + 5x + 6 なら、積が6、和が5となる2と3から (x + 2)(x + 3) とできます。一方、積が同じ1と6では和が7になり、目的の5とは一致しません。積の候補を見つけた段階では、まだ答えが決まったわけではないのです。

共通因数を探す際、最初の項だけで判断しないことも大切です。たとえば 4x² + 6x + 3 の最後の項には2もxも共通しません。全項に含まれないものを外に出すと、括弧の中に元の式と合わない項が生まれます。先に各項を指で追うと、取り出せる範囲を判断しやすくなります。

係数や符号の見方をもう少し整理します。二次式の先頭の係数が1であれば、括弧の先頭をどちらも x と考えられます。先頭が1以外なら、先頭の係数も2つの整数の積に分け、その組ごとに交差項を調べます。どちらの場合も、定数の積が正なら同符号、負なら異符号という関係は変わりません。

候補の調査は、思いついた数字を無作為に並べるより、積になる組を順に書くと漏れに気づきやすくなります。符号の組も含めて調べ、それぞれの交差項を計算します。候補が合わなければ、交差項の計算と符号を確認した上で別の組を試します。整数の組で見つからない場合には、無理に一致したことにせず、その範囲では候補が見つからなかったと区別します。

積の形が正しいことと、指定された範囲で最後まで分けたことは別の確認です。たとえば 2x² + 8x を 2(x² + 4x) と書くと展開は元に戻りますが、括弧の中にはなお x が共通します。さらに取り出して 2x(x + 4) とすれば、括弧の中に共通する数や文字は残りません。途中の正しい変形を答えの完成と混同しないようにします。

基本例題：交差する積を足す

次の式を、整数係数の式の積として因数分解してください。さらに展開して元の式に戻ることを確かめます。

6x² + 11x + 3

まず3つの項に共通して取り出せる整数や文字を調べます。係数6、11、3の共通因数は1で、定数項にはxがありません。そこで、一次式2つの積を考えます。6x²を作る組として 3x と 2x、3を作る組として 1 と 3 を候補にします。

図2のように (3x + 1)(2x + 3) と置き、斜めの積をそれぞれ計算します。3x と 3 から 9x、1 と 2x から 2x ができ、その和は 11x です。先頭と末尾だけでなく、目的の真ん中の項も一致します。

計算を一行ずつ書くと、次のようになります。

(3x + 1)(2x + 3) = 3x × 2x + 3x × 3 + 1 × 2x + 1 × 3 = 6x² + 9x + 2x + 3 = 6x² + 11x + 3

よって答えは (3x + 1)(2x + 3) です。積から元の3項へ戻ったので、問題の式を確かに表しています。展開では各括弧から1項ずつ選んだ4つの積を書き、その後に同類項をまとめます。

候補の並べ方を変えて (3x + 3)(2x + 1) とすると、両端は同じでも真ん中は 3x + 6x = 9x です。11xにならないため、この候補は使えません。そこで定数を入れ替え、交差する積をもう一度計算します。計算の途中で違いが見えれば、最初からすべてを探し直す必要はありません。

定数項が正なら、定数の符号を両方正または両方負にする候補があります。この例は真ん中が正なので、先頭を正の係数にそろえたとき、正同士の候補を先に調べられます。負同士では交差する積の和が負になり、11xにはなりません。積と和の符号を別々に見て、候補を絞ります。

まとまりを置き換える問題

次の式を、整数係数の式の積として因数分解してください。求めた積は、最初に与えられた式へ展開して戻します。

2(x + 1)² − 7(x + 1) + 3

ここでは x + 1 が2か所に現れます。これを A と置くと、式は 2A² − 7A + 3 です。新しい文字を使うのは、同じまとまりを見やすくするためで、式の値を変える操作ではありません。

2A²を作る組を 2A と A、3を作る組を -1 と -3 とします。交差する積の和は -6A − A = -7A ですから、

2A² − 7A + 3 = (2A − 1)(A − 3)

となります。ここで A = x + 1 を両方の括弧へ戻します。片方だけ戻して止めると、答えに問題文にない文字が残ります。

(2A − 1)(A − 3) = {2(x + 1) − 1}{(x + 1) − 3} = (2x + 1)(x − 2)

元の式を別の順序で展開すると、

2(x² + 2x + 1) − 7x − 7 + 3 = 2x² + 4x + 2 − 7x − 7 + 3 = 2x² − 3x − 2

答えの積を展開しても、

(2x + 1)(x − 2) = 2x² − 4x + x − 2 = 2x² − 3x − 2

となり、問題の式と一致します。置き換えの前後の両方で同じ式になることを確認できました。

分かれ目は、同じまとまりとして置けるかどうかです。(x + 1)² は (x + 1)(x + 1) なので A² に対応しますが、x² + 1 は一般に A² ではありません。括弧の中まで一致するかを見てから置きます。また、戻した後に括弧の中を整理し、共通因数やさらに分解できる形が残っていないかを調べます。

誤答から交差項を直す

6x² + 11x + 3 に対し、(3x + 3)(2x + 1) と答えた場合を考えます。6x² と 3 は合っていますが、図3のように交差する積は 3x と 6x で、和は 9x です。もとの 11x に足りないため、答えとしては誤りです。

原因は、係数の積が合ったところで確認を終えていることです。修正するには定数の位置を交換し、(3x + 1)(2x + 3) を試します。交差する積が 9x と 2x に変わり、和が 11x になるため、この候補は条件を満たします。図3の候補と修正後の候補を比べると、変えた位置と変わった和が対応します。

もう1つの失敗は、共通因数を外に出した後、括弧の1項に掛け戻すのを忘れることです。たとえば 8x² − 12x を 4x(2x − 12x) とすると、展開した第2項は -48x² になってしまいます。各項を 4x で割って残りを作れば 4x(2x − 3) となり、掛け戻すと 8x² − 12x です。元の2項のどちらにも戻るかを見れば、誤りの位置が見えます。

符号にも注意します。定数項が負なら、整数係数の2つの定数の符号は異なります。正の大きい数を先に置くと決めつけず、交差する積を符号つきで足します。たとえ数の大きさが合っても、和の符号が反対なら候補を入れ替えて調べ直します。

手を動かす4問

各問とも、整数係数の式の積として、これ以上共通因数や整数係数の一次式に分けられない形まで因数分解してください。解答では展開して問題の式に戻ることも確かめます。

1. 15y² − 20y
2. 4t² + 13t + 3
3. 6z² − z − 2
4. 3(u − 2)² + 10(u − 2) + 3

先に4問を解いてから、次の解答で各項を照合してください。答えが違ったときは、共通因数、交差する積、置き換えを戻す操作のどこで初めて違ったかを探します。

1の解答

15y² と -20y の両方に含まれる 5y を出します。

15y² − 20y = 5y(3y − 4)

掛け戻すと、5y × 3y = 15y²、5y × (-4) = -20y です。問題の2項へ戻ります。括弧の中の係数3と4に共通する整数は1で、両項に共通する文字もないため、ここで止めます。

2の解答

4t² を 4t と t、3を 1 と 3 に分けます。交差する積は 12t と t なので、その和は 13t です。

4t² + 13t + 3 = (4t + 1)(t + 3)

展開すると 4t² + 12t + t + 3 = 4t² + 13t + 3 です。先頭、真ん中、最後が問題の式に戻ります。定数の位置を逆にすると交差する和は 7t なので、こちらは候補から外します。

3の解答

定数項が負なので、定数の符号は異なります。3z と 2z、-2 と 1 を並べると、交差する積は 3z と -4z です。

6z² − z − 2 = (3z − 2)(2z + 1)

展開は 6z² + 3z − 4z − 2 = 6z² − z − 2 です。元の負の定数と、負の真ん中の項の両方に戻りました。斜めの項は大きさだけでなく、符号を付けて足します。

4の解答

B = u − 2 と置くと、問題の式は 3B² + 10B + 3 です。3B と B、1 と 3 を使うと、交差する和は 9B + B = 10B となります。

3B² + 10B + 3 = (3B + 1)(B + 3) = {3(u − 2) + 1}{(u − 2) + 3} = (3u − 5)(u + 1)

答えを展開すると 3u² − 2u − 5 です。問題の式から直接展開しても、3(u² − 4u + 4) + 10u − 20 + 3 = 3u² − 2u − 5 となります。置き換えた文字を両方の括弧から消し、与えられたまとまりの式へ戻るところまで確認しました。

4問を振り返るときは、正解の形を覚えるより、最初にどの特徴に注目したかを記録します。1は全項に文字があるため共通因数から始め、2と3は交差する積の和を使います。4は繰り返しの括弧を置き換えます。同じ問題を解き直すときにも、どの判断で次の行へ進んだのか説明できれば、別の係数に変わっても手順を使えます。

誤答を見直す場合は、正答を写す前に自分の積を展開してみます。端の項が違えば積の組、真ん中の項だけが違えば交差する組み合わせ、すべての項に同じ余分な因数が付けば括弧の外側を重点的に確認します。原因を一か所に絞れないときも、4つの積を省略せず書けば、どの項が元の式とずれたかをたどれます。

持ち帰る手順

共通因数を全項で探して先に取り出します。
たすき掛けは両端の積と交差する積の和を照合します。
同じまとまりは置き換え、最後に元へ戻します。
答えを展開し、元の式の各項に戻るかを確かめます。

どこで手が止まったかを見つける

最初の一手が出ないときは、全項に共通するものを探す段階と、二次式の係数を組み合わせる段階を分けて見ます。共通因数を出せても展開して戻せない場合は、括弧の各項に何を掛けるかを口に出して確認すると、どの項を落としたか特定できます。

候補が作れても正誤を決められない場合は、斜めの2つの積を別々に書いてから足します。置き換えで止まる場合は、元に戻す前の式に印を付け、同じ文字の出現箇所を順番にたどります。個別指導では、答えだけでなく、その途中のどの行から説明が難しくなったかを確かめられます。積の候補は、元の式の真ん中まで戻して選びます。