高校受験の数学 反比例—積が一定になる関係を式とグラフで確かめる｜武蔵野個別指導塾

積が一定の表から反比例の式を作り、0を除く理由と、長方形の条件に応じた変域の考え方を押さえます。

よくあるのは、中1の生徒が反比例の表から座標を取り、点と点を定規で結ぶという場面です。点が合っていても、その間の値まで式に合うとは限りません。表にない値も式に入れて、点の間をどう通るか調べます。横軸に取る数と縦軸に取る数も確かめてから描きましょう。

一定の積を見つける

ここでは反比例の式、定義域、表と双曲線の関係を扱います。比例の直線の詳しい作図や、他の関数のグラフは扱いません。学習範囲の確認として、中学校学習指導要領は第1学年の数と式に正負の数、文字を用いた式、一元一次方程式を置いています。

出方の1つは、対応する2つの値から式を作り、別の値を求める問題です。もう1つは、表や座標からグラフを描き、点がそのグラフ上にあるか判断する問題です。さらに、長方形の面積のように一定の量がある場面では、文字が取り得る範囲を条件から決めます。同じ式でも、負の数を認める場合と、長さとして正の数に限る場合では、描く部分が違います。

まず何が一定かを言葉にし、次に2つの文字の積に直します。式を作ったら、与えられた組を戻し、積が元の一定量になるか確かめます。計算上の数であっても、長さや個数として使えるとは限りません。問題文の条件まで戻すことが最後の作業です。

表の積から曲線へ

変わる2つの数を x、y とし、0でない一定の数を a とします。y が x に反比例するとは、y=a/x と表せることです。両辺に x をかけると xy=a となり、対応する x と y の積が一定です。a は比例定数と呼びます。x が2倍、3倍になると、同じ積を保つため y はそれぞれ1/2倍、1/3倍になります。

図1のように、積が12の組を表にすると、x が大きくなるにつれて正の y は小さくなります。x が1から2へ増えると y は12から6へ変わり、x が2から3へ増えると y は6から4へ変わります。同じ幅だけ x を増やしても、y の減り方は同じではありません。この変化を点の間でも追うと、一直線にはなりません。

例えば x が負のときも、積を正の12にするには y も負です。x=-2なら y=-6で、積は12です。逆に a が負なら、x と y の符号は異なります。符号の組を先に見ておくと、座標を取る場所を間違えにくくなります。

x=0を代入すると a/0 となり、0で割ることになるため値は定まりません。積の式から見ても、0にどんな数をかけても0なので、0でない a にはなりません。したがって x=0は定義域に入りません。定義域とは x が取り得る値の範囲です。問題で範囲が与えられたときは、0を含まないことに加え、その範囲にも従います。

反比例のグラフは双曲線と呼ばれる2つの曲線です。a が正なら右上と左下、負なら左上と右下に分かれます。軸に近づいても軸と交わらず、原点を通りません。正の x の部分と負の x の部分は、0を越えてつなげないことに注意します。表に有限個の点を書いただけでは曲線全体は決まりませんが、途中の値を加えながら式に合う滑らかな形を描けます。

定義域の条件は、グラフを描いた後にも確認します。例えば x が正の数に限られるなら、負の側の曲線は式として考えられても、その条件の答えには入りません。逆に x が負の数に限られる場合は左側の部分を使います。端の値を含むかどうかも、不等号と問題文を照らして判断します。

表を完成させるときは、1列ごとに積が一定か調べると、値を隣の列に書く誤りを見つけられます。x が負で y が正なら積は負、両方が負なら積は正です。符号だけを先に決めてから絶対値を計算し、最後に積へ戻すと、符号と計算のどちらで迷ったかが見えます。表の数が合っていても、軸の目盛りを途中で変えると点の位置がずれます。原点から同じ間隔で数え、横と縦の目盛りをそれぞれ読みましょう。

基本例題：座標から式を決める

問題：y は x に反比例し、x=2 のとき y=6 です。式を求め、x=3 と x=-4 に対応する y を分数または整数で答えなさい。また、x が0でない数を取るときのグラフを描きなさい。

まず y=a/x と置きます。与えられた x=2、y=6を代入すると、

6=a/2

a=12

です。両辺を2倍して a を求めました。したがって式は y=12/x です。積で求めても、2×6=12となります。元の条件へ戻すと、12/2=6であり、指定された組に合っています。

x=3を代入すると y=12/3=4 です。x=-4を代入すると y=12/(-4)=-3 です。それぞれ3×4=12、(-4)×(-3)=12となり、初めの一定の積に戻ります。分母の負号を見落とすと後者が正になり、積も-12になってしまいます。

図2のように、正の側では (2,6)、(3,4)、(4,3)、(6,2) を取り、負の側でも (-2,-6)、(-3,-4)、(-4,-3)、(-6,-2) を取ります。横の数が x、縦の数が y です。たとえば (4,3) では横に4、縦に3進みます。負の座標は原点から左と下に進みます。

各点の間も式を満たすようになめらかに通します。x=0では値を決められないため、左右の曲線を原点でつなぎません。また x が正で大きくなると y は正のまま小さくなり、負の側でも符号を保ちながら軸に近づきます。図を見て軸に触れたように見えても、式に y=0を入れると積が12にならないため、交点はありません。

点を取った後の確認では、座標の順序を入れ替えていないかだけでなく、曲線上の点の積が12かを調べます。点の位置が正しくても定規で結ぶと、その線分上の途中の点は通常、式に合いません。描いた線についても、途中の x を選んで確認します。

範囲によって答えを選ぶ

問題：面積が48 cm²の長方形があります。縦を x cm、横を y cm とします。縦は3 cm以上8 cm以下で、長さは途中の分数の値も取れるものとします。y を x の式で表し、横の長さの範囲を分数または整数で答えなさい。縦が6 cmのときの横も求めなさい。

面積は縦と横の積なので xy=48、よって y=48/x です。長さを表すため x は正で、条件を合わせると 3≦x≦8 です。x=0や負の数は、この長方形の縦の長さに採れません。式だけを眺めて負の側の曲線まで答えに含めると、場面の条件から外れます。

x=3のとき y=48/3=16、x=8のとき y=48/8=6です。正の x が大きくなると、一定の48をより大きな数で割るので y は小さくなります。したがって横の範囲は 6≦y≦16 cm です。縦の下端と横の下端を同じ組にしないことが分かれ目です。縦が最小のとき横は最大になり、縦が最大のとき横は最小になります。

縦が6 cmなら y=48/6=8 cmです。面積に戻すと 6×8=48 cm² で、縦の6も3以上8以下です。両端も 3×16=48、8×6=48となり、範囲の端を含めてよいことが確かめられます。グラフなら右上の曲線のうち、x が3から8までの部分を両端を含めて描きます。

もし縦が整数の cm に限られていたら、x は3、4、5、6、7、8の6つです。その場合は曲線の区間を連続して塗らず、条件を満たす点を取ります。今回は途中の分数も認められているので、間の値を含む曲線の区間として考えます。同じ積の式でも、取り得る値の条件を先に読む必要があります。

直線で結んだ答案を直す

積が12の表で (2,6) と (6,2) を正しく取った後、2点を線分で結ぶ誤答を考えます。端の点が合っているため、見た目だけでは誤りを見逃しがちです。しかし線分の真ん中は (4,4) で、その積は16です。元の積12には戻りません。

図3のように、x=4を式 y=12/x に入れると y=3です。正しい点は (4,3) ですから、線分の真ん中から下にずれます。間に点を追加してから曲線を描くと、端の点と途中の値の両方に合う形を考えられます。図の直線は誤りを調べるための線です。

もう1つの失敗は、x=0を表の空欄に入れて y=0と書くことです。原因は原点を通る別のグラフの性質を、そのまま使うことにあります。0×0=0なので、積が12という条件を満たしません。0では式の値が定まらないと明記し、左右の部分をつながずに描き直します。

また、積が負なのに両方を正とする間違いもあります。たとえば積が-12なら、x=3に対して y=-4であり、3×(-4)=-12です。点を打つ前に符号を判断し、打った後に積に戻せば、計算と座標の両方を別々に点検できます。負の数の割り算に迷ったときは、求めた値をかけ算へ戻すのが有効です。

自分で取り組む4問

次の問題では、分数は約分して答え、長さには単位を付けてください。グラフは指定された範囲で考えます。

1. y は x に反比例し、x=5のとき y=-3です。式と、x=-6のときの y を分数または整数で求めなさい。
2. y=18/x について、x が正で 2≦x≦9 のときの y の範囲を分数または整数で求めなさい。両端を含むかも答えなさい。
3. 面積が30 cm²の長方形の縦を x cm、横を y cmとします。縦が 2.5 cmのときの横を分数または整数で求めなさい。また縦と横の関係式を書きなさい。
4. y=-8/x のグラフについて、点 (2,-4)、(-4,2)、(0,0)、(4,2) がそれぞれグラフ上にあるか答えなさい。x は0以外の数を取ります。

答えとたどり方

1. y=a/x に x=5、y=-3を入れると、-3=a/5です。両辺を5倍して a=-15、式は y=-15/x です。x=-6なら y=(-15)/(-6)=5/2です。元の組は 5×(-3)=-15、求めた組は (-6)×(5/2)=-15で、どちらも同じ積に戻ります。負を負で割るので答えは正です。

2. x=2で y=9、x=9で y=2です。正の範囲では x が増えると y が減るので、2≦y≦9 です。両端の x が条件に含まれるため、対応する y の両端も含みます。2×9=18、9×2=18と元の積に戻ります。x の最小値に y の最小値を対応させないよう、組で書いてから範囲を整えます。

3. 縦と横の積が30なので xy=30、y=30/x です。2.5=5/2を代入すると、y=30÷(5/2)=30×(2/5)=12 cmです。場面へ戻すと、縦 5/2 cm と横12 cmの面積は (5/2)×12=30 cm²です。両方とも正の長さで、与えられた面積に合います。小数を分数に直せば、丸めずに計算できます。

4. (2,-4) は 2×(-4)=-8、(-4,2) は (-4)×2=-8なので、それぞれグラフ上にあります。(0,0) は x=0で式の値が定まらず、積も0なので該当しません。(4,2) は 4×2=8で、-8にならないため該当しません。正しい2点を式へ戻すと -8/2=-4、-8/(-4)=2です。誤った点も条件と照らし、単に図の見た目で決めないようにします。

練習の答えを見直すときは、まず式に与えられた組を戻し、次に求めた組の積を調べます。範囲を答える問題では、端が条件に含まれるかも確かめてから不等号を書きます。

手元に残す要点

• 反比例は y=a/x、積は xy=a です。
• a は0でなく、x=0は定義域に入りません。
• 点の間も式に合う曲線を描き、軸を越えてつなぎません。
• 場面の範囲と、得られた値を元の条件へ戻します。

どの段階で迷ったかを見分ける

表から式へ進めないときは、対応する2数を同じ列から取れているかを見ます。積を求められるのに座標を間違えるなら、横と縦の順番を声に出して確認します。点は正しいのに線が直線になる場合は、間の x を1つ選び、線上の値と式の値を比べます。誤りがどこで生じたかが見えると、最初から全手順をやり直さずに修正できます。

個別指導で確かめる際は、お子さまの答えだけでなく、0を除いた理由や範囲の両端を選んだ理由を本人の言葉で聞きます。保護者が家庭で答案を見るときも、積が一定か、答えが長さなどの条件に戻るかを一緒にたどれます。点を増やしても積が保たれるかを問うことが、反比例の曲線を読む確かな手がかりです。