中学受験算数 水そうと水位—水の体積と底面積を分けて水面の高さを出す｜武蔵野個別指導塾

おもりの水中部分と仕切りの高さを追い、水の体積と境目を使って求める水位です。

よくあるのは、水そうからおもりを引き上げるとき、水面からおもりの一部が出た後も、水位の下がり方を見直さない場面です。水の量が変わらなくても、水中にあるおもりの体積は変わります。水面の高さを決めるのは、水とおもりがそれぞれどれだけの場所を使うかです。

水面が物体の上端や仕切りの上端を通ると、同じ高さあたりに使える場所の広さが変わることがあります。境目を先に書き出し、区間ごとに水の体積を数えると、途中でどの面積を使うべきか見失いにくくなります。

水面の高さをたずねる3つの形

1つ目は、直方体の水そうに水を注ぎ、水面の高さを求める問題です。水そうの底面積がわかれば、水の体積を底面積で割って高さを出せます。ただし、底に物体が置かれていれば、水が使える底面積を考え直します。水そうの外側の寸法ではなく、問題で与えられた内側の寸法を使います。

2つ目は、おもりを水中に入れたり、引き上げたりする問題です。水はおもりと同じ場所に入れないので、水中のおもりが占める分だけ水面が上がります。全部が水中にある場合と、上端が水面より出ている場合では、数えるおもりの体積が異なります。引き上げた長さと水面が下がった長さも、同じとは限りません。

3つ目は、仕切りの上を水が越えて別の側に流れる問題です。仕切りの高さまでは注いだ側だけに水がたまります。越えた後は両側に水が広がりますが、反対側の水面が仕切りの上端に届くまでは、注ぐ側の水面は仕切りの高さに保たれます。穴の有無や水がこぼれない条件を読み、どの区間をたずねているのか決めます。

水と物体が使う場所を分ける

図1は、底面積が一定の水そうを横から見た考え方です。色のついた水と、おもりの水中部分を合わせると、底から水面までの全体の空間になります。水そうの壁の厚さは考えず、長さは内側で測ります。

図1のように、まず水面までの空間を直方体として数えます。その体積から水中のおもりの体積を引くと、水の体積です。反対に、水の体積と水中のおもりの体積を足せば、水面までの空間の体積になります。物体の上の空気中の部分は、水を押しのけていません。

水そうの底面積が100 cm²、水の体積が600 cm³で、おもりがなければ、水面の高さは600 ÷ 100 = 6 cmです。ここで底面積というのは、底のたてと横を掛けた面積です。1 cmの高さに入る水の体積は100 cm³なので、600 cm³を何段分に分けられるかを考えています。

底面積20 cm²の直方体のおもりが底に立ち、水面より上まで続いていれば、水が入る横断面の面積は100 − 20 = 80 cm²です。水面の高さが変わっても、その区間では高さ1 cmあたり80 cm³の水が入ります。一方、水面がおもりの上端を越えれば、その上の高さ1 cmには100 cm³の水が入ります。水面における水の通り道の広さを、区間ごとに選ぶのです。

「水の体積」と「水面までの空間の体積」は名前が似ていますが、物体があると一致しません。式を立てる前に、どちらを求めているか単位とともに書きます。水を足したり抜いたりしない操作では、水の体積を操作の前後で同じにして比べます。

基本例題：全部水中にあるおもり

内側の底面がたて10 cm、横8 cm、高さ20 cmの直方体の水そうに、水が深さ6 cmまで入っています。底面がたて4 cm、横2 cm、高さ5 cmの直方体のおもりを、底に水平に置きます。おもりは水を吸わず、水はこぼれません。落ち着いた後の水面の高さを、cmの小数で求めましょう。

図2では、左が入れる前、右が入れた後です。おもりが水中に全部入るかを最後に確かめながら、次の順に計算します。

答えは6.5 cmです。水面は初めの6 cmから0.5 cm上がりました。おもりの上端は底から5 cmなので、水面の6.5 cmより下です。全部を水中にあるとして40 cm³を足した判断が、求めた結果と合っています。

同じことを上昇分で確かめると、80 × 0.5 = 40 cm³です。水面が上がって新たにできた空間が、おもりに取られた40 cm³と等しいことになります。水の体積そのものを40 cm³増やしたわけではありません。水の体積は前後とも480 cm³です。

もし求めた水面がおもりの上端より低ければ、全部が水中という仮定は使えません。そこで水中部分の高さを使う区間へ戻ります。また、求めた水面が水そうの高さを超えるなら、こぼれないという条件とは両立しません。今回は6.5 cmが20 cm未満なので、その点も問題ありません。

境目を越えるおもりと仕切り

内側の底面積が120 cm²、高さ20 cmの水そうに、水が深さ8 cmまであります。底面積が30 cm²、高さ10 cmのおもりを底に立てて入れます。おもりは水を吸わず、水はこぼれません。落ち着いた水面の高さをcmの小数で求めましょう。

初めの水は120 × 8 = 960 cm³です。まず、おもりの上端まで水面が届くのに必要な水を調べます。高さ10 cmまでの空間は120 × 10 = 1200 cm³で、おもりが30 × 10 = 300 cm³を占めます。したがって、そこに入る水は1200 − 300 = 900 cm³です。

実際の水は960 cm³なので、上端まで届いた後も960 − 900 = 60 cm³残ります。上端より上ではおもりが場所を取らないため、底面積120 cm²の水そう全体に広がります。追加の高さは60 ÷ 120 = 0.5 cmです。したがって水面は10 + 0.5 = 10.5 cmです。この問題の答えは小数で10.5 cmとします。

境目の判定をせず、いつまでも120 − 30 = 90 cm²で割ると、960 ÷ 90は10 cmを越えます。10 cmを越えた時点で、その面積を使い続ける前提が崩れています。逆に、おもりが全部水中だと仮定して計算する方法もあります。960 + 300 = 1260 cm³、1260 ÷ 120 = 10.5 cmで、結果が上端より高いので仮定は成立します。仮定と結果を必ず照合します。

仕切りの場合にも、境目に必要な体積を先に出します。たとえば、底面積が左60 cm²、右40 cm²の水そうが、高さ5 cmの水を通さない仕切りで分かれています。初めは両側とも空で、左側に水を静かに注ぎます。仕切りを越えて水が右側に流れ、こぼれず、十分に落ち着くものとします。左が5 cmになるまでに60 × 5 = 300 cm³、右が5 cmになるまでに40 × 5 = 200 cm³が必要です。

注いだ水が300 cm³までは左だけの水面が上がります。300 cm³を越えて500 cm³に達するまでは左の水面が5 cmのまま、右の水面が上がります。500 cm³を越えると両側の水面がともに上がり、高さ1 cmあたり60 + 40 = 100 cm³が必要です。たとえば600 cm³なら、仕切りの上にある水は600 − 500 = 100 cm³なので、両側の水面は5 + 100 ÷ 100 = 6 cmです。仕切りに穴がある場合はこの区間分けをそのまま使えません。

誤った式から境目を探す

図3は、底から引き上げたおもりの上端が水面を出た後を考える図です。底面積100 cm²の水そうに、底面積20 cm²、高さ8 cmのおもりがつり下げられています。水の体積は600 cm³で、おもりの底は水そうの底から2 cmの位置です。おもりの上端は底から10 cmです。

図3の条件で、水中のおもりを高さ8 cmの全部と考え、600 + 20 × 8 = 760、760 ÷ 100 = 7.6 cmとするのは誤答です。7.6 cmという水面はおもりの上端10 cmより低く、全部が水中という計算の前提に合いません。図の上端より下に水面があるかを、答えを出した後にも見ます。

正しくは、水面が底から2 cmに達するまでの水が100 × 2 = 200 cm³です。残りは600 − 200 = 400 cm³で、おもりのある高さでは1 cmあたり100 − 20 = 80 cm³の水が入ります。400 ÷ 80 = 5 cm、したがって水面は2 + 5 = 7 cmです。水中のおもりの高さは7 − 2 = 5 cmで、上端までの8 cmとは違います。

確認として、水面までの空間は100 × 7 = 700 cm³、水中のおもりは20 × 5 = 100 cm³です。700 − 100 = 600 cm³となり、水の量に戻ります。水面が2 cmより上、10 cmより下にあることも、使った区間と一致します。引き上げる前と後の高さの差を使うときも、水中部分がどこまでかを各時点で描き直します。

自分で確かめる問題

どの問題も水そうは直方体で、寸法は内側のものです。水はこぼれず、物体は水を吸いません。答えは指定された単位で表します。

問題1

底面がたて12 cm、横5 cm、高さ18 cmの水そうに、420 cm³の水を入れます。物体はありません。水面の高さをcmの整数で求めましょう。

問題2

底面積が125 cm²、高さ20 cmの水そうに、深さ6 cmの水があります。底面積25 cm²、高さ4 cmのおもりを底に立てて入れます。水面の高さをcmの小数で求めましょう。

問題3

底面積200 cm²、高さ20 cmの水そうに、底面積40 cm²、高さ9 cmのおもりが底に立っています。水を1280 cm³入れたとき、水面の高さをcmの整数で求めましょう。

問題4

水そうの底は仕切りで左80 cm²、右50 cm²に分かれ、仕切りの高さは4 cmです。仕切りは水を通さず、上を越えた水は右に流れます。初めは両側とも空で、左に水を静かに780 cm³注ぎ、十分落ち着かせます。両側の水面の高さをcmの小数で求めましょう。

答えと考え方

問題1の答え

底面積は12 × 5 = 60 cm²です。高さ1 cmに60 cm³ずつ入るので、420 ÷ 60 = 7 cmです。答えは7 cmです。7 cmは水そうの高さ18 cmより低く、水がこぼれない条件にも合います。

問題2の答え

初めの水の体積は125 × 6 = 750 cm³です。750 + 100 = 850 cm³、850 ÷ 125 = 6.8 cmです。答えは6.8 cmです。おもりの上端4 cmより水面が高いため、おもり全体を数えた判断は正しいと確かめられます。

問題3の答え

おもりの上端9 cmまで入る水は、(200 − 40) × 9 = 1440 cm³です。1280 cm³はこれより少ないため、水面は上端より下です。水の入る面積160 cm²で割り、1280 ÷ 160 = 8 cmです。答えは8 cmで、9 cm未満という区間の判定に合います。

問題4の答え

左が仕切りの高さに達するまでに80 × 4 = 320 cm³、右が同じ高さに達するまでに50 × 4 = 200 cm³必要です。合計520 cm³を越えた後は両側に水が広がります。

仕切りより上の水は780 − 520 = 260 cm³です。260 ÷ (80 + 50) = 2 cmなので、両側の水面は4 + 2 = 6.0 cmです。水面までの合計の空間は130 × 6 = 780 cm³で、注いだ水の体積にも合います。

水位を追うための要点

• 水面までの空間は、水と水中の物体が分け合います。
• 水の体積が変わらない操作では、前後の水の量を等しくします。
• 物体の上端や仕切りの上端で区間を分けます。
• 区間ごとに水が入る面積を選び、高さを出します。
• 答えの高さが、使った区間と水そうの高さに合うか確かめます。

家で見守るときの問いかけ

お子さまが式を止めたら、まず「水はどこからどこまであるかな」と図を指してもらいます。次に「この高さの帯には、おもりがあるかな」と尋ね、底面積から引く場所を本人の言葉で示してもらいます。すぐに計算方法を伝える前に、水中部分の上端へ印を付ける時間を取ってください。

答えが出た後は、使った水中部分が実際の水面より上にはみ出していないかを一緒に見ます。最後に水面までの空間から水中の物体を引き、初めの水の量に戻るかを確認します。境目を見つける目が、水位の変化を読み解きます。