中学受験算数 図形の転がり移動—接する点を追って動いた距離と軌跡を描く｜武蔵野個別指導塾

正方形の頂点が地面に接するたび、回転の中心と四分円の半径を選び直してたどる転がり移動。

よくあるのは、正方形が右へ転がる間、回転の中心をいつも同じ頂点にしてしまう小6の場面です。はじめの接点を中心に円を描き続けると、2回目には正方形が地面から離れてしまいます。接する点がいつ切り替わるかを見れば、頂点が通る道筋も、その長さも区間ごとに整理できます。

何をたずねられるか

転がり移動では、まず途中の形や頂点の位置を描く問題があります。正方形の1辺が地面についたところから、右下の頂点を支点として右に倒します。次の辺が地面につくまでを1回と数える条件なら、その間の回転は90度です。次の1回では、新しく右下に来た頂点が支点になります。何回転がったかと、どの辺が地面についたかを一緒に記録します。

次に、決められた頂点が通った道筋の長さを求める問題があります。同じ正方形の頂点でも、支点にいる間は動きません。隣の頂点なら1辺を半径とする円の一部を、向かい合う頂点なら対角線を半径とする円の一部を通ります。半径が同じとは限らないので、各区間の長さを確認してから足します。

さらに、頂点の道筋を図に描く問題では、線の長さだけでなく、どこからどこへ動いたかが必要です。最初と最後を直線で結んでも、回転中に通る道筋にはなりません。問題にすべらないと書かれているか、辺が地面につくたびに次へ倒すのか、どこまで動かすのかを先に読みます。途中で止める場合は、90度分を丸ごと使わず、指定された角度を読み取ります。

中心が変わる瞬間を見つける

図1は、正方形ABCDを右へ倒すときの2つの姿です。はじめはAが左下、Bが右下、Cが右上、Dが左上にあります。辺ABが地面にあり、Bを動かさずに時計回りに90度倒すと、辺BCが地面に着きます。次はCを中心に倒します。図の同じ文字は同じ頂点を表し、位置が変わっても名前は変えません。

図1でBを中心に動く間、Bはその場にとどまります。BからAまでの距離は正方形の1辺なので、AはBを中心とする四分円の弧（こ）を通ります。弧とは円周の一部分です。90度は円の一周360度の4分の1なので、Aの通った長さは、半径が1辺の円周を4で割った長さになります。

一方、DはBの隣ではなく向かいの頂点です。DからBまでの対角線を半径として回るため、Aと同じ半径では描けません。対角線の長さが問題に与えられないとき、その長さを勝手に1辺の2倍にすることもできません。数値が必要なら、対角線の長さが与えられているか、別の条件から小学生の方法で求められるかを確かめます。

辺BCが地面についた瞬間には、BとCがともに地面にあります。次に右へ倒し始めると、固定されるのは右端のCです。Aを追うなら、今度はCからAまでの距離が半径です。接点の切り替え前後で、同じAの道筋でも中心と半径が変わります。紙の正方形に文字を書いて机の上で倒し、止まっている頂点に指を置くと、図上の判断と実際の動きを照らせます。

途中で止める問題では、接点が切り替わる前なら同じ頂点が中心です。たとえば45度まで倒すなら、90度の半分の角度ですから、対応する弧も四分円の半分です。ただし、何度倒したかが示されないと、その区間の弧の長さは決まりません。絵の傾きを目で測って条件を補うのではなく、問題文に書かれた角度を使います。

円周率を3.14とする場合、半径が決まっている四分円の長さは、半径×2×3.14÷4です。これは広さではなく、線に沿った長さです。道筋がいくつかの弧に分かれるなら、各弧の半径を調べ、動かない区間は0として合計します。道をたどる向きも、倒す向きによって変わります。左へ倒す条件なら左端の接点を選び、図の弧が地面の下にはみ出さないかも確認します。始点と終点が同じ場所でも、途中で動いて戻れば通った長さは0とは限りません。

基本例題：1回倒したときの頂点Aの道筋

1辺が4 cmの正方形ABCDがあり、Aは左下、Bは右下、Cは右上、Dは左上です。辺ABを水平な地面につけ、すべらせずに右へ倒します。辺BCが地面につくまでの1回について、頂点Aの通った道の長さをcmの小数で求めます。円周率は3.14とします。

図2の出発点は左下のAです。右下のBが地面にとどまり、AはBを中心として上から右へではなく、左から上へ90度回ります。正方形全体は時計回りに倒れ、AはBの真上に来ます。図の弧を指でなぞると、半径がはじめも途中も終わりもBAの長さであることを確かめられます。

1. 円の直径は 4×2 = 8 cmです。
2. 半径4 cmの円を一周すると 8×3.14 = 25.12 cmです。
3. その4分の1なので 25.12÷4 = 6.28 cmです。

答えは6.28 cmです。四分円の両端を直線で結んだ長さではなく、丸い道に沿った長さを求めています。地面に接しているBは動かないので、B自身の道の長さを問われたなら、この1回については0 cmです。どの頂点を追うかを読み違えると、同じ図から別の答えを出してしまいます。

少し難しい例題：動かない区間を含める

1辺が6 cmの正方形EFGHがあり、Eは左下、Fは右下、Gは右上、Hは左上です。辺EFを地面につけ、すべらずに右へ倒します。辺FGが地面につくまでを1回、次に辺GHが地面につくまでを1回として、合計2回倒します。頂点Fの通った道の長さをcmの小数で求めます。円周率は3.14とします。

1回目はFが支点なので、Fの道の長さは0 cmです。1回目が終わるとGが新しい右下の頂点になります。2回目はGを中心に回り、FはGの隣の頂点なので、半径は辺GFの6 cmです。対角線を使う場面ではありません。はじめに追う頂点と支点が一致するかを見てから、隣か向かいかを判定します。

1. 1回目の長さは 0 cmです。
2. 2回目の円の直径は 6×2 = 12 cmです。
3. 円周は 12×3.14 = 37.68 cmです。
4. その4分の1は 37.68÷4 = 9.42 cmです。
5. 合計は 0 + 9.42 = 9.42 cmです。

答えは9.42 cmです。1回目と2回目をまとめて半径6 cmの半円とする方法は使えません。1回目はFが中心にあるため、弧を描かないからです。また、2回目の中心はFではなくGです。地面に着く辺を書き換えると、中心の交代を見落としにくくなります。

間違えた図をどう直すか

図3は、2回目もはじめの接点Bを中心にすると誤って考えた場合と、中心をCに替えた場合の対比です。はじめの正方形ABCDを1回倒した後、辺BCが地面につきます。次に倒すときはCが止まり、BはCの上へ動きます。Bを固定し続ける描き方では、右へ進む動きに対応しません。

たとえば1辺8 cmの正方形で、はじめの右下Bを追い、2回右へ倒す場合を考えます。円周率は3.14とします。誤答は「2回ともBが中心だから道の長さは0 cm」です。1回目のBは確かに動きませんが、2回目は新しい右下Cが中心です。BはCの隣にあるため、半径8 cmの四分円を通ります。

正しくは 8×2×3.14÷4 = 12.56 cmです。中心の名前を最初に決めたまま計算すると、2回目にBが地面から離れる事実を落としてしまいます。修正するときは、まず1回目の終わりの姿を描き、地面にある辺の右端に丸を付けます。そこから追う頂点まで線を引き、その線を半径として弧を描きます。

別の誤りは、頂点が向かいにあるのに1辺を半径にすることです。支点と追う頂点を直線で結び、それが辺なのか対角線なのかを見ます。対角線の長さが不足している場合は、問題の条件をもう一度読みます。与えられていない長さを推測で補わず、求められる情報があるかを確かめることが、正しい図への戻り道です。

自分で追う練習

どの問題も正方形は地面で滑らずに右へ倒れます。はじめの左下、右下、右上、左上の順に、それぞれA、B、C、Dとします。1回とは、次の辺が地面につくまで90度倒すことです。円周率はすべて3.14とします。道の長さはcmの小数で、頂点名は文字で答えます。

問題1

1辺が10 cmの正方形を1回倒します。頂点Dではなく、左下の頂点Aが通る道の長さを求めます。まず支点と半径を紙に書いてから計算しましょう。

問題2

1辺が12 cmの正方形を2回倒します。最初の右下の頂点Bが通る道の長さを求めます。1回目と2回目を分け、動かない区間も表に記録します。

問題3

1辺が14 cmの正方形を3回倒します。最初の右上の頂点Cが通る道の長さを求めます。各回の支点を先に書き、半径が辺になる区間を探します。

問題4

1辺が16 cmの正方形を4回倒します。最初の左上の頂点Dについて、動かないのは何回目か、また動かない回を除いたうち、1辺を半径とする弧を通るのは何回目と何回目かを答えます。向かい合う頂点を中心に回る回も区別します。

練習の答えと道筋

問題1の答え

1回目の支点はBで、AはBの隣です。半径は1辺と同じ10 cmです。10×2×3.14÷4 = 15.7より、答えは15.7 cmです。Aを直線で終点まで移す計算ではなく、Bを中心とした四分円の長さを使います。紙に点Bを固定して倒せば、Aが曲線を通ることを確かめられます。

問題2の答え

1回目はBが支点なので0 cmです。2回目はCが支点で、Bはその隣です。半径12 cmの四分円だから、12×2×3.14÷4 = 18.84 cmです。0 + 18.84 = 18.84 cmより、答えは18.84 cmです。2回分の回転角を単純に180度としても、Bは全区間を同じ中心のまわりに動いていないので半円にはなりません。

問題3の答え

支点の順はB、C、Dです。Cは1回目にBの隣なので、半径14 cmの四分円を通ります。2回目はC自身が支点で0 cmです。3回目はDが支点で、CはDの隣なので、もう一度半径14 cmの四分円を通ります。

1回分は 14×2×3.14÷4 = 21.98 cmです。合計は 21.98 + 0 + 21.98 = 43.96 cmです。答えは43.96 cmです。2つの弧は別々の中心で描かれます。同じ半径だからといって中心も同じと考えず、各回の位置を確認してから長さを足します。

問題4の答え

支点の順はB、C、D、Aです。Dは3回目の支点なので、その回は動きません。1回目の支点BはDの向かいにあります。2回目の支点Cと4回目の支点Aは、どちらもDの隣です。

したがって、動かないのは3回目、1辺を半径とする弧を通るのは2回目と4回目です。1回目の半径は対角線DBです。1辺16 cmという情報をそのまま対角線の長さに置き換えないようにします。問われたのは回の区別なので、対角線の長さを計算する必要はありません。

覚えておくこと

• 辺が地面につくたび、次に固定される右端の頂点を選びます。
• 追う頂点が支点なら、その区間の道の長さは0です。
• 隣の頂点は辺、向かいの頂点は対角線を半径として回ります。
• 90度の弧の長さは、その半径の円周の4分の1です。
• 区間ごとの道の長さを足し、単位を付けます。

お子さまと確かめるとき

お子さまが式を立てる前に、紙の正方形の頂点に文字を書き、1回ずつ机の上で倒してみてください。地面についた辺の右端を指で押さえ、「次に動かない点はどこ」とたずねると、中心を替えられているかが見えます。指で押さえた点と、追う点の間をなぞってもらえば、辺と対角線の取り違えも見つかります。

間違いがあったときは、答えを先に直すより、どの回で図と手の動きが違ったかを一緒に探します。中心を自分で選び直せたら、その区間の半径と回転角を言葉にしてもらい、式はお子さまに任せます。最後に動かなかった区間を足し忘れではなく0と記録できたかも確かめます。接点を一つ進めるたび、道筋の見え方が変わります。