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中学受験算数ちょうちょ型の相似—対頂角と平行線を手掛かりに辺の対応をそろえる｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.11更新 2026.11.11武蔵野個別指導塾の特徴中学受験の算数図形

交点を越えて同じ直線上の辺を対応させ、全体の長さや面積比を求めるちょうちょ型の問題に取り組みます。

よくあるのは、交点を挟んで向かい合う三角形を見た小6が、見た目の左右をそろえて辺を対応させる場面です。三角形はくるりと向きを変えて重ねられるので、紙の上で左右が同じ位置にある辺が、いつも対応するとは限りません。

ちょうちょ型では、交差する直線と平行な2辺を手掛かりにします。まず対応する頂点を決め、それから辺の比をそろえます。面積を求めるときも、長さの比をそのまま使わず、どの高さと底辺を比べるかを追います。

問題では何を探すか

1つ目は、平行な2辺の長さと交点までの一方の長さから、もう一方の長さを求める型です。交点で折れ曲がって見える辺でも、同じ直線上にある区間をたどると対応が見えます。平行な辺どうしを比の出発点にして、同じ順番で交点からの区間を並べます。

2つ目は、向かい合う三角形の面積の比や、片方の面積を求める型です。対応する辺が2倍なら高さも2倍です。底辺と高さの両方が変わるため、面積は2倍ではなく4倍になります。どちらの面積を先に置くかで比の順番も変わるので、三角形の名前と比を一緒に書きます。

3つ目は、交点までの比と、交差する線全体の長さを組み合わせる型です。全体を比の和に分けてから、交点までの区間を取り出します。交点が線分の内側にあることを確認しないまま、和で割ることはできません。問題に平行の条件があるか、図に示された線は本当に直線かも最初に読みます。

交点から対応をたどる

図1では、A、O、Dが一直線上、B、O、Cも一直線上にあり、辺ABと辺DCは平行です。上側の三角形AOBと下側の三角形DOCを比べます。Oは2本の直線の交点で、2つの三角形はOを挟んで向かい合っています。

図1の角AOBと角DOCは、向かい合う角で等しく、対頂角（たいちょうかく）といいます。またABとDCが平行なので、直線ADを横切る線として見ると、角BAOと角CDOが等しくなります。直線BCについても、角ABOと角DCOが等しくなります。

3組の角がそれぞれ等しいので、三角形AOBと三角形DOCは相似（そうじ）です。相似とは、形が同じで、大きさが同じか違うかを問わず、対応する辺の長さが同じ割合になる関係です。ここでは角の等しさから、AとD、OとO、BとCを対応させます。

上の三角形	下の三角形	対応を見つける手掛かり
A	D	直線ADと平行な辺の角
O	O	交点の対頂角
B	C	直線BCと平行な辺の角
AO	DO	同じ直線AD上の区間
BO	CO	同じ直線BC上の区間
AB	DC	平行な辺どうし

表の順にすると、AO : DO = BO : CO = AB : DCです。AOとCOを対応させてしまうと、上側のAに対応する点をCとしたことになり、角の対応と食い違います。辺を比べる前に、両端の点をたどると間違いを見つけやすくなります。

交点で向かい合う角が等しいことは、2本の直線が交われば成り立ちます。しかし、そのことだけでは他の角が等しいとは決まりません。ABとDCが平行という条件があって初めて、ここで使った角の対応を言えます。見た目がちょうちょのようでも、平行が示されていない図には注意します。

基本例題：対応する辺を使う

図2で、A、O、Dは一直線上、B、O、Cは一直線上です。ABとDCは平行で、ABは6 cm、DCは9 cm、AOは4 cmです。DOの長さを整数で求めます。

図2では、AにD、BにCが対応します。求めるDOは、与えられたAOと同じ直線AD上にある対応辺です。長さの比を決めてから、1つ分の大きさを求めます。

比べる順番	上側	下側
平行な辺	AB 6 cm	DC 9 cm
交点まで	AO 4 cm	DO

AB : DC = 6 : 9 = 2 : 3

相似な三角形の対応する辺なので、AO : DO = 2 : 3です。AOの4 cmが比の2に当たります。

4 ÷ 2 = 2 cm

比の1に当たる長さは2 cmです。DOは比の3に当たるので、次のように求めます。

2 × 3 = 6 cm

答えは6 cmです。下側は上側の9 ÷ 6 = 1.5倍ですから、4 × 1.5 = 6 cmと確かめることもできます。比を2 : 3に直す前の6 : 9のままでも、同じ割合になるように計算すれば答えは変わりません。

この図では、交差する直線が2本あります。AOとDOは直線AD上、BOとCOは直線BC上です。見た目で上の左側にある辺と下の左側にある辺を選ぶと、AOとCOを組にしてしまいます。平行な辺を上から下の順で置いたら、交点からの辺も上から下の順にそろえます。

面積と線分全体を合わせる

次の自作問題では、A、O、Dが一直線上、B、O、Cが一直線上で、Oはそれぞれの線分の内側にあります。ABとDCは平行です。ABは4 cm、DCは10 cm、ADは21 cm、三角形AOBの面積は8 cm²です。DOの長さと三角形DOCの面積を、それぞれ整数で求めます。

まず平行な辺の比を簡単にします。

AB : DC = 4 : 10 = 2 : 5

対応する辺なので、AO : DOも2 : 5です。ADはAOとDOを合わせた長さです。ここで21 cmがDOの長さだと取り違えると、比の5に全体を当てることになります。全体は2と5を合わせた7に当たります。

2 + 5 = 7

21 ÷ 7 = 3 cm

3 × 5 = 15 cm

したがってDOは15 cmです。残りのAOは3 × 2 = 6 cmで、6 + 15 = 21 cmとなり、与えられた全体に戻ります。

次に面積を考えます。ABとDCをそれぞれ底辺に選ぶと、底辺の比は2 : 5です。相似な三角形では、対応する高さの比も2 : 5になります。高さは平行な底辺へ垂直に測ります。したがって面積の比は、底辺の比と高さの比を掛け合わせます。

三角形AOB : 三角形DOC = 2 × 2 : 5 × 5 = 4 : 25

上側の8 cm²が比の4に当たるので、比の1は8 ÷ 4 = 2 cm²です。下側は2 × 25 = 50 cm²となります。答えはDOが15 cm、三角形DOCが50 cm²です。

判断の分かれ目は、与えられた長さが一方の区間か、交点を挟む全体かという点です。区間なら対応する比の数に当てます。全体なら2つの区間の比を足してから1つ分を出します。面積では、辺の比をそのまま面積に掛けるのでなく、底辺と高さの変化を両方数えます。

間違いを図で戻す

図3も、A、O、DとB、O、Cがそれぞれ一直線上で、ABとDCは平行です。ABは6 cm、DCは9 cm、AOは4 cm、BOは3 cmとします。図2と同じAOに対して、BOを加えた状況です。ここでCOを求めるとき、AOとCOを対応させて「4 cmに対し下側は1.5倍だから、COは6 cm」とするのは誤答です。

図3のAOはAD上にあり、対応先は同じ直線上のDOです。BOはBC上にあり、その対応先がCOです。交点を越えて同じ直線を指でたどり、点の組をAとD、BとCに直します。平行な辺の比は6 : 9 = 2 : 3なので、BO : COも2 : 3です。

3 ÷ 2 = 1.5 cm

1.5 × 3 = 4.5 cm

COの正しい長さは4.5 cmです。6 cmはDOの長さであり、COの長さではありません。数字の計算自体が正しくても、違う辺の値を求めていれば答えはずれます。求める辺の両端を先に書き、その両端に対応する点を上の三角形から探すと直せます。

もう1つの誤りは、交差する線があるだけで、平行の条件を確認せずに比を作ることです。対頂角は等しくても、残りの角が等しいとは限りません。平行の印や文章の条件を探し、見つからなければ、この方法だけでは対応する辺の比を決められないと立ち止まります。

比の置き方を確かめる

比は、どちらを先に書くかを決めれば、逆の順でも使えます。基本例題なら下 : 上は9 : 6 = 3 : 2で、DO : AOも3 : 2です。AOの4 cmは後ろの2に当たります。順番を途中で変えず、長さの名前を添えることが、逆向きの計算を安全に進める手掛かりです。

面積比を使うときは、比の数字を長さそのものと混同しないようにします。2 : 5という比は、底辺が必ず2 cmと5 cmだという意味ではありません。同じ割合であれば4 cmと10 cmでも成り立ちます。面積の4 : 25も、面積が必ず4 cm²と25 cm²という意味ではなく、面積を同じ大きさのまとまりで表した数です。

線全体を分ける問題では、交点が端からどちらに近いかを答えの確かめに使えます。難しい例題ではAO : DOが2 : 5なので、AOの方が短くなります。もしAOを15 cm、DOを6 cmと答えたら、和は21 cmで合っていても比の順番が逆です。和と比の両方を確かめることで、足し算だけでは見えない間違いを拾えます。