中学受験算数 二等辺三角形と正三角形—等しい辺の印から底角を見つけ角を追う｜武蔵野個別指導塾

等しい辺の向かいの角をたどり、傾いた図や正三角形を加えた図で底角を探すとき、手掛かりになるのが二等辺三角形です。

よくあるのは、向きの違う三角形が並ぶと、どの角が底角か取り違える小5の場面です。紙の下にある辺を底辺と決めてしまうと、図を回しただけで答えが変わってしまいます。等しい辺の印から出発し、その向かいの角をたどれば、三角形の向きに頼らず角を求められます。

どの角を先に決めるか

出題の型の1つは、二等辺三角形の頂角から2つの底角を求めるものです。頂角を180度から引くと、残りは同じ大きさの角2つ分です。半分にする前に、引いた角が等しい辺にはさまれた角かを確かめます。

別の型では、底角の一方が与えられ、頂角を求めます。底角を2回引くのは、もう一方の底角も同じ大きさだからです。与えられた角が頂角なら、この計算をそのまま使うことはできません。

もう1つは、正三角形を二等辺三角形に加え、共通の頂点で角を分ける型です。60度を見つけても、それが求める角と同じとは限りません。大きい角の内側に60度があるのか、隣にあるのかを先に読み、足すか引くかを決めます。

等しい辺の向かいを見る

図1の三角形ABCでは、辺ABと辺ACが等しく、Aで2本が出会っています。等しい2辺にはさまれた角Aが頂角、残った辺BCが底辺です。底辺の両端の角Bと角Cが底角で、互いに等しくなります。

図1では辺ABの向かいが角C、辺ACの向かいが角Bです。等しい辺の向かいの角が等しいので、角Bと角Cは同じです。辺に引いた短い印を見つけたら、指でその辺をなぞり、辺に接していない頂点を探してみましょう。

底辺は見た目で下にある辺を意味しません。たとえば辺BAと辺BCが等しければ、等しい辺が出会うBが頂角、残ったACが底辺です。底角はAとCに変わります。同じ頂点の名前を使っていても、等しい辺の組が変われば役割も変わるのです。

正三角形は3辺が等しい三角形です。どの2辺を選んでも等しいため、向かい合う角も3つとも等しくなります。三角形の角の和は180度なので、1つの角は180 ÷ 3 = 60度です。正三角形を別の三角形と重ねた図では、60度がどの2本の辺にはさまれているかまで確認します。

基本例題：頂角から左右の角へ

三角形ABCで、辺ABと辺ACは等しく、角Aは40度です。角Bと角Cをそれぞれ求めます。図2の印は、長さが等しい2辺を表しています。

図2で、ABとACが出会うAは頂角です。残るBCが底辺なので、BとCの角は等しくなります。図の左右にあるから等しいのではなく、等しい辺の向かいにあるから等しいと説明できます。

最後に40 + 70 + 70 = 180となり、角の和に合います。和が180度になることは計算の確認になりますが、それだけではBとCが等しい根拠にはなりません。辺の条件も合わせて見直しましょう。

もし40度を底角と見て180 − 40 − 40と計算すると、100度という別の値になります。この場合は、40度のあるAに等しい2辺が集まっていることを見落としています。計算を始める前に、頂角に小さな印を付けると区別しやすくなります。

正三角形を加えた角の分け方

三角形ABCはABとACが等しい二等辺三角形で、角Aは36度です。辺BC上に、BでもCでもない点Dを取ります。線分ADを辺とする正三角形ADEを、点Eが角BACの内側にくるように作ります。角BAEが18度のとき、角EACを求めます。

まず正三角形ADEの角DAEは60度です。ただし、この60度を角BACからすぐ引くことはできません。角BAC全体が36度なので、60度がその内側に収まるような点Eと点Dの配置は存在しないからです。与えられた条件のままでは図を作れず、答えを決められません。

そこで条件を次のように直します。三角形ABCの外側、辺ACをはさんでBと反対側に点Eを取り、正三角形ACEを作ります。角BACを36度とするとき、角BAEを求めます。線分ACは角BAEの内部にあります。

正三角形ACEより、角CAEは60度です。角BACと角CAEは辺ACを境に隣り合うため、角BAEはその和です。

36 + 60 = 96

答えは96度です。ここでは60度を引かずに足します。どちらを選ぶかは「正三角形だから」では決まらず、求める角を形作る2本の線と、その内側にある線の順番で決まります。

さらに、二等辺三角形ABCの底角も調べられます。180 − 36 = 144、144 ÷ 2 = 72なので、角ABCと角BCAはそれぞれ72度です。頂角の36度と底角の72度は別の角です。正三角形の60度を底角に足す前にも、どの頂点で角を合わせているかを確かめます。

問題の条件が成立するかを先に確かめるのは、答えを出す手順の一部です。図を描けない条件では、見た目に合わせて角の数値を変えてはいけません。条件を読み直し、直した条件であらためて解きます。

向きに引っぱられた誤答を直す

図3の三角形PQRでは、PQとQRが等しく、角Qは100度です。Qは横にあります。角Pと角Rを求める際、下に見える辺を底辺と決めて、角Qを底角とするのは誤りです。

誤答の例は、角Qともう1つの底角をともに100度と考えることです。これでは100 + 100が180を超え、残る角を作れません。原因は、図3の等しい辺がQで出会うことを見ず、紙の上下だけで底辺を選んだことです。

正しくはQが頂角、PRが底辺です。180 − 100 = 80、80 ÷ 2 = 40なので、角Pと角Rはともに40度です。等しい辺の向かいを指さしてから、2つの角に同じ印を付けると修正できます。

角の和が180度になっていても、等しいはずの2つが異なれば条件に合いません。反対に、2つの角が同じでも、3つの和が180度でなければ計算をやり直します。辺の印と角の和は、それぞれ別の確認に使います。

角を追う順番を選ぶ

複数の三角形が重なった図では、最初から求める角のある小さい三角形に注目しても、必要な角が足りないことがあります。そのときは、等しい辺の印がそろっている大きな三角形に戻ります。大きな三角形の底角を先に求め、その角が小さい三角形にも含まれるかを調べると、次の計算へ進めます。

角の名前は、真ん中の文字が頂点を表します。角BACと角CAEはどちらもAにある角ですが、囲んでいる線は同じではありません。辺ACが2つの角の境になっているとき、図で順番に線をたどると、重ならずに隣り合う部分を見分けられます。点の名前を書き並べるだけでなく、角の内側に小さな弧（こ）を描いて範囲を示す方法もあります。

等しい角から等しい辺を探す場合にも、向かい合う位置を使います。たとえば三角形の角Bと角Cが等しければ、それぞれの向かいの辺ACと辺ABが等しくなります。ただし、見た目が似ているだけで角が等しいと決めることはできません。問題文の条件や、それまでに示した角の大きさを根拠にします。

頂角が小さく、細長い二等辺三角形では、底角はそれぞれ90度に近くなります。一方、頂角が大きければ、底角は小さくなります。この関係を頭に置くと、計算の結果が図の条件から大きく外れていないかを見直せます。ただし、図が正確な縮尺で描かれているとは限らないため、見た目だけで角度を決定しません。

正三角形を外側に作るときは、共有する辺のどちら側に新しい頂点があるかが大切です。反対側と書かれていれば、共有する辺を境に2つの三角形が分かれます。内側と書かれた場合には、60度が大きな角の中に収まる必要があります。収まらなければ、計算を続ける前に条件を点検します。

自分で試す4問

紙に点の名前を書き、等しい辺に同じ印を付けてから考えましょう。正三角形を加える問題では、共通の辺と点の位置も記します。

1. 三角形DEFでDEとDFが等しく、角Dは52度です。角Eと角Fを求めます。
2. 三角形GHIでGHとHIが等しく、角Gは31度です。角Hと角Iを求めます。
3. 三角形JKLでJKとJLが等しく、角Kは47度です。角Jを求めます。辺JLの外側、点Kと反対側に正三角形JLMを作るとき、角KJMも求めます。
4. 三角形NOPでNOとNPが等しく、角Nは80度です。辺OP上に点Tを取り、角ONTが25度です。角NTOを求めます。

答えと考え方

1の答え

DEとDFがDで出会うので、角Dが頂角です。角Eと角Fは等しい底角です。

180 − 52 = 128

128 ÷ 2 = 64

答えは角E、角Fともに64度です。52 + 64 + 64 = 180と確かめられます。52度を2回引かないのは、それが底角ではないからです。

2の答え

GHとHIがHで出会うため、底辺はGIです。底角はGとIなので、角Iは31度です。

180 − 31 − 31 = 118

答えは角Hが118度、角Iが31度です。Hが頂角であることを印から決めると、図を回しても同じ答えになります。31 + 118 + 31 = 180で和も合います。

3の答え

JKとJLが等しいので、角Kと角Lはともに47度です。頂角Jは次のように求めます。

180 − 47 − 47 = 86

正三角形JLMの角LJMは60度です。MはJLをはさんでKの反対側にあるため、JLは角KJMを2つに分けています。

86 + 60 = 146

答えは角Jが86度、角KJMが146度です。2つの角はJを共有し、重ならず隣り合うので足します。正三角形の60度がどこにあるかを見ずに86から引くと、別の角を計算してしまいます。

4の答え

NOとNPが等しいので、角Oと角Pは等しい底角です。まず大きな三角形でその角を求めます。

180 − 80 = 100

100 ÷ 2 = 50

Tは辺OP上にあるので、角NOTは角NOPと同じ50度です。三角形NOTの角Nは25度ですから、残る角NTOは次のとおりです。

180 − 50 − 25 = 105

答えは105度です。Tを通る線で分けた後は、小さい三角形NOTだけの3つの角を足します。80度は大きな三角形の頂角なので、小さい三角形の角Nとしてそのまま使いません。残る角TNPは80 − 25 = 55度であり、分けた2つの角を戻すと80度です。

答えを戻して確かめる

4問目では、角NTOを求めた後、三角形NTPにも目を向けられます。OTとTPは一直線上にあるので、角NTOと角NTPの和は180度です。180 − 105 = 75で、角NTPは75度です。三角形NTPの残りの角は55度と50度なので、55 + 50 + 75 = 180となります。

この確認は、最初に求めた角を別の三角形の条件へ戻す作業です。片方の三角形で合計が180度になっても、共通する線の位置を誤ることはあります。隣の角が一直線の角を作ることと、もう一方の三角形の和を合わせて確かめれば、分けた場所の読み違いにも気づきやすくなります。

覚えておくこと

• 等しい2辺が出会う角が頂角、残りの辺が底辺です。
• 等しい辺の向かいにある2つの底角は等しくなります。
• 正三角形の角はそれぞれ60度です。
• 角を足すか引くかは、線が角の内側にあるかで決めます。
• 条件と角の和の両方を確かめます。

家で見守るとき

お子さまが底角を間違えたら、まず答えの数字を直さず、等しい辺を2本指さしてもらいます。次に「その2本が出会う点はどこ」と尋ね、残った辺の両端に角の印を付けてもらいます。印が付けられたら、どちらの角がどちらの辺の向かいかを言葉にしてもらいましょう。

計算で止まっている場合は、180度から何を引くかだけを問い返します。正三角形を加えた図では、60度の角を囲む2本の線をなぞり、求める角との重なりを自分で確かめてもらいます。最後に図を傾けて描き直し、辺の印から同じ角を選べるかを見ます。

図の向きが変わっても、底角は等しい辺の向かいにあります。