中学受験の算数 等差数列—同じ差で増える数の順番と合計を求める｜武蔵野個別指導塾

数と数の間や両端の組、中央の項をたどると、順番と合計が見えてくるのが等差数列です。

よくあるのは、小5のお子さまが数を順に並べた問題で、数と数の間の数を、そのまま並んだ数の個数にしてしまう場面です。最初の数から何回増えたかは正しく数えていても、最初の数自身を数え忘れると、最後の位置が1つずれます。まず数を丸で囲み、その間に線を引いて、丸と線を別々に数えてみましょう。並びのしくみが見えると、遠くの順番や全部の合計も順を追って求められます。

どんなことを問われるか

等差数列（とうさすうれつ）は、隣（となり）合う数の差がいつも同じになるように並んだ数の列です。例えば 3、7、11、15、19 は、右へ進むたびに 4 ずつ増えます。数を1つずつ書いて確かめられる短い列から始め、同じ関係を長い列にも使います。

問われ方には大きく3つあります。1つ目は、最初の数と増え方から、決まった順番の数を求める問題です。2つ目は、最初と最後の数から、並んでいる数が何個あるかを求める問題です。3つ目は、並んだ数を全部足す問題です。合計を求めるときも、最初に個数がわかっているかを確かめます。

最後の数が指定されている場合は、その数まで同じ差で進めるかも見ます。例えば 3 から 4 ずつ増やして 20 には届きません。20 を最後の数として勝手に使うと、両端を組にする計算も成り立たなくなります。条件に合う列を作れているかが出発点です。

数と間を別々に見る

並んだ1つ1つの数を項（こう）といい、その個数を項数（こうすう）といいます。最初の項は第1項、次は第2項です。隣の項から前の項を引いた、いつも同じになる差を公差（こうさ）といいます。ここでは右へ進むと増える列を扱います。

図1のように 3、7、11、15、19 を丸で見ると、項は5個、隣の項をつなぐ間は4個です。第1項から第2項へ1回、第3項へはもう1回進むので、第5項に着くまで増える回数は4回です。図1では両端を含めて丸を数え、線は丸と丸の間だけに引いています。

この列で第5項を求めるなら、最初の 3 に 4 を4回足します。4 × 4 = 16、3 + 16 = 19 です。5番目だからと 4 を5回足すと、もう1つ先の 23 になってしまいます。項数と間の数は、両端を含む列ではいつも1違います。

逆に 3 から 19 まで何項あるかは、まず 19 − 3 = 16 で端の数の差を出します。16 ÷ 4 = 4 は間の数です。最初の項を加えて 4 + 1 = 5 項となります。割り算に余りが出たら、最後の数が実際に列に現れるかを調べ直します。余りを無視して最後の項にしてはいけません。

合計では両端に注目します。3 と 19、7 と 15 はどちらも 22 です。一方の端から1つ内側に進むと 4 増え、反対側から1つ内側に進むと 4 減るため、組の合計は変わりません。5項なら2組を作った後に中央の 11 が残ります。22 × 2 + 11 = 55 です。項が偶数（ぐうすう）個なら残りはなく、奇数（きすう）個なら中央に1項残ります。

項の順番を求める場面では、「第1項から進む回数」を先に書いてからかけ算をします。例えば第20項なら、最初の項から19回進みます。20個の項を紙に全部書かなくても、最初と最後に丸を置き、その間に19回分の増加があると考えられます。公差を20回足す式ができたときは、その式が第21項を表していないか調べます。

項数を逆に求める場面では、端の差を公差で割った結果に名前をつけます。「何個」と書くだけでは、項と間のどちらかわからなくなります。「間が何個」と書けば、出発点を加える理由も見失いません。最初と最後が同じ1項の場合も、差は0、間は0、項は1です。短い列で確かめると数え方がはっきりします。

基本例題：段ごとの枚数を足す

飾りのカードを順に並べます。1段目は 6 枚、次の段からは前の段より毎回 3 枚ずつ多くします。8段目は何枚ですか。また、1段目から8段目までのカードは全部で何枚ですか。

はじめに、段の番号と枚数の関係を数段分書きます。1段目から順に 6、9、12、15、18、21、24、27 枚です。段は8つありますが、1段目から8段目まで増える間は7つです。図2のように左右から1段ずつ組にすると、どの組も同じ枚数になります。

まず8段目の枚数を式で確かめます。

8 − 1 = 7 回（1段目から8段目まで増える回数）

3 × 7 = 21 枚（最初から増えた枚数）

6 + 21 = 27 枚（8段目の枚数）

次に、両端の段の枚数を足します。

6 + 27 = 33 枚（1組の枚数）

8 ÷ 2 = 4 組（8段を2段ずつ組にした数）

33 × 4 = 132 枚（8段の合計）

答えは8段目が 27 枚、全部で 132 枚です。図2の2番目の組も 9 + 24 = 33 枚、3番目も 12 + 21 = 33 枚です。最後の組も 15 + 18 = 33 枚なので、4組分を足す計算で、どの段も1回ずつ数えています。

答えを条件に戻すと、8段目の 27 から1段戻るごとに 3 を引けば、7段目は 24、さらに戻って1段目は 6 です。合計は順に足しても 6 + 9 + 12 + 15 + 18 + 21 + 24 + 27 = 132 になります。端の和に8をかけた 264 は、各段を2回ずつ数えた値なので、そのまま合計にはしません。

一段むずかしく：最後と中央を見つける

ある棚に、上から順に小箱を並べます。1段目は 5 個、下の段へ行くたびに前の段より 4 個ずつ増えます。最後の段は 45 個です。段は何段あり、小箱は全部で何個ですか。

ここでは段数が与えられていないので、先に最後までの間を調べます。1段目の 5 個から最後の 45 個まで、増えた数は 45 − 5 = 40 個です。1段進むたびに 4 個増えるので、40 ÷ 4 = 10 回進みます。10 は段数ではなく間の数です。最初の段を加えて、10 + 1 = 11 段となります。

11段の枚数を実際に書くと、5、9、13、17、21、25、29、33、37、41、45 個です。最後まで4個ずつ増えており、45 も列に入ります。段数が奇数なので、両端を組にすると中央の1段が残ります。中央は上から6段目で、5 + 4 × 5 = 25 個です。

両端の組は 5 + 45 = 50 個です。中央の1段を除くと 11 − 1 = 10 段あり、10 ÷ 2 = 5 組です。したがって 50 × 5 = 250 個、中央の 25 個を足して 250 + 25 = 275 個です。答えは 11 段、合計 275 個です。

分かれ目は、項数が偶数か奇数かです。偶数なら全項を2つずつ組にできます。奇数なら中央を残して組の数を出し、最後に中央を足します。上の列では 9 + 41 も 13 + 37 も 50 です。中央の 25 は両端の和 50 の半分なので、中央を二重に数えていないかを確かめる手がかりにもなります。

最後の 45 個を1段目から10回増やした数として戻すと、5 + 4 × 10 = 45 です。合計も順に足すと 5 + 9 + 13 + 17 + 21 + 25 + 29 + 33 + 37 + 41 + 45 = 275 です。段数と合計の両方を、もとの並びに戻して確かめられます。

間を項として数えたら

3、7、11、15、19 の列で、19 − 3 = 16、16 ÷ 4 = 4 と計算し、「4項」と答える誤りを考えます。引き算と割り算は合っていますが、4 が表すのは項ではなく、隣の項の間です。図3のように4本の線を引くと、その両側にある丸は5個あります。

原因は、最初の 3 を置いた時点ですでに1項あることを忘れた点です。修正するときは、4本の線に対応する4回の移動を指でたどり、出発点の丸を加えます。4 + 1 = 5 項です。図3の最後の丸が 19 を表すことまで見れば、端を含んだ数え方だと確認できます。

別の誤りとして、合計を求めるときに 3 + 19 = 22 の後、22 × 5 = 110 とする場合があります。これは両端から組にした列を2回分数えています。5項では 22 の組が2つと中央の 11 が1つなので、22 × 2 + 11 = 55 です。何を何組数えているか、式の横に言葉を添えると修正しやすくなります。

最後が列に入らない場合もあります。例えば 3 から4ずつ増やすと、19の次は23です。20 を終点とした列の合計を求める場合、20を項として足すのではなく、20以下の最後の項が19だと確かめます。「20まで」と「最後の項が20」では条件の読み方が違います。

組を作る操作は、並びを書き換える操作です。最初と最後を使ったら、その2項に印をつけ、次に残った両端を使います。中央が残る列で中央をもう一度別の項と組にすると、その項を重ねて数えてしまいます。組にした項と残った項を区別してから足すと、数え漏れも重なりも見つけやすくなります。

条件を読み違えたかもしれないときは、最初の数、公差、最後の数をそれぞれ別に書き出します。隣の差を確かめずに端の和だけで計算すると、途中で増え方が変わる列にも同じ方法を使ってしまいます。各組の和が等しくなるのは、両側で同じ大きさずつ増減するからです。この理由を小さな列で確かめてから長い列へ進みましょう。

手を動かして確かめる4問

問題を先に解き、並びと式を書いてから答え合わせをしましょう。各問題の数は、その問題の中の条件です。

1. ビーズを1列目に 8 個置き、次の列からは前の列より 5 個ずつ多く置きます。7列目には何個置きますか。
2. 本を上の段から順に、1段目に 12 冊、次の段からは前の段より 2 冊ずつ多く並べます。最後の段が 30 冊のとき、全部で何段ありますか。
3. 袋に入れる玉を1袋目から順に 4 個、7 個、10 個というように、前の袋より 3 個ずつ増やします。10袋では全部で何個ですか。
4. 箱に入れる札を1箱目から順に 7 枚、11 枚、15 枚というように、前の箱より 4 枚ずつ増やします。最後の箱が 39 枚のとき、箱は何個で、札は全部で何枚ですか。

答えと道筋

1. 38 個。 7列目までの間は 7 − 1 = 6 個です。増えた数は 5 × 6 = 30 個なので、8 + 30 = 38 個です。列を 8、13、18、23、28、33、38 と並べると、7列目が 38 個で、隣の差も 5 個です。38 にさらに5を足した 43 は8列目なので、間を1回多く数えないようにします。

2. 10 段。 両端の差は 30 − 12 = 18 冊です。間は 18 ÷ 2 = 9 個、最初の段を加えて 9 + 1 = 10 段です。実際に 12、14、16、18、20、22、24、26、28、30 と並べると10段あり、最後も条件どおりです。9段と答えた場合は、9が間の数か段の数かを図に戻して確認します。

3. 175 個。 10袋目までの間は 10 − 1 = 9 個です。最後の袋は 4 + 3 × 9 = 31 個です。両端の和は 4 + 31 = 35 個、10 ÷ 2 = 5 組なので、35 × 5 = 175 個です。並びは 4、7、10、13、16、19、22、25、28、31 です。例えば 7 と 28 も 35 になり、順に足しても 175 個です。

4. 9 箱、207 枚。 両端の差は 39 − 7 = 32 枚、間は 32 ÷ 4 = 8 個です。箱は 8 + 1 = 9 個あります。並びは 7、11、15、19、23、27、31、35、39 枚で、中央は5箱目の 23 枚です。両端の和は 7 + 39 = 46 枚、中央を除いた 8 箱は 8 ÷ 2 = 4 組です。46 × 4 + 23 = 207 枚です。順に足しても207枚となり、最後は1箱目から4枚ずつ8回増やした 39 枚です。

答え合わせの際は、最後の項を出す式と合計を出す式を分けて見ます。最後の項が違えば組の和も変わるため、先に並びの端を確かめてください。

覚えておくこと

• 項数は、両端を含む間の数に1を足します。
• 順番の数は、最初の項に公差を間の数だけ足します。
• 両端から組むと、各組の和は同じです。
• 奇数個の列では、中央の1項を最後に加えます。

お子さまと確かめるとき

答えが1つずれたら、まず計算を直す前に、お子さまが図のどこまで説明できるか聞いてみてください。「最初の丸から最後の丸まで、何回進んだかな」とたずね、項と間を指でたどるところから始めます。間の数を言えたら、出発点の丸を含めて項を数える一手を促します。

合計で迷ったときは、両端の2つを指さし、次の組も同じ和になるかを確かめます。奇数個なら中央が残ることを、お子さま自身に丸で囲んでもらいましょう。項の場所と間の回数が結びつくと、長い並びも筋道を立てて数えられます。