中学受験の算数 計算の工夫—式のまとまりを見つけて計算の順序を選び直す｜武蔵野個別指導塾

25と4で100を作る方法や、24枚入りの箱をまとめて数える例から、式の値を保つ変形を確かめましょう。

よくあるのは、小4のお子さまが式の左から順に計算し、途中で大きな数を書き並べる場面です。たとえば 25 × 37 × 4 では、最初に 25 × 37 を筆算することもできます。しかし、25 と 4 に注目すると、先に 100 を作れます。答えを急いで変形する前に、どの数が一緒になると扱いやすいかを見てみましょう。

どのまとまりを先に見るか

計算の工夫には、いくつかの出方があります。1つ目は、かけ算の数を並べかえて、10 や 100 になる組を作る型です。25 と 4、125 と 8 のように、積がきりのよい数になる組が見つかると、途中の筆算を減らせます。数を動かせるのは、かけ算だけが続く部分です。

2つ目は、同じ数をかけた2つの積をまとめる型です。たとえば、同じ枚数のカードが入った箱が2種類あるとき、箱の数を足してから1箱の枚数をかけても、種類ごとに求めてから足しても、全体の枚数は変わりません。この関係が、式を短くする手がかりになります。

3つ目は、100 に近い数を 100 と少しの差に分ける型です。98 を 100 より 2 小さい数と見れば、100 倍から 2 倍を引いて求められます。ただし、工夫を探す間にもとの式の値を変えてはいけません。計算の決まりを守りながら、同じ値のままで見やすい式へ直すことが出発点です。

交換と分配が使える場所

交換（こうかん）は、足し算の数や、かけ算の数の順序を入れかえることです。たとえば 7 × 4 と 4 × 7 は、どちらも 28 です。かけ算だけが続く 25 × 37 × 4 なら、25 × 4 × 37 と並べかえ、先に 25 × 4 を計算できます。

25 × 4 × 37 = 100 × 37 = 3700

一方、引き算やわり算では、順序を勝手に入れかえられません。12 − 3 は 9 ですが、3 − 12 は小学校で扱う範囲の数では表せません。12 ÷ 3 は 4 ですが、3 ÷ 12 は 4 ではありません。記号ごとに動かせるかを確かめましょう。

分配（ぶんぱい）は、1つの数を、かっこの中のそれぞれの数にかける考え方です。図1のように、1組に 6 個あるものが 3 組と 2 組あれば、3 組分と 2 組分を足しても、合わせた 5 組分を求めても、個数は同じです。

図1では 6 × 3 + 6 × 2 と 6 × (3 + 2) が対応します。左は 18 + 12 で 30、右は 6 × 5 で 30 です。かっこを外すときは、6 を 3 と 2 の両方にかけます。片方にしかかけないと、もう一方の組の個数が抜けてしまいます。

引き算でも、同じ数をそれぞれにかけた差はまとめられます。8 × 9 − 8 × 2 は、8 × (9 − 2) と同じです。9 組から 2 組を取り去るので、残る 7 組に 8 をかけるのです。共通する 8 が本当に両方の積にあるかを、書き直す前に指で追ってください。

かっこがあるときは、原則としてその中を先に計算します。かっこがなく、足し算と引き算、かけ算とわり算が混ざる式では、かけ算とわり算を先に計算します。同じ優先順位の計算が続く場合は、決まりに合う変形をしない限り左から進みます。特に、引く部分全体をかっこでくくるときは、どこからどこまでを引くかに注意します。

基本例題：共通する数をくくる

1箱に 24 枚ずつ紙が入っています。青い箱が 13 箱、白い箱が 7 箱あります。紙は合わせて何枚ですか。箱の中の紙はどれも数えます。

青い箱の紙は 24 × 13 枚、白い箱の紙は 24 × 7 枚です。したがって、求める式は次のようになります。

24 × 13 + 24 × 7

図2のように、両方に 24 があることを確かめます。1箱あたりの枚数が同じなので、まず箱の数を合わせてから、24 枚ずつ数えることもできます。

式を順に書くと、次のとおりです。

24 × 13 + 24 × 7 = 24 × (13 + 7) = 24 × 20 = 480

答えは 480 枚です。最初の変形では、共通する 24 を1回書き、残った箱の数 13 と 7 を足しています。次にかっこの中を計算し、最後に 24 を 20 倍しました。13 と 7 の和が 20 になるため、2回の大きなかけ算をするより見通しがよくなります。

元の式でも確かめます。24 × 13 は 24 × 10 + 24 × 3 なので、240 + 72 = 312 枚です。24 × 7 = 168 枚です。312 + 168 = 480 枚となり、まとめた式の答えと一致します。箱の数は 13 + 7 = 20 箱で、1箱ずつ 24 枚なら 480 枚という条件にも戻せます。

この方法が使えるのは、箱ごとの枚数が同じだからです。もし青い箱と白い箱で1箱あたりの枚数が違えば、箱の数だけを足して一方の枚数をかけることはできません。式を作る前に、何が共通しているのかを言葉で確かめると、くくれる数を見落としにくくなります。

近い数に分けるときの分かれ目

1束に 36 本ずつ入った色紙があります。これが 98 束あるとき、色紙は何本ですか。

式は 36 × 98 です。98 を 100 − 2 と見て、まず 100 束分を求め、そこから余分な 2 束分を引きます。

36 × 98 = 36 × (100 − 2) = 36 × 100 − 36 × 2 = 3600 − 72 = 3528

答えは 3528 本です。100 束分には、求めたい 98 束より 2 束多く入っています。引くのは 2 本ではなく、1束 36 本が 2 束分の 72 本です。ここが、100 からの差を式にするときの分かれ目です。

元の 98 束に戻しても確かめます。90 束分は 36 × 90 = 3240 本、8 束分は 36 × 8 = 288 本です。3240 + 288 = 3528 本なので、先ほどの答えと合います。100 束より少ないので、答えが 3600 本より小さいことも条件に合います。

逆に 102 束なら、100 束に 2 束を加えます。100 に近いという見た目だけで引き算を選ぶのではなく、もとの束数が 100 より大きいか小さいかを先に見ます。増やした分を後から引くのか、足りない分を足すのかを口に出すと、符号を決めやすくなります。

誤答から、抜けた組を探す

6 × (10 + 3) を、6 × 10 + 3 = 63 としてしまうことがあります。図3のように、10 組分には 6 をかけていますが、3 組分は 3 個として数えてしまっています。3 は個数ではなく組の数なので、このままでは1組 6 個という条件が反映されません。

正しくは、かっこの中の両方に 6 をかけます。

6 × (10 + 3) = 6 × 10 + 6 × 3 = 60 + 18 = 78

図3で右の3組にも1組あたり 6 個を対応させると、抜けた計算が見えます。かっこの中を先に計算して 6 × 13 = 78 としても、同じ答えです。2通りが合うかを確かめる習慣は、分配のかけ忘れを見つける助けになります。

もう1つの誤りは、24 − 8 ÷ 2 を左から (24 − 8) ÷ 2 = 8 とすることです。もとの式にそのかっこはありません。わり算を先に行うので、24 − 4 = 20 です。工夫を使うときも、記号の優先順位を無視してよいわけではありません。書き足したかっこが元の式と同じ値を表すか、必ず確かめます。

工夫を選ぶ前の点検

式を見たら、まず記号を読みます。足し算だけが続くのか、かけ算だけが続くのか、途中に引き算やわり算があるのかで、動かせる部分が変わります。たとえば 18 + 27 + 2 なら、18 と 2 を先に足して 20 + 27 = 47 とできます。一方、18 − 7 + 2 を 18 − (7 + 2) に直すと、もとの 13 が 9 に変わります。引く数に足す数を勝手に含めたためです。

かけ算とわり算が混ざる場合も、数字だけを見て順序を決めないようにします。24 ÷ 6 × 2 は、左から計算して 4 × 2 = 8 です。24 ÷ (6 × 2) とすると 2 になり、別の式です。かっこを付けるだけでも、何を何で割るかが変わることがあります。変形した式を見たとき、元の操作と同じかを説明できなければ、いったん元の式に戻ります。

共通する数が見つかった場合には、それが足し算のそれぞれの項にかかっているかを見ます。たとえば 9 × 11 + 9 × 4 なら、9 × (11 + 4) とできます。9 が 11 にも 4 にもかかっているからです。9 × 11 + 4 では、後ろの 4 に 9 はかかっていません。同じ形で 9 × (11 + 4) としてしまうと、もとの 103 が 135 に変わります。数字が一度見えただけで共通と判断せず、かけ算のまとまりを囲んで確かめましょう。

まとまりを見つけても、いつも変形した方が速いとは限りません。かっこの中がすぐに計算できるなら、まずそこを計算する方法で十分なこともあります。工夫は決まった形を当てはめる競争ではなく、同じ答えにたどり着く道筋を選ぶための道具です。途中式が長くなりそうなら、元の式から別の組を探し直してかまいません。

確かめるときの手がかり

大きさの見当も、間違いに気づく手がかりです。36 × 98 は 36 × 100 より小さく、36 × 90 より大きくなります。したがって答えは 3240 より大きく 3600 より小さいはずです。これは正確な答えを出す計算ではありませんが、桁を取り違えた答えや、引くべきところを足した答えを見直すきっかけになります。

たとえば 3600 より大きい答えが出たら、100 束から 2 束を取り去る場面なのに足し算をしていないか、式の行を戻って見ます。

見当の範囲に入っただけでは正解とは限りません。正確な計算は、元の式のまま別々に計算して確かめます。箱や束の問題なら、答えに枚、本、個のどれを付けるかも確認します。途中で出した 20 は箱の数で、最後の 480 は紙の枚数です。同じ数字でも何を表しているかを添えれば、次にどの計算をするか選びやすくなります。

練習：まとまりを選ぶ

次の4問は、どこに注目したかを途中式に残して解いてください。暗算できるところも、何を先にしたか1行書いてみましょう。

1. 125 × 19 × 8 を計算してください。
2. 1袋に 16 個ずつ石が入っています。赤い袋が 12 袋、緑の袋が 8 袋あります。石は合わせて何個ですか。
3. 1箱に 28 本ずつ鉛筆があります。99 箱では何本ですか。
4. 72 × 15 − 72 × 5 を計算してください。

練習の答えと道筋

1. 125 と 8 を先にかけます。かけ算だけなので順序を入れかえられます。

125 × 19 × 8 = 125 × 8 × 19 = 1000 × 19 = 19000

答えは 19000 です。元の順でも 125 × 19 = 2375、2375 × 8 = 19000 です。どちらの順でも値が変わらないことを確かめられます。

2. 1袋の 16 個が共通です。袋の数を足すと 12 + 8 = 20 袋なので、16 × 20 = 320 個です。式では 16 × 12 + 16 × 8 = 16 × (12 + 8) = 320 と書けます。別々に求めると 192 個と 128 個で、その和も 320 個です。答えは 320 個です。

3. 99 箱を 100 箱より 1 箱少ないと見ます。28 × 99 = 28 × (100 − 1) = 2800 − 28 = 2772 です。答えは 2772 本です。90 箱分の 2520 本と 9 箱分の 252 本を足しても 2772 本になります。引くのは 1 本ではなく 1 箱分の 28 本です。

4. 両方の積に 72 があるので、15 組から 5 組を引いた数をかけます。72 × 15 − 72 × 5 = 72 × (15 − 5) = 72 × 10 = 720 です。別々に計算すると 1080 − 360 = 720 です。答えは 720 で、元の2つの積の差にも戻せます。

覚えておくこと

• かけ算だけの部分は、順序を入れかえて組を作れます。
• 共通する数を見つけたら、残りをかっこにまとめます。
• かっこを外すときは、それぞれの数にかけます。
• 変形後の値が元の式と同じか、別の順序でも確かめます。

家で見守るとき

お子さまが大きな筆算を始めたら、すぐに答えを教える前に「どの数とどの数を組にすると計算しやすいかな」と聞いてみてください。図のどこが1組で、どこが組の数かを説明できれば、式の中の共通する数も探しやすくなります。説明が止まった場合は、同じ数に印を付ける一手だけを促します。

答えが違ったときは、最初から解き直す前に、かっこの中の両方にかけたか、足すか引くかを確認します。筆算を選んだ場合も、計算が正しければ一つの方法です。その後できる組を探し、2つの道筋が同じ答えに着くことを比べると、次の式でも選ぶ手がかりになります。式のまとまりを見つける目が、計算の工夫を支えます。