共通テスト数学の文章題で式だけ正しい—単位をそろえてから数値を入れる｜武蔵野個別指導塾

分速と時間を混ぜた移動距離の例で、式の両辺に単位を添えると、換算が必要な行を見つけられます。

速さに時間を掛ける式が正しくても、数値に付いた単位が合っていなければ距離は正しく求まりません。分速なら時間を分に、時速なら時間を時間にそろえてから代入します。式の左辺に求めたい単位を書き、右辺の単位がそこに届くかを追うと、換算すべき位置が見えてきます。

よくあるのは高2の新学期、計算は合うのに移動距離が不自然に大きくなった演習という場面です。お子さまが「速さに時間を掛けたのに」と答案を見返すと、掛け算そのものには間違いがありません。数字の計算と、その数字が表す量の扱いを分けて調べると、直す場所を絞れます。

数字が表す時間を取り違える

たとえば、分速80 mで0.5時間進む場合を考えます。距離を求める関係は「距離 = 速さ × 時間」です。この関係に80と0.5をそのまま入れて40 mとすると、数の掛け算は合っています。しかし80は1分あたりの長さで、0.5は時間を単位とした数です。0.5時間は0.5分ではありません。

図1のように、数だけを掛けた線と、単位をそろえてから掛けた線を分けて見ます。0.5時間は30分ですから、距離は80 m/分 × 30分 = 2400 mです。分が打ち消されてmが残ります。40という数値だけを見て、その後ろにmを付ける操作には根拠がありません。

この違いは、式の形の誤りとは別です。速さと時間の積が距離を表すという関係は正しくても、分速に対応する時間の数は分で表す必要があります。単位が違う数を並べたまま答えにmを付けると、数値の意味が途中で変わります。単位を書かない答案では、この変化が見えにくくなります。

数値が小さいから、あるいは答えが大きいからといって、大小だけで誤りを決めることもできません。移動する時間や速さによって妥当な距離は変わります。ここでは0.5時間が30分であることと、1分に80 m進むことを照合して、答えの根拠を示します。大きさの感覚は見直しのきっかけにはなりますが、換算の代わりにはなりません。

答案のどこを戻すか

まず問題文の量に、数値と単位をひと組で書き出します。80にはm/分、0.5には時間を付けます。次に、答案にある式を言葉で読みます。「速さ × 時間」と書けていれば、関係を選ぶ段階は通過しています。その次の行に80 × 0.5とあれば、数字を入れるときの単位を調べます。

もし最初から速さと距離を掛けていたなら、単位換算だけでは直りません。距離を求めたいのか、時間を求めたいのかを問題文へ戻して、関係を立て直します。一方、関係が正しく、掛け算の筆算だけが違うなら、換算後の数値から計算をやり直します。誤りの種類を先に分ければ、正しい部分まで消す必要はありません。

別の見方として、分速80 mは1分で80 mという意味です。30分なら、同じ速さが続くという条件の下で80 mを30回分合わせます。この言葉の説明と2400 mが対応するかを確かめます。途中で速さが変わる問題なら、その区間ごとに条件を読み直す必要があり、同じ式を全体へそのまま使うことはできません。

答案に単位が書かれていない場合、どこで換算したつもりなのかを推測せず、各数の横に元の単位を補います。最後に付いたmからさかのぼるのではなく、与えられた量から順に追うのがポイントです。式の両辺の単位が一致していても、それだけで条件の読み取りや計算が正しいとは限りません。単位の整合は必要な点検の一つです。

間違いを残して比較する

答案の一行目に「距離 = 速さ × 時間」、二行目に「80 × 0.5 = 40」と書いたとします。一行目の言葉はそのまま残し、二行目に単位を補うと「80 m/分 × 0.5時間」となります。この行では時間の単位が一致していません。元の行を消して正解だけを書くと、次に同じ間違いをしたときに、どの判断を直すのか見えなくなります。

修正するときは、二行目の手前に「0.5時間 = 30分」を挿入し、その下へ「80 m/分 × 30分」と書きます。直した部分が時間の値であること、距離の関係を変えていないことを見比べられます。もし計算の答えだけを直して2400と書いても、30分という根拠がなければ換算を再現できたかは判断できません。

反対に、分速を時速へ換算する場合は、元の80 m/分を4800 m/時間に直します。0.5時間はそのまま使い、4800 m/時間 × 0.5時間 = 2400 mです。時間を分へ直す方法と結果が一致することは検算になります。ただし、同じ元の条件を両方の方法で読み違えていれば一致しても誤りが残ります。最初の単位と求める量も問題文に戻して確かめます。

両辺の単位をつなぐ手順

練習用に、一定の速さで歩く人が分速75 mで1.2時間進む場面を考えます。求める量は移動距離で、答えはmで表すことにします。実際の移動を調べた数値ではなく、計算のために置いた数です。

1. 関係を言葉で書きます。距離 = 速さ × 時間です。求める距離の単位はm、速さはm/分なので、右辺に掛ける時間は分で表せばつながります。
2. 時間を換算します。1時間は60分なので、1.2時間 = 1.2 × 60分 = 72分です。1.2に60を掛けた結果は時間ではなく分として記録します。
3. 単位を付けて代入します。距離 = 75 m/分 × 72分 = 5400 mです。m/分の「分」と72分の「分」が対応し、残るのはmです。
4. 結果の意味を確認します。1分に75 m進む速さが72分続くので、75 mを72回分合わせた距離になります。求める量と残った単位が一致しています。

図2のように、換算の矢印は時間の値から代入する値へ向けます。最後の答えに60を掛け足すより、どの量を何に直したかが見えます。距離の単位をkmにしたい場合は、5400 mを5.4 kmに直せますが、これは距離を求めた後の単位変換です。時間を分に直す操作とは対象が違います。

別の経路として、速さを時速に変えても同じ距離になります。75 m/分は1時間に75 × 60 = 4500 m進むので、4500 m/時間です。これに1.2時間を掛けると5400 mです。時間を変える方法と速さを変える方法は、どちらも右辺の時間単位をそろえます。両方を変えたうえで元の数値を混ぜないよう、採用した経路を答案に残します。

1.2時間を1時間2分と読むのも別の誤りです。小数部分の0.2は1時間の0.2倍なので12分であり、合わせて72分です。小数の数字をそのまま分として移すのではなく、1時間を何分に分けた量かを計算します。逆に1時間12分を時間単位で表すなら、12分は12/60時間で、1.2時間です。

単位を変える先が違うとき

分速ではなく時速で速さが与えられ、時間が分で書かれている場合は、時間を60で割って時間に直せます。図3のように、たとえば時速6 kmで20分進むなら、20分は1/3時間なので距離は2 kmです。分をそのまま掛けて120 kmとする前に、時速の「時間」に合わせます。図の矢印は分から時間への変換を表し、図2とは換算の向きが逆です。

0分なら距離は0です。一定の速さが正であっても、進んだ時間が0なら移動距離は増えません。また、距離が0のときに時間を逆算するには速さの条件を読みます。速さが0なら、距離を速さで割る操作はできず、この関係だけから経過時間は決まりません。単位が合うかと、割り算が可能かは別々に確かめます。

速さが区間ごとに変わる場合は、各区間の時間と速さを対応させ、それぞれの距離を求めて同じ単位に直してから足します。たとえば前半の速さと全体の時間を掛けると、単位はmになっても後半の条件が反映されません。単位点検を通った式でも、問題文の条件との照合が必要です。

距離の単位も混ざるとき

時間の単位をそろえた後には、距離の単位が求める単位と一致しているかを見ます。m/分と分を掛ければmが残り、km/時間と時間を掛ければkmが残ります。mで得た答えをkmで書くには1000 m = 1 kmを使います。距離の数値を1000で割るとき、時間の数値まで同時に割る必要はありません。

たとえば計算の結果が1500 mで、答えをkmで求められているなら1.5 kmです。1500 mと1.5 kmは同じ長さを異なる単位で表しています。数字が小さくなっても移動した距離が短くなったわけではありません。式の途中と答えの単位が違う場合は、変換した行を残すことで、数値が変わった理由を追えます。

また、分速の値をkm/時間に直す場合は、時間と距離の両方について変換が必要です。分あたりを時間あたりにするため60倍し、mをkmにするため1000で割ります。どちらの変換も数値に作用するので、どの単位が変わったのかを一行ずつ書きます。時間だけ、または長さだけを変えてkm/時間と記すと、ラベルと数値が対応しません。

手元で確かめる問題

たとえば一定の速さで走る乗り物が、時速9 kmで40分進みます。進んだ距離をkmで求めてください。次のうち正しい値は A 360 km、B 6 km、C 2 km です。まず時間の単位を書き換え、速さとの積を作ってから選んでみます。

解答はBの6 kmです。40分は40/60時間、つまり2/3時間です。9 km/時間 × 2/3時間 = 6 kmとなります。Aは40を時間の数として掛けた値で、元の40は分です。Cは与えられた速さと換算後の時間の積に一致しません。Aを選んだ場合は、速さの分母と時間の単位を並べた所へ戻ります。Cを選んだ場合は、40/60の約分と9との掛け算を順に確かめます。

正答を見た後は、解答を隠して「40分をなぜ2/3時間にしたか」を声に出して説明してみます。選択肢の値を覚える代わりに、1時間が60分という関係から換算を再現できれば、別の数でも同じ判断を使えます。選択肢がなくても単位付きの式で結論に届くかを試すと、選んだ理由が残ります。

答えの大きさを使う見直し

単位付きの式を作った後、答えが条件と釣り合うかも見ます。たとえば1時間より短い時間を、一定の時速で進むなら、距離の数値はその時速が示す1時間分の距離より小さくなります。これは速さが正で、距離の単位を同じにした場合の比較です。単位が違う数値をそのまま大小比較してはいけません。

ただし、この見直しは答えを一意に決めません。1時間分より小さい候補が複数あれば、単位をそろえた掛け算に戻って区別します。0時間やちょうど1時間を含む場合も、不等号を機械的に使わず、それぞれ0倍、1倍として考えます。見積もりは換算や計算を点検する入口であり、根拠となる式を省く理由にはなりません。

文章題で複数の量が並ぶときは、数値を見つけた順に掛けず、求める量に対応する関係を先に書きます。数字の横に単位を付けた状態なら、余分な量を入れていないかも見やすくなります。単位が合うことと問題の条件を満たすことの両方を、順に確認します。

質問に持っていくもの

教科書では速さ、時間、距離の関係と単位換算を扱う箇所に戻ります。公式の形を見るだけで終えず、自分の答案の数値に元の単位を書き込み、どの行で時間の単位が変わったかを示します。「この式は距離を求めていますが、ここの時間を分に直す理由が説明できません」と聞けば、関係の選び方と換算のどちらを確認したいかが伝わります。

答えが合った場合も、途中に書いた単位と計算を持っていくとよいです。たまたま別の誤りが重なって同じ数値に見える可能性があるため、各行の量を照合します。教科書の例と数値が異なっても、1時間と60分の対応、速さの分母、求める単位がどう結び付くかを自分の言葉で説明します。

個別指導で確かめるなら、問題文に記した単位と、代入後の式を並べて見ます。お子さまがどの量を換算したかを指でたどり、単位が消える位置を説明できるかを確認します。計算を直した紙には元の式も残し、関係の誤りと換算の誤りを見比べます。

まとめ

距離 = 速さ × 時間という形を選んだ後も、速さの分母と時間の単位を照合します。換算した数に単位を添えて代入すれば、どこで何を直したかを追えます。数値の前に単位をそろえると、式の意味が答えまでつながります。