共通テスト数学のメモで同じ文字が混ざる—問いの区切りで変数の定義を更新する｜武蔵野個別指導塾

長方形の幅と面積を同じ文字で表す例で、問いの区切りに見直したいのは変数の定義です。

小問が変わったら、同じ文字でも何を表すかをその問いの定義に戻って確かめます。図形や条件が引き継がれていても、文字の意味まで引き継がれるとは限りません。式を使う前に、量の名前、単位、動く範囲を照合しましょう。

高3の秋、前の小問の文字の意味を次の式に持ち込んでしまった机を想像してください。最初の計算は合っていたのに、次の問いでは求めたい量と式の単位が合いません。文字の見た目は同じなので、前の式をそのまま使いたくなります。そこで必要なのは計算を増やすことではなく、その文字が今どの量を指しているかを読み直すことです。

同じ文字が別の量に変わるところ

自作の例で、横の長さが 6 cm、縦の長さが 4 cm の長方形を考えます。最初の問いでは「左端から幅 x cm の帯を切り取る」とし、帯の面積を求めます。帯の幅は 0 cm 以上 6 cm 以下です。縦の長さは 4 cm なので、帯の面積は 4x cm² です。たとえば x = 2 なら、帯の面積は 8 cm² になります。

次の問いでは同じ長方形について「切り取った帯の面積を改めて x cm² とする」と定義します。ここで x は幅ではなく面積です。前の問いで x = 2 と置いたときの帯を考えるなら、次の問いの x は 8 です。両方を同じ記号で書いても、同じ数を入れる理由にはなりません。

図1のように、前の x は幅を指し、後の x は帯の面積を指します。図の矢印は同じ帯に対応する値を示します。長方形そのものは変わらず、縦が 4 cm という条件も残ります。一方、文字の定義は問いの文によって切り替わります。

後の問いで帯の面積を求める式として 4x をそのまま使うと、面積にさらに長さを掛けた形になり、単位は cm³ です。求めたいのが面積なら、ここで違和感に気づけます。ただし、単位が合わないことは誤りを見つける手がかりであって、単位が合うだけで正しい式と証明されるわけではありません。

小問の文章には、前の設定を引き継ぐ言葉と、新しい量を定める言葉が同居することがあります。「同じ長方形」と書かれていれば形や寸法を引き継ぎますが、それだけで x の定義を決められません。反対に、文字が改めて定義されても、前から有効な図形の条件が全部消えるわけではありません。どちらも文に根拠を置いて分けます。

答案のどの行で意味がずれたか

自分の答案を見返すときは、誤答の数字だけでなく、その数字を作った式の x が何を表していたかをたどります。前の問いに「x は幅」と書き、次の問いに「x は面積」と書いて、それぞれの単位を添えてみます。同じ文字を二つ並べても、名前が異なることが見えるはずです。

たとえば次の問いで「帯の面積が 8 cm² のとき、帯の幅を求める」とします。新しい定義では x = 8 です。幅を求めるには、面積を縦の長さ 4 cm で割り、8 ÷ 4 = 2 cm とします。前の式 4x に 8 を代入して 32 とすると、幅を求める操作にも、面積を求める操作にも対応しません。

もし答案が 2 cm で合っていても、偶然ではないかを確認しましょう。前の x = 2 を覚えて答えた場合、対象の帯が変われば同じ方法は使えません。面積が与えられたこと、縦の長さが変わらないこと、面積を縦で割ることの3つがつながっているかを見ます。答えと理由が揃えば、別の数値にも移せます。

似た誤りに、同じ文字の定義は変わっていないのに、条件の範囲だけを落とす場合があります。そのときは意味の変更を探すより、もとの条件へ戻って値が許されるか調べます。また、同じ単位を持つ別の長さを取り違えることもあります。単位だけで区別できないので、「どこからどこまで」のように量の対象も言葉で確かめます。

定義し直された文が見当たらない場合に、勝手に新しい意味を作るのも危険です。前の定義がそのまま有効か、問いの区切りと条件を読んで判断します。文字を変える操作は自分の整理のためには使えますが、問題文が何を定めたかまで書き換えてはいけません。

式を使う前に対応を作り直す

次の手順では、前の幅を区別のために a cm、後の面積を b cm² と呼びます。これは読み手が対応を見やすくするための呼び替えです。実際の問いで何が x と呼ばれているかは、それぞれの定義文に戻して照合します。

まず、変わらない条件を抜き出します。長方形の縦は 4 cm、横は 6 cm で、帯は縦いっぱいに伸びています。これらから帯の面積は縦と幅の積になるとわかります。帯の形まで変わる設定なら、この関係を自動的に引き継げないので、新しい文と図を調べます。

次に、変わる定義を並べます。前の問いの文字は a、後の問いの文字は b と置けば、a は幅、b は面積です。単位を添えると、a は cm、b は cm² です。数値だけでなく量の種類を言葉にすることで、同じ記号のまま進んだときの混同を避けられます。

図2のように、帯の面積は幅の 4 倍なので b = 4a です。対応を逆にたどる場合は a = b ÷ 4 とします。掛けるか割るかは、記号の形ではなく、幅から面積へ進むのか、面積から幅へ戻るのかで決まります。

範囲も更新します。幅は 0 以上 6 以下なので、面積は 0 以上 24 以下です。端の 0 は幅がない帯、24 は長方形全体に対応します。この自作例では両端を含むと決めています。問題によって端を含まない条件なら、不等号もその条件に合わせて変えます。

最後に具体的な対応を行き来します。幅が 2 cm なら面積は 8 cm² で、面積 8 cm² を 4 cm で割ると幅 2 cm に戻ります。往復して同じ帯に戻れるかを見ると、どちらを入力したかを確かめられます。別の帯なら、最初の値も対応する値も変わります。

式の再利用とは、記号の形を移すことではなく、その式が表していた関係を、新しい定義に合う形で言い直すことです。前の 4x の x が幅だったなら、後の x が面積のまま 4x と書くことはできません。後の x で幅を表したいなら x ÷ 4 とします。何を求める式なのかを最後に日本語で読み上げると、答えの単位も確認しやすくなります。

範囲外の値が与えられた場合も、計算だけで終えません。たとえば面積が 28 cm² なら、4 で割った数は得られますが、その幅は横の長さを超えます。この条件の帯としては成立しないため、元の長方形へ戻って矛盾を示します。計算できることと、条件を満たすことは別です。

途中で手が止まったときの戻り方

式を立てた後で文字の意味を忘れたら、計算の続きから推測せず、まずその文字を定めた文を探します。前の問いで書いた数値が目に入ると、今も同じ値だと思い込みやすくなります。値を消す前に、どの定義を使って書いた値なのかを確かめます。前の問いの答え自体は正しくても、次の問いで同じ記号に入れる値としては正しくないことがあります。

定義文と式が合っているのに答えが合わない場合は、別の原因を調べます。面積から幅へ戻るときに掛け算を選んだのか、割る数として横の長さを使ったのか、範囲を確かめずに答えたのかで、戻る先は変わります。どれも見た目には計算の間違いに見えますが、縦と横の対応、演算の向き、条件の採否は別々の判断です。誤った行に使った量を一つずつ対応させると、修正する理由を説明できます。

逆に、幅と面積を区別できても、帯が縦いっぱいではないと設定された問題には同じ関係を持ち込めません。その場合は帯の縦の長さを新しい条件から読み直します。図の印象だけで長さを補わず、与えられた情報で求められるか確かめます。必要な情報が見つからなければ、前の問いの条件が残るかどうかを先に確認します。

別の数値でも対応が成り立つかを見る練習では、まず許された範囲の値を選びます。前の幅を 3 cm とすれば面積は 12 cm² です。後の文字が面積なら、その値は 12 であり、幅に戻すには 12 ÷ 4 とします。値を変えても操作の向きと単位が保たれることを確かめたら、数字を覚える代わりに、幅と面積の関係を言葉で説明します。

境界の値も、定義が切り替わったことを確かめる材料です。幅が最大のとき、帯は長方形全体と重なり、対応する面積も最大になります。逆に面積が 0 のときは、縦の長さが正なので幅は 0 です。ただし問題文が幅を正と限定していれば、幅 0 は候補に入れられません。自分の例で認めた端を、別の問題の条件に上書きしないようにします。

単位が同じでも取り違える場合

定義の変更は長さから面積へ移る場合に限りません。同じ単位の量どうしでも、何を測るかが変われば式を作り直します。たとえば一定の道のりについて、最初は出発点からの距離、次は終点までの残りの距離を同じ文字で表すことがあります。どちらも距離ですが、同じ地点では一般に異なる値です。

この場合は単位の確認だけでは足りません。出発点と終点を言葉で区別し、全体の距離から前者を引くと後者になる関係を使います。両者がたまたま同じ数になる地点があっても、その一致をどの地点にも広げてはいけません。対象と基準点を定義文で確認することが必要です。

図3のように、同じ単位なら基準や対象を、単位が異なるなら量の種類も確かめます。どちらの場合も、引き継ぐ条件は問題文に戻って選びます。図の分岐は確認する場所を示しており、単位が同じなら式が正しいという意味ではありません。

問いの間に新しい定義があるのか曖昧に見えたら、まず指示の文を区切って読みます。前の文字を使い続けると書かれているのか、別の量として置くと書かれているのかを探します。どちらにも読めるように思えるときは、自分で一方を決めて計算を進める前に、定義と周辺の条件を持って質問します。

確かめ問題

自作の別の場面です。直線上に入口と出口があり、入口から出口までの距離は 15 m です。途中の地点 P について、問いAでは入口から P までの距離を t m とします。問いBでは同じ地点 P について、P から出口までの距離を改めて t m とします。P は入口と出口の間にあり、両端も含みます。

問いAの t が 4 のとき、問いBの t はいくつでしょうか。また、問いBで t = 17 とすることは、この条件で可能でしょうか。計算の前に、二つの t がどちらから測る距離かを言葉にしてみてください。

答えは順に 11、可能ではありません。入口から P までが 4 m なので、残りは 15 − 4 = 11 m です。問いBの距離は 0 m 以上 15 m 以下ですから、17 m は範囲外です。ここでは両方が m なので、単位が同じであることを理由に 4 をそのまま移せません。

4 と答えた場合は、入口と出口のどちらを起点にしたかを問いAと問いBで言い直します。17 を可能とした場合は、地点 P が線分の外へ出ていないかに戻ります。15 から引く関係は、二つの距離が同じ直線上で全体を分けるという条件から得られます。条件が違う図なら、同じ引き算を先に決めないでください。

定義を示して聞く

教科書の文字の置き方を見直すときは、その文字を導入した文と、直後の式を一緒に見ます。式の一行だけでは、文字が長さなのか面積なのか、どの量を測るのかがわからない場合があります。自分の答案にも、各問いで文字が表す量と単位を添え、元の文との違いを比べます。

質問するときは「計算が合わない」と伝えるだけでなく、定義された箇所と、引き継いだつもりの式を指してみましょう。「この行の文字は前と同じ量ですか」「この条件は次の問いにも残りますか」と聞けば、どの読み方で分かれたかを確かめられます。お子さまが説明に詰まった場合も、数字を急いで直す前に、何の量かを一緒に言葉にすると話が進みます。

個別指導では、問題文の定義を示した箇所と、実際に書いた式を見比べます。前後の文字にそれぞれ別の名前を仮に付け、同じ条件の下で対応するかを確認します。単位が合う場合には、対象や基準点まで戻して、なぜその式を使えるのかを説明します。

同じ文字が現れても、問いごとの定義がその意味を決めます。引き継ぐ条件と新しく置かれた量を分け、式の中の文字を言葉に戻すと、必要な関係が見えてきます。文字を読むたび、その文字が指す量を確かめましょう。