共通テスト数学の複素数で回転が逆になる—比を作る二つの点の順番を確かめる｜武蔵野個別指導塾

中心から始点と終点への差を使って比を作り、分母が0の場合と比が0の場合を区別して回転の向きを読み直します。

点Aから点Bへの回転を複素数の比で表すときは、中心から終点へ向かう複素数を分子、中心から始点へ向かう複素数を分母に置きます。比の偏角は、始点の向きから終点の向きへの回転角です。中心と始点が一致すると分母が0になり、この比では回転角を定められません。

高3の冬、図では左回りなのに計算結果が右回りになった練習を考えてみます。答えの角度の大きさが合っていると、符号の違いを計算の小さなミスと見てしまいがちです。しかし、比を逆に作ったまま偏角の計算を正しく進めても、向きは逆になります。まずは式を作る前の点の対応を見直します。

図の矢印と割り算が逆を向くところ

たとえば、原点Oを中心に、複素数1に対応する点Aから、複素数iに対応する点Bへ回す場面です。図1のように、始点は正の実軸上、終点は正の虚軸上にあります。AからBへ短い向きで回すと左回りに90度です。反対にBからAへ回すと右回りに90度になります。

AからBへの比は i/1 = i です。iを掛けると1はiに移るので、比の偏角90度は図の左回りと一致します。一方、1/i = -i はBからAへの比です。これはiに掛けると1になる数で、偏角は-90度です。二つの比はともに計算できますが、表している移動の向きが違います。

ここで「分子が先」とだけ覚えると、問題文が「Bに移るA」と書くか「AをBに移す」と書くかで迷うかもしれません。先に、回転前の点と回転後の点にそれぞれ印を付けます。その後で、始点の数に何を掛ければ終点の数になるかを式にします。始点の数 × 比 = 終点の数、という関係が分母と分子を決めます。

偏角の符号は、通常、反時計回りを正、時計回りを負として扱います。同じ回転は360度の整数倍を加えた角でも表せます。たとえば90度と-270度は同じ向きへの回転を表します。符号だけを見て左回りか右回りかを決めるのではなく、どの角の表し方を採用したかも確かめます。短い回転として比較するときには、90度と-90度は逆向きです。

自分の答案で始点を探す

計算結果が図と食い違ったら、まず答案の比に「何から何へ」と書き添えます。分母に置いた数が回転前の向きを表し、分子が回転後の向きを表すかを確認してください。分母と分子を入れ替えれば角の符号が反転しますが、理由を確かめず符号だけを直すと、次の問題で同じ取り違えが残ります。

似た失敗に、始点と終点は正しいのに中心を忘れる場合があります。複素数そのものは原点からの位置を表します。中心が原点でないときは、中心から見た各点の差を使う必要があります。中心を表す数をc、始点をa、終点をbとすると、中心からの向きはそれぞれa-c、b-cです。求める比は (b-c)/(a-c) であり、単にb/aとするとは限りません。

また、図で点の位置を逆に読んでしまう場合もあります。式の分母と分子を入れ替える前に、問題文の「どの点をどの点へ」の部分と、図に付けた矢印が一致するかを見ます。図の矢印そのものが逆なら、式を修正しても正しい対応には戻れません。中心、始点、終点の3つを別々に指さし、それぞれの複素数を書きます。

点が中心と重なる場合も区別します。a=cなら中心から始点への距離は0で、割り算の分母は0です。中心にある点を回しても位置は中心のままなので、そこから特定の向きを読み取れません。b=cでa≠cなら比は0ですが、0の偏角は定まりません。距離が0になる変換を回転角のある回転として扱わないことが必要です。

中心を引いてから比を作る

たとえば中心Cを表す数を1+i、始点Pを3+i、終点Qを1+3iとします。PをCのまわりに回してQに移す向きを調べます。まず中心から各点への差を出すと、Pは2、Qは2iです。始点から終点への比は 2i/2 = i です。図2のように、中心から右へ伸びる向きが、上へ伸びる向きに移るので、左回り90度と読めます。

この例を式の操作として追うなら、次の順に進みます。

1. 中心Cの数を、始点Pと終点Qのそれぞれから引きます。元の原点ではなく、Cを起点にした方向をそろえるためです。
2. 始点側の差が0でないかを確認します。0なら割れないので、中心と始点の位置に戻ります。
3. 終点側の差を、始点側の差で割ります。始点側の差にその比を掛け、終点側の差に戻ることを確かめます。
4. 比の大きさと偏角を読みます。大きさが1なら中心からの距離が変わらず、偏角は向きの変化を示します。
5. 求めた向きを図の矢印と比べます。矢印を逆に描いていないかも問題文に戻って確認します。

この例では始点側の差にiを掛けると2iになり、終点側の差と一致します。逆の比 2/(2i) = -i は、QをPに移す向きを表します。積を元に戻す点検は、偏角の暗算でどちらが正しいか迷ったときに役立ちます。計算した比を始点に掛けても終点にならなければ、分子と分母、差の符号、割り算の順に戻ってください。

中心を引くときに、片方だけ引く間違いもあります。たとえば終点からはcを引いたのに始点にはaをそのまま使うと、二つの量の基準が違います。差を並べてから割ると、同じ中心を引いたことを紙の上で確かめられます。引き算の順序も重要です。a-cは中心から始点への向きで、c-aはその逆です。両方を同じように逆向きにすれば比自体は変わりませんが、片方だけ逆にすると回転角が変わります。

比の大きさが1でない場合は、向きの変化だけを読むことはできても、距離を変えない回転だけでは始点を終点に移せません。たとえば先の中心と始点を保ったまま終点側の差が4iなら、比は2iです。向きは左回り90度ですが、中心からの距離は2倍です。設問が回転のみを求めているなら、角度だけでなく距離が等しいことを照合します。

逆数と角度が示すこと

始点と終点がともに中心と異なるなら、向きを逆にした比は元の比の逆数です。元の比がiなら逆数は-iで、90度と-90度が対応します。ただし、逆数にしたとき変わるのは角度の符号だけではありません。比の大きさも逆数になります。大きさが1でない変換では、往路で2倍にした距離を復路で半分に戻します。角度の符号だけを直して比の大きさをそのままにすると、出発点へ戻れないことがあります。

そのため、角度を選ぶ問題でも、書いた比を実際に掛ける確認には意味があります。中心から始点への差に比を掛けた結果が終点への差であれば、向きと大きさの両方がそろっています。最後に中心の数を足すと、もとの複素数平面の終点に戻ります。この確認は、中心を引く操作の後にどこへ戻すかまで見届けるためのものです。

反対方向の回転を求める問いでは、図の左右をそのまま使い回せません。「先ほどの回転を逆にする」という言葉があれば始点と終点が入れ替わります。比を作る前に新しい矢印を描き、新しい終点の差を新しい始点の差で割ります。前の式を機械的に転倒するより、何を移すかが明確になります。どちらの書き方でも結果が一致することは、検算として使えます。

偏角だけでは見えないずれ

答案で比の偏角が合っていても、比そのものが違うことがあります。正の実数倍した複素数は同じ向きを持つためです。たとえば図2のiと2iはどちらも90度の向きを示しますが、始点側の差に掛けた結果は異なります。角度を答える問いと、点を回転だけで移せるか問う問いでは、必要な確認が違います。後者では距離が変わらないという条件を必ず使います。

また、角の表現が異なっても回転が一致する場合があります。答案が270度、別の表現が-90度なら、差は360度です。両者は同じ回転を表します。問題が角の範囲を指定していれば、その範囲に合わせて書き直します。指定がないときも、どちらの代表値を使ったかを明らかにすると、図との比較がしやすくなります。図の矢印が短い弧なら、短い向きに対応する角も添えると読み違えを避けられます。

図は位置関係を把握する助けですが、見た目だけで角度の正確な値を決める根拠にはなりません。差を求めて比を計算し、その偏角を使って図の向きと照合します。図と式が合わなければ、問題文から写した点の位置、中心の指定、比の順序、偏角の計算を順に確かめます。どの段階で食い違ったかがわかれば、全部を最初から計算し直す必要はありません。

比を使えないときの戻り方

分母が0になったら、途中式を無理に約分せず、中心と始点が一致しているかを元の条件で確かめます。単なる引き算の誤りなら差を直せますが、本当に一致していれば、この比による角度の決定はできません。終点も中心と一致するなら、中心の点はどの角度で回しても同じ位置です。位置の対応だけでは角度を一つに決められません。

始点が中心と一致しないのに終点が中心なら、距離を保つ回転だけでは移せません。比が0と計算できても、0には方向がないため偏角を付けられません。計算できたという事実と、問われた回転が存在するという結論を分けて書くと、例外の理由が明確になります。問題文に別の条件があれば、それも併せて確認します。

条件が変わったときの判断と確かめ問題

図3のように、まず始点が中心と重なるかを見ます。重ならなければ比を作れますが、終点が中心なら比は0となり、やはり偏角は定まりません。両方が中心と異なる場合に偏角を読み、比の大きさが1かを見て回転だけで移るかを判定します。式が作れることと、回転角が定まることは別の確認です。

確かめ問題です。中心Dを表す数を-2、始点Eを-2+3i、終点Fを1とします。EをDのまわりに回してFに移すとき、中心から見た終点と始点の比を求め、短い回転の向きと角度を答えてください。また、距離を変えない回転だけで移せるかも調べます。

解答は比が -i、右回り90度です。中心から始点への差は3i、終点への差は3なので、比は 3/(3i) = -i です。始点側の3iに-iを掛けると3に戻ります。比の大きさは1なので、中心からの距離は等しく、回転だけで移せます。

左回り90度と答えた場合は、まずEからFへの矢印を確認します。次に 3i/3 と書いていないかを見ます。その比はFからEへの移動です。中心の-2を引かずに割った場合は、Dを起点にした差へ戻してください。比の大きさの確認を省いた場合は、角の正誤とは別に、始点と終点の距離を比較します。

例外も自分で確かめます。DとEが同じ位置なら分母が0です。この場合に計算を続けて角度を選ぶのではなく、始点が中心にあると書いて止めます。Eが中心と異なりFが中心なら、比は0で偏角がありません。どちらも通常の比から特定の回転角を出せない理由が違うため、分母が0なのか、比が0なのかを書き分けます。

角度の単位をラジアンで指定されたときも、比の順序は同じです。90度はπ/2、-90度は-π/2に対応します。度数法から書き換える際は、向きの符号まで一緒に移してください。単位の換算と始点の取り違えを別々に確認すると、誤りの位置が見えます。

答案を持って尋ねるとき

教科書では複素数の積と偏角の関係、偏角の表し方、0の扱いを該当箇所で確認します。自分の答案には問題文の始点と終点、中心から引いた2つの差、作った比、図の矢印を残します。「この分母は回転前のどの向きですか」と尋ねると、計算の符号だけでなく式の意味から見直せます。お子さまの復習を見守るときも、正答の角度を先に示すより、矢印と比の対応を説明してもらうと、どこで向きが反転したかを共有できます。

個別指導では、問題文を写した紙と途中式を並べ、中心を引いた差に始点と終点の印を付けて確かめます。図と比が対応していれば、次に偏角の計算へ進みます。対応しなければ、先に矢印と分母を修正します。

回転の比は、終点の向きを始点の向きで割ったものです。中心からの差をそろえ、比を始点に掛けて終点に戻るかを確かめれば、向きを反対に読んだ場所までたどれます。