共通テスト数学の空間ベクトルで式が一つ足りない—点が平面上にある条件の使い方｜武蔵野個別指導塾

始点をそろえた式と位置ベクトルの式を行き来し、足りない条件を見つける空間ベクトルを考えます。

平面上の点を3点の位置ベクトルの和で表すときは、係数の和が1になる条件を確認します。この条件は、平面上の1点から2方向に進む式を、原点からの位置ベクトルに直すと現れます。係数が決まらないときは計算を増やす前に、点がどの平面上にあるかと、各ベクトルの始点を見直してください。

よくあるのは、高3の秋、空間ベクトルの問題で未知の係数が一つ残ったまま式を増やしてしまう机の場面です。成分を比べる計算は続けられても、点が平面上にあるという文章が、どの式に使われたかは見えなくなります。ノートに残った式と図を並べ、平面の条件を使う前と後を区別してみましょう。

足りない式はどこに隠れているか

たとえば原点を O とし、同一直線上にない3点を A、B、C とします。位置ベクトルをそれぞれ a、b、c と書き、点 P の位置ベクトルを p とします。P が平面 ABC 上にあるとき、A を始点にして、AB 方向と AC 方向の移動を組み合わせられます。この2方向は平行でないので、平面内の移動を表せます。

実数 s、t を使うと、AP = s AB + t AC です。矢印付きの文字を本文では AB、AC、AP と書きます。ここで s と t に範囲の制限はありません。平面は三角形の内側に限らず広がるため、負の係数や1を超える係数も使います。問題が三角形の内部や辺上を指定した場合には、その範囲を別に確かめます。

位置ベクトルに直すと p − a = s(b − a) + t(c − a) です。右辺を整理すると p = (1 − s − t)a + sb + tc になります。3つの係数を順に α、β、γ と置けば、α + β + γ = 1 です。この1は暗記だけで付け足した数字ではなく、始点 A からの移動を原点 O からの位置へ戻した結果です。

図1のように、2つの移動の係数から A の係数を作ると、3つの和が1になります。右側の3つを自由な実数として扱うと、平面に限る情報が失われることがあります。

逆向きも確かめます。α + β + γ = 1 なら、α = 1 − β − γ なので、p = a + β(b − a) + γ(c − a) と変形できます。P は A を通り AB、AC の2方向に広がる平面上にあります。したがって、A、B、C が同一直線上にないという前提のもとでは、この係数の和は平面上にある条件を表します。

答案のどの行を見直すか

係数の和が1という話は、ベクトルの式なら何にでも付く規則ではありません。たとえば AP = s AB + t AC では、s + t = 1 とする必要はありません。始点 A からの移動の式には、a の係数が表に出ていないからです。s + t = 1 とすると、P を平面全体ではなく直線 BC 上に制限してしまいます。

一方、p = αa + βb + γc は、3本とも原点 O からの位置ベクトルです。P が平面 ABC 上にあり、A、B、C が同一直線上になければ、和が1となる係数を選べます。式の左辺が位置なのか移動なのか、右辺の始点がそろっているかを先に書き込むと、この2つの形を混同しにくくなります。

ただし、与えられた任意の表示の係数が必ず和1になるとは限りません。O が平面 ABC 上にあると、a、b、c は一次従属になり、同じ p を係数の和が異なる形でも表せる場合があります。このときも和1の表示は作れますが、すでに書いた任意の表示に無条件で和1を課してはいけません。表示の一意性を別に確かめる必要があります。

たとえば O = A の場合、a は零ベクトルです。p = 7a + b と書いても p = b ですから、係数の和8を理由に P が平面外とは言えません。同じ点は p = 0a + b + 0c とも書け、こちらの和は1です。零ベクトルの係数を変えても位置が変わらないことが、この例外の理由です。

答案で係数が余ったときには、まず3点が同一直線上にないか確かめます。次に O と平面の位置関係を見て、既存の係数表示に条件を課してよいのか、和1の表示を新たに選ぶのかを判断します。どちらかを書かずに式を追加すると、正しい結論に見えても根拠が欠けます。

始点をそろえて条件を作る

たとえば O を原点とし、A = (1, 0, 0)、B = (0, 1, 0)、C = (0, 0, 1) とします。3点は同一直線上になく、平面 ABC は O を通りません。P = (u, v, w) がこの平面上にあるなら、位置ベクトルは p = αa + βb + γc、α + β + γ = 1 と表せます。

成分を比較すると α = u、β = v、γ = w です。したがって平面上の条件は u + v + w = 1 になります。ここでは a、b、c がそれぞれ異なる軸の方向を向いているので、同じ p の係数表示は一意です。先ほどの例外のように係数を変えても同じ点を表せる状況ではありません。

さらに、P が直線 (u, v, w) = (2, 0, 0) + r(-1, 1, 1) 上にもあるとします。r は実数です。各成分は u = 2 − r、v = r、w = r なので、平面の条件に戻すと 2 − r + r + r = 1 です。よって r = -1、P = (3, -1, -1) となります。和を調べると 3 − 1 − 1 = 1 です。直線の式に r = -1 を代入しても同じ点に戻るので、両方の条件を満たします。

図2のように、平面から係数の和を作り、直線の成分を代入し、求めた点を両方へ戻します。直線の係数 r と、平面内の移動を表す s、t は役割が異なります。同じ文字で一度に書くと、何を決めたのか見失いやすくなります。

成分の式を3本並べても r が決まらないときは、未知数の数だけを眺めず、点の所属を表す式を使ったか確認します。平面条件を使っても未知数が残る場合は、直線が平面内に含まれる可能性があります。代入後に 0 = 0 となれば、その直線上のどの点も平面条件を満たします。反対に 0 = 1 のような矛盾になれば、交点はありません。いずれも計算を続けて数を無理に出す場面ではありません。

手元の式が正しいか不安なら、P = A、P = B、P = C の3つを試す方法もあります。それぞれ係数は (1, 0, 0)、(0, 1, 0)、(0, 0, 1) と選べます。各係数の和が1になる一方、頂点での確認だけでは平面全体についての証明にはなりません。始点からの式への変形と合わせて使います。

平面と三角形を分ける

平面上という条件だけなら、係数が負でも構いません。先の点 P = (3, -1, -1) は係数の和が1ですが、負の係数を含むため三角形 ABC の内部にも辺上にもありません。図3のように、和が1かどうかに加えて、三角形に限る場合には各係数の符号を見ます。

A、B、C が同一直線上にないとき、三角形 ABC の内部または辺上にある条件は、和が1で、3つの係数がいずれも0以上となることです。内部に限るなら3つとも正です。辺上では少なくとも1つが0になり、頂点では2つが0になります。和だけを確認して符号を見落とすと、三角形の外側まで含めてしまいます。

平面内の式 AP = s AB + t AC で同じ条件を書くなら、s、t が0以上で s + t が1以下です。これは位置ベクトルの係数が順に 1 − s − t、s、t となることから確かめられます。どちらの表現を使っても、境界を含むかどうかは問題文の言葉に合わせます。

表示が一意でないときの戻り方

原点が平面上にある場合は、係数の和が1の表示を作れることと、手元の表示が和1であることを分けます。まず A を始点にして AP を AB と AC の組合せで書きます。それを位置ベクトルに変換したときに得られる3つの係数は和1です。既存の表示の係数と比べて違っていても、同じ点を表すことはあり得ます。

この区別は、式を解いている途中で余分な条件を加えないために必要です。たとえばある表示が問題の別の条件で指定されているなら、その係数が何を意味するかを先に読みます。勝手に別の表示に取り換えると、元の条件まで保存されるとは限りません。和1の表示を導入するときは、新しい係数に別の文字を使い、元の係数との関係を式で結びます。

3点が同一直線上にある場合も注意します。AB と AC は平行になり、2方向で平面を指定できません。その3点を通る平面は1つに決まらないので、平面 ABC として考えていた対象自体を再確認します。図から少しずれて見えても、座標や条件で平行かどうかを確かめるのが確実です。条件が不足していれば、係数の和を操作しても唯一の平面を作れません。

計算の途中で分母が現れたときも、その値が0にならないか確かめます。0になる場合を割り算で消すと、交点がない場合や直線が平面に含まれる場合を落とします。先に0の場合と0でない場合を分け、それぞれ元の式に戻します。条件を満たす点がないという結論も、元の式から矛盾を示せば立派な答えです。

確認をやり直す順番

平面の条件を使ったはずなのに答えが合わないときは、いきなり成分計算の最初から書き直さず、最後に得た点を直線と平面の式へ別々に代入します。直線だけに合うなら、平面の条件を立てた行に戻ります。平面だけに合うなら、直線の成分を写した符号や係数を調べます。どちらにも合わなければ、代入して整理する行から順に確かめます。

2つの式を満たしていても、求める範囲が三角形の内部に限られていれば、さらに係数の符号が必要です。辺を含むかどうかも問題文から読み取ります。平面の式は場所を広く指定し、符号の条件はその中で範囲を絞る役割です。別々の条件として答案に残すと、どこまで確認したか後からわかります。

練習では、最後の答えを隠して、自分が書いた各行の横に「始点」「平面」「直線」「範囲」のいずれを使ったか記してみます。同じ条件を何度も使っているのに別の条件を使っていない場合、式の数を増やしても不足は埋まりません。逆に、根拠を言える行を順につなげられれば、途中で数を間違えても戻る場所を探せます。

確かめ問題

原点を原点とする空間で、D = (4, 0, 0)、E = (0, 4, 0)、F = (0, 0, 4) とします。点 Q は平面 DEF 上にあり、直線 Q = (0, 2, 0) + k(1, 0, 1) 上にもあります。k は実数です。Q の座標を求め、三角形 DEF の内部、辺上、外側のどこにあるか判断してください。

解答は Q = (1, 2, 1) で、三角形の内部です。平面上の点を D、E、F の位置ベクトルの和で表すと、係数の和は1です。成分を4で割った係数の和から、座標の和は4とわかります。直線上の座標は (k, 2, k) なので、2k + 2 = 4、k = 1 です。対応する係数は 1/4、1/2、1/4 で、和は1、すべて正です。

Q を求めた後は、直線に戻して k = 1 で得られることと、座標の和が4であることを両方確かめます。和は合うのに内部かどうか間違えた場合は、係数の符号へ戻ります。座標の和を1とした場合は、D、E、F 自体を代入し、各位置ベクトルの長さを含めて係数に直したか点検します。どの頂点も座標の和が4なので、1という条件では頂点すら通りません。

式を持って質問する

教科書の平面を表す箇所を開き、自分の答案で「位置ベクトル」と「同じ始点からの移動」を書き分けた行に印を付けます。質問するときは、点が平面上にあると書かれた箇所と、係数が残った行を並べて、「この係数の表示は一意ですか」と尋ねてみてください。3点の配置や原点の位置が見える図も添えると、係数の和を既存の表示に課せるか検討できます。

お子さまが説明する場合も、答えの数値だけでなく、どの点を始点にしたかを聞いてみてください。言葉で説明しにくければ、A から P までの移動を2方向に分けた式からたどれます。係数の和が現れる1行を自分の手で書き直せれば、何を使ったかが答案に残ります。

個別指導では、問題文にある平面の条件、座標の計算、係数の和を並べて見ます。式が不足した行に戻り、成分の計算をやり直す前に、始点と表示の一意性を確認します。三角形の条件まで必要な場合は、係数の符号も別の行で検討します。

平面上の条件は、3点からの移動と原点からの位置をつなぐと見えてきます。係数の和を使う前に、3点の配置と表示の一意性を確かめましょう。始点に戻る一行が、足りない式の根拠になります。