共通テスト数学の組み合わせで重複して数える—同じ役割の班を区別するか｜武蔵野個別指導塾

4人を2人ずつの班に分け、選んだ組と残りを交換しても同じ結果かを比べると、2で割る理由を説明できます。

同じ人数の2班を作るとき、班に区別がなければ、先に選んだ班と残りの班を入れ替えても同じ分け方です。片方の班を選ぶ計算では、その同じ分け方が2回現れます。班名や役割に違いがあるなら、入れ替えは別の割り当てなので、2で割りません。

高3の夏、二つの班への分け方を復習していると、自分の答えが解説の倍になった、という場面を考えます。選ぶ計算自体は正しくても、何を1通りと数えたかが解説と違っているかもしれません。人数を眺める前に、班の入れ替えで結果が変わるかを問題文に戻って調べましょう。

同じ分割が2回現れる場所

たとえば、4人 A、B、C、D を2人ずつの2班に分けます。班に名前も役割の違いもないものとします。最初に A と B を選べば、残りは C と D です。先に C と D を選んでも、残りは A と B です。どちらも、A と B が同じ班、C と D が同じ班という分け方です。

図1のように、選んだ組と残りの組を上下に並べると、選ぶ順序が逆の2行が同じ分割を表します。紙の上の上下の位置には意味がありません。上の行に書いたから特別な班になる、という条件を勝手に付けないようにします。

選ぶ組の候補は AB、AC、AD、BC、BD、CD の6通りです。AB と CD、AC と BD、AD と BC がそれぞれ対になっています。よって名前のない班の分け方は3通りです。ここで AB は A と B の2人からなる組を表し、A を先に選んだという意味ではありません。

この例では「選んだ2人」が異なれば、選択としては別です。しかし最終的に必要なのは、2組をひとまとまりにした分割です。選択の違いがそのまま答えの違いになるかどうかを、最後に確かめる必要があります。計算の途中で正しい数を出していても、数えた対象を取り違えると答えが倍になります。

一方、班に赤班と青班という名前があり、どちらに入るかを記録するなら話が変わります。赤班が AB、青班が CD という結果と、赤班が CD、青班が AB という結果は異なります。名前が飾りではなく、問題が求める割り当ての一部だからです。選んだ組を赤班と決めれば、6通りの選択はそれぞれ異なる結果に対応します。

答案で見るのは人数より班の意味

自分の答案を見直すときは、まず式の横に「何を選んだか」を書きます。たとえば「4人から2人を選ぶ」と書いてあれば、残りの2人がもう一方の班として決まることも添えます。それから、選んだ組をもう一方に取り替えた行が、同じ完成形か別の完成形かを判定します。

問題文に「赤班と青班」とあれば、名前を入れ替えた結果を同じとする理由はありません。名前がなくても、片方が受付、もう片方が準備という異なる役割を担うなら、役割への割り当ては区別されます。逆に、単に2班を作るという指定で役割も名前もなければ、答案に勝手な班名を付けても結果の区別は増えません。

名前を書き込むことと、名前に意味があることは別です。作業用に「先に選んだ班」「残りの班」と呼ぶのは便利ですが、その呼び名は選ぶ手順を表すだけです。完成後に二つの呼び名を交換しても問題の条件が変わらないなら、同じ完成形を指しています。

また、班の中の順序にも注意します。AB と BA はどちらも同じ2人組です。まず班内の並べ方を区別しない選択を数え、その後に班どうしの入れ替えを点検します。この二つは別の重複なので、どの段階で取り除いたかを明記します。すでに組として数えたのに、班内の順序を理由にさらに割ると、今度は不足します。

答えが整数になったことだけでは正しさの証拠になりません。何を何回数えたかを実際に一組取り上げて確認し、すべての完成形で同じ回数になることを確かめます。割る数を思い出すだけでは、班の役割が変わった問題に対応できません。

選択から分割へ戻る手順

図2のように、手順を「条件」「選択」「対応」の順に置きます。条件で班の区別を決め、選択で先に作業する組を決め、対応で完成形を見ます。最後に初めて、重複を取り除く必要があるか判断します。

先ほどの4人では、先に選ぶ2人の候補を6通り列挙できます。名前のない班なら、AB を先に選んだ場合と CD を先に選んだ場合が同じ分割です。残りの組は選択した組によって一意に決まり、各分割は二つの組のどちらを先に選ぶかという2通りから生じます。そのため 6 ÷ 2 = 3 とします。

この説明で重要なのは、2で割る前に、どの2行が同じかを指させることです。たとえば AC を選んだ行の相手は、同じ人を含む AD ではなく、残りの BD を選んだ行です。相手を探すときは、先に選んだ組と残りの組を丸ごと交換します。一人だけを交換する操作とは異なります。

班名がある場合には、選択を赤班のメンバーを決める操作とします。AB を選ぶと赤班 AB、青班 CD です。CD を選ぶと赤班 CD、青班 AB です。班名まで含めた結果が異なるため、6通りのままです。もし解答が3通りになったら、二つの色を消してしまっていないか、最初の条件へ戻ります。

反対に、班名がない場合に6通りのまま終えたら、完成形を2組の集合として書き、相手の行を線で結びます。対応する相手が見つからなければ、列挙漏れか、選んだ後の残りの書き間違いがないかを調べます。何を選んだ行なのか曖昧なら、式を直す前に列挙表を作り直します。

時間が限られて全行を書けないときは、完成形を一つ書いて、そこへ至る選択がどれかを逆向きにたどります。ただし一つの例だけで全体を断定せず、どの分割でも2つの班があり、それぞれを先に選べるという理由を添えます。条件を読み直す時間が残らなかったときも、班の名前と役割を答案の横に短く記し、後で問題文と突き合わせられる形にしておきます。

別の条件では入れ替えられるか

図3は、2班の人数が異なる場合です。たとえば5人を2人の班と3人の班に分けるなら、2人の班を選んだ時点で3人の班も決まります。人数の違いによって各班の役割を区別できるので、3人の班を「先に選んだ2人」と交換することはできません。2人の班の選択は 5 × 4 ÷ 2 = 10 通りで、完成形も10通りです。

この場合に2で割ると、異なる完成形をまとめてしまいます。図3のように、同人数という前提を外したら、先に選ぶ対象と入れ替えた対象の人数が一致するかを調べます。班名がなくても人数が異なれば、各班を人数で識別できます。

逆に、同人数なら必ず2で割る、という覚え方も不十分です。役割の違う班を求める場合、人数が等しくても役割の交換は別の結果です。人数と役割の両方を確認し、どんな交換が同じ完成形を保つのかを判断します。

確かめ問題

6人 P、Q、R、S、T、U を3人ずつの2組に分けます。各組に名前や役割の違いはありません。分け方は何通りですか。また、片方を記録係、もう片方を整理係と定めて割り当てる場合は何通りですか。

解答は、名前も役割もない場合が10通り、異なる役割を割り当てる場合が20通りです。まず3人の選び方は 6 × 5 × 4 ÷ (3 × 2 × 1) = 20 通りです。名前のない場合は、一つの分割について、どちらの3人組を先に選ぶかで2回現れるので、20 ÷ 2 = 10 通りです。役割が異なる場合は記録係の3人を選べば残りが整理係に決まり、20通りがそれぞれ別の割り当てになります。

名前のない場合に20と答えたら、選択した3人と残りの3人を交換した行を作り、同じ分割か確かめます。役割のある場合に10と答えたら、交換後の担当が変わることを問題文と照合します。選択数が違った場合は、3人の選択で順序を数えていないか、式の分母に戻って調べます。

数え漏れと重複を切り分ける

列挙した結果が解説より少ないときも、ただ2倍するのではなく、どの完成形が抜けたかを探します。先の4人の例なら、A と同じ班になる相手に着目すると、相手は B、C、D のいずれかです。それぞれについて残りの2人がもう一方の班になるので、3通りを漏れなく書けます。この数え方では、最初から A を含む班を代表としているため、さらに2で割る必要はありません。

代表を決める方法と、先にどちらの班も選んでから2で割る方法は、出発点が違います。前者の3通りを後者の6通りと取り違えると、同じ重複を二度取り除いてしまいます。答案には「A を含む班を選ぶ」と書き、その条件が各分割に対して一つの班を指定していることを説明します。A は必ずどちらか一方の班に属するので、代表が存在し、二つに分かれることもありません。

ただし代表の決め方が曖昧なら、別の重複が生じます。「任意の人を含む班を選ぶ」では、人の選び方も動いてしまい、同じ班が何度も代表になりえます。代表にする人を最初に固定し、その後は動かさないことが必要です。自分の式だけでその固定が表されていないときは、短い説明を添えます。

条件が途中で追加される場合は、重複を取り除く前後のどちらで条件を適用したかも確認します。たとえば A と B が同じ班という条件を加えると、4人の名前のない分割のうち該当するのは AB と CD の組です。選択の一覧では AB と CD の2行が条件に合い、同じ完成形なので1通りです。A と B が別の班という条件なら、残りの2分割が該当します。

ここでは条件が班の交換で変わらないため、該当する各完成形を2行ずつ数えています。もし「赤班に A がいる」という条件なら、色を交換すると条件の成否が変わりえます。班名を消した一覧に条件を後から当てるのではなく、赤班を決める選択に条件を付けます。同じ2で割る操作を機械的に使うと、条件を満たす割り当てまで消してしまいます。

計算に迷ったとき、表を途中までしか作れなくても、記録した各行に「選んだ班」「残り」「役割」の見出しを付けると戻りやすくなります。役割の欄が空でよいのか、空欄が単なる書き忘れなのかを区別してください。行が途中で途切れた表から総数を断言せず、列挙の規則を決めて残りを補います。

電卓などの道具で選択数を計算するときも、入力した数が何を数えているかは別に確かめます。表示が出なかったり、途中の入力を消してしまったりした場合は、その表示を答えの根拠にせず、式を紙に戻して計算し直します。数値が得られても、班の交換が同じ結果になるかは道具の表示だけでは決まりません。

さらに、表で同じ組が二度現れたときは、それが本当に同じ人の組かを確認します。文字の順番が変わっただけなら同じ組ですが、文字が一つ違えば別の組です。組の中の交換と班どうしの交換をそれぞれ矢印で示すと、消した重複の種類を見失いません。解き直しでは最初の答えを消さず、どの行を結び直したかを書き残すと、次に同じ誤りが出たときも原因をたどれます。自分の判断の根拠を言葉にして残しましょう。

根拠を持って尋ねる

教科書の組合せの説明を読むときは、選ぶ対象が人なのか班なのかを線で区切りましょう。式だけを書き写すのではなく、一つの完成形を選び、その完成形に対応する選択を横に書くと、自分が重複をどこで処理したかが見えます。問題文の班名や役割を表す語にも印を付けておきます。

先生に尋ねるなら、問題文、自分の式、交換前後の2行を一緒に示し、「この2行は同じ完成形ですか」と聞いてみてください。答えの数字だけを示すより、どの段階で対象が変わったかを話し合えます。お子さまの答案を見る場合も、すぐに割り算を付け足すのではなく、その2行で班の役割が変わるかを一緒に確認できます。

個別指導では、問題文にある班の条件と、答案に書いた選択の意味を並べて確かめます。完成した2班を書いた紙に、選んだ順序の異なる行を重ねれば、同じ結果を二度数えたのか、別の役割を割り当てたのかを具体的に判断できます。

班の人数が同じときは、交換前後の完成形を比べてください。区別のない2班なら二重に数えた組を対応させ、名前や役割があればそれも結果に残します。数える対象が定まれば、割る理由も式の中に見えてきます。