共通テスト数学の複利計算—数列の応用として出たときに、何を n と置くか｜武蔵野個別指導塾

元利合計を複利で立てるとき、n は年数と一致するとは限らず、利息が付く回数です。半年ごと・1か月ごとの問題で、年数と回数を分けて数えると式の単位がそろいます。

複利計算という単元名は、令和9年度の出題方法等にも、いまの高2が受ける令和10年度の出題方法等にもありません。数学②の数学B「数列」の内容として、等比数列の応用で元利合計を扱う形は考えられますが、出ると言い切ることはできません。過去問の数列の大問で、実際に問われた形を確かめてください。式を立てるときの n は、年数ではなく「利息が付く回数」を数えると決めておくと、単位の違う問題でも同じ手順で進みます。

よくあるのは、高2の冬に数列の復習で元利合計の式を立て、n が年数なのか利息の付く回数なのかで鉛筆が止まる場面です。教科書の例は1年ごとの複利で、n が年数と重なっています。そのまま半年ごとや1か月ごとの問題に当てはめると、式の形は同じなのに答えの桁だけがずれます。ずれた原因は、計算の順序ではなく、n が何を数えているかの決め忘れです。

出題方法等には「複利計算」という項目名が無い

令和9年度の出題方法等では、数学②は『数学II，数学B，数学C』の1科目で、70分・100点です。数学Bと数学Cからは、数列、統計的な推測、ベクトル、平面上の曲線と複素数平面の4項目が示され、このうち3項目の内容の問題を選んで解答する形になっています。いまの高2が受ける令和10年度の出題方法等も、この枠組みで公表されています。令和10年度試験の本試験は2028年1月15日・16日です。

令和8年度の本試験の数学②を見ると、第1問から第3問までが必答で、その配点は15点・15点・22点、合わせて52点でした。第4問から第7問の4問から3問を選び、それぞれ16点です。第4問は数列でした。これは令和8年度の本試験の形であり、令和9年度も同じ形になるとは限りません。年度を付けて過去問を見るのは、このためです。

「複利計算」という項目名は、令和9年度の出題方法等にも令和10年度の出題方法等にもありません。出題方法等の決め方は、科目名に入っている学習指導要領の科目の内容を合わせた範囲から出す、というものです。数学Bの数列の内容に、等比数列の応用として元利合計を扱う場面が含まれ得る、という読み方はできます。ただし、それが複利計算の設問として出るとは言い切れません。過去問の数列の大問を開き、問題文に利息や元利合計の言葉があるかを自分で確かめてください。

図1のように、数学②は4項目から3項目を選ぶ形です。数列はその1つで、選ばなければ複利計算の準備をする必要はありません。どの項目を選ぶかという判断は、共通テスト数学②の選択問題はどれを選ぶかという問いの側で決めることです。ここでは、数列を選んだ場合に、複利計算の式の n をどう置くかに絞ります。

図1で色を変えた数列が、複利計算を考えるときに選ぶ項目です。選択の材料は、学校で習う順番と、過去問で自分が取れた点です。数列が得意なら、複利計算のような応用問題も得点の柱にしやすいです。逆に、数列の基本問題でつまずいているなら、複利計算の設問だけを先に練習しても、式の意味が残りません。まず等比数列の項と和を、教科書の例題で説明できる状態にしてください。

自分の答案で、n が数えているものを確かめる

出願の前に読むのは、志望校の募集要項の「試験科目」の欄です。数学②を課すのか、数学①だけなのかは大学ごとに違い、国公立の6教科8科目は原則です。数学②を課すと書いてあれば、その中で数列を選ぶかどうかが次の判断になります。数学①だけなら、複利計算の準備は数学②の選択とは切り離して考えます。

数学②を受ける場合、試験当日に4項目から3項目を選びます。数列を選ぶかどうかは、過去問の第4問を時間を測って解き、自分の得点と解く順番を見て決めます。この判断そのものは、ここで扱う複利計算の立式とは別の話です。複利計算の練習は、数列を選ぶと決めた後で、式の立て方だけを切り出して進められます。

問題文を読むときに、単利か複利かも先に確かめます。単利は元金だけに利息が付き、複利は前の期間の利息を元金に組み入れて、その分にも利息が付きます。同じ年利率でも、複利の方が利息は大きくなります。問題文に「利息を元金に加える」「元利合計」とあれば複利、「元金に対する利息」とあれば単利のことが多いです。ただし、言葉だけで決めず、式の形を問題文の説明と照らしてください。

過去問の第4問、令和8年度の本試験では数列の大問を開いたら、問題文の単位を丸で囲みます。「1年ごと」「半年ごと」「1か月ごと」「毎年の年末」のどれか、そして設問が「n年後」と聞いているのか「n回目」と聞いているのかを、横に書き出します。年数と回数の両方が出てくる問題では、どちらを n と呼んでいるかを最初に決めます。

自分の答案では、n の下に単位を書いたかを見ます。式の n が年数を指しているのに、計算では回数を入れた答案は、答えの数が合っていても再現できません。元金、1回の利率、n の3つを答案の余白に抜き出したかも見ます。この3つがそろっていれば、式の形を忘れても問題文から組み直せます。

令和8年度の本試験の正解では、数学②の第4問は16点でした。令和9年度の配点も同じとは限らないので、自分の受ける年度の正解で確かめます。正解と配点は、各日の全試験が終わった後にセンターのサイトで発表されます。自己採点では、答えの数だけでなく、立式の単位が合っていたかを見てください。単位が違えば、次に似た問題が出たときに同じ迷いが戻ります。

確認の順番は、募集要項の試験科目、過去問の第4問、自分の答案、使った公式の4つです。この順番を変えると、大学が課さない科目の対策を先に始めたり、過去問に無い形を想定したりします。出願の科目が決まってから、過去問の単位を読み、答案の n を点検する流れにしてください。

n を回数に直してから式を立てる順番

図2のように、単位を抜く、1回の利率を出す、n を数える、式を立てる、検算する、の5つを順に進めます。この順番を飛ばして式から書き始めると、n が年数のままなのか回数なのかが、答案の最後まで決まりません。

第一に、問題文から単位を抜きます。「1年ごと」なら1年あたり1回、「半年ごと」なら2回、「1か月ごと」なら12回です。年数と1年あたりの回数を別の欄に書き、その右に n の欄を作ります。問題文に「毎年の年末」とあれば、積み立ての回数を数える問題だと分かります。

第二に、1回の利率を出します。年利率を1年あたりの回数で割ります。年利率3%で半年ごとなら、1回の利率は1.5%です。年利率3%で1か月ごとなら、1回の利率は0.25%になります。問題が1回の利率を直接与えているときは、年利率から割り直さず、与えられた数を使います。

第三に、n を数えます。n は年数に1年あたりの回数を掛けた数です。3年で半年ごとなら、3×2で6です。ここが「年数か回数か」の分かれ目で、年数が3だからといって n を3にしてはいけません。年数と回数が同じになるのは、1年ごとの複利のときだけです。問題文が「n年後の元利合計」と書いていても、利息が半年ごとに入るなら、式の中で掛ける回数は n ではなく n×2です。問題文の n と、式の n を同じ文字だと思わず、それぞれ何を指すかを横に書いてください。

第四に、式を立てます。元利合計は、元金に「1 + 1回の利率」を n 回掛けた額です。毎年の年末に一定額を積み立てる問題では、積立額に等比数列の和を掛けます。和の式の n は、積み立てた回数です。積立額が毎年同じで、利率も毎回同じだから、等比数列の和としてまとめられます。

第五に、検算します。元利合計が元金より大きいか、n を1つ減らした額との差が1回分の利息になっているか、同じ条件の単利より大きいかを確かめます。複利は、同じ元金・同じ年利率・同じ年数なら単利より大きくなります。この3つの検算で、n の数え方の誤りはかなり見つかります。

図2の3番目の箱で、年数と回数を分けます。例を一つ作ります。元金200,000円、年利率3%、1年ごとの複利で4年預けるとします。1回の利率は0.03、n は4です。200,000円に1.03を4回掛けると225,101.76円になるので、円未満を四捨五入して約225,102円です。利息だけなら約25,102円です。

同じ条件を半年ごとの複利に変えます。1回の利率は0.015、n は4×2で8です。200,000円に1.015を8回掛けると225,298.51円になり、約225,299円です。1年ごとの複利との差は約197円です。回数が増えると利息が少し増える、という形で答えを確かめられます。

積み立ての例も作ります。毎年の年末に100,000円ずつ、年利率2%の1年ごとの複利で5回積み立てるとします。n は積み立てた回数の5です。1回目の積立金には4年分、5回目の積立金には0年分の利息が付くので、100,000円に「1.02の5乗から1を引いた数を0.02で割った数」を掛けます。答えは520,404.01円で、約520,404円です。

例の検算をします。1年ごとの4年の例で、n を3にした額は218,545.40円です。225,101.76円との差は6,556.36円で、218,545.40円の3%と一致します。これが1回分の利息です。同じ条件の単利4年は224,000円なので、複利の225,101.76円は1,101.76円大きいです。3つの検算がそろえば、n の数え方は合っています。

式が合わないときに疑う三つの思い込み

一つ目の思い込みは、n はいつも年数だというものです。1年ごとの複利なら n と年数は一致します。半年ごと、1か月ごと、毎年の積み立てになると、n は利息が付く回数や積み立てた回数になります。年数と回数を別の欄に書くだけで、この思い込みは外れます。

二つ目の思い込みは、年利率をそのまま1回の利率に使うというものです。半年ごとなら年利率を2で、1か月ごとなら12で割ります。割った数を式に入れ忘れると、n だけを回数に直しても答えが合いません。問題が1回の利率を与えているときは、それが年利率を割った数と同じかを確かめてから使います。

三つ目の思い込みは、複利計算という単元が共通テストの範囲に名前として載っているというものです。令和9年度と令和10年度の出題方法等には、その名前はありません。数列の内容として出る可能性を考え、過去問で確かめる、という順番になります。名前が無いから出ない、とも言い切れません。

図3のように、利息が年1回かどうかを先に判断します。年1回なら n は年数、半年ごとや1か月ごとなら n は年数×回数です。この分かれ道を通らずに式を立てると、どちらの場合も同じ n を使ってしまいます。

図3の右の枝に入る問題では、式の n を年数×回数に置き換えます。式が合わないときは、計算をやり直す前に、問題文の単位、1回の利率、n の3つに戻ります。単位の読み落としが最多で、次に利率の割り忘れ、最後に n の数え間違いです。計算用紙の式だけを見直しても、この3つが間違っていれば答えは戻りません。

確かめる先と聞き方

複利計算の n を確かめるときは、問題文の単位と、出題方法等の項目名を別の紙に写してから当たります。写した紙を見ながら、次の6つを順に確かめてください。

1. 令和9年度と令和10年度の出題方法等の数学②の欄で、4項目の名前と「3項目」という数を読みます。
2. 令和8年度の本試験の数学②の第4問で、問題文の単位と、正解に付いた16点という配点を確認します。
3. 志望校の募集要項の「試験科目」の欄で、数学②を課すか、数学①だけかを読みます。
4. 教科書の数列の章で、等比数列の項と和の式を、自分の言葉で説明できるか確かめます。
5. 高校の数学の先生に、問題文の単位の読み方と、n を回数に直す場所を聞きます。
6. 学習指導要領の数学Bの項目で、数列がどの科目に入るかを確認します。

個別指導で確かめること

塾では、過去問の答案に残った n の下の単位、問題文に引いた線、検算の計算を並べて見ます。式の形は合っているのに数がずれた答案は、どの単位を回数に直す所で止まったかが跡に残ります。

まとめ

複利の式は、覚えた形に数を当てはめる前に、利息が付く回数を問題文から数える所から始まります。n の下に単位を書く癖がつけば、年数と回数が入れ替わった答案は自分で見つけられます。