【中学受験算数】中学受験算数の全体地図—特殊算 図形 速さ 場合の数のつながりと学年ごとの進め方・学校算数との違い｜武蔵野個別指導塾

和差算・比と面積・旅人算・場合の数の例題を通して、学校算数とのつながりをたどります。学年別の進め方と家庭での確かめ方を、学び直す場所まで具体的に示しています。

よくあるのは、卒業アルバムを開いた居間で、少し先の卒業を思い浮かべながら算数の学習予定を見直し、お子さまが「和差算も旅人算も、全部ちがう解き方を覚えるの」と手を止める場面です。保護者の方も、単元名が増えるほど、どこから復習すればよいのか迷いやすくなります。名前だけを並べると、中学受験算数はばらばらな知識の集まりに見えるかもしれません。

けれども、その土台には、学校で学ぶたし算・ひき算、かけ算・わり算、分数、割合、面積などがあります。変わるのは、計算そのものだけではありません。文章から必要な数量を取り出し、図や表に置き直して、まだわからない量への道筋を自分で作る場面が増えます。

全体のつながりを知ると、「速さが苦手だから速さを全部やり直す」よりも細かく、単位の換算なのか、時間をそろえるところなのかを見分けられます。分野の地図と短い例題を使って、今できることと、次に確かめることを結び付けていきましょう。

この単元で身につけること

• 分野を数量の関係から見渡します。特殊算、数の性質、割合と比、速さ、図形、場合の数を、名前だけでなく「何を整理する分野か」でとらえます。
• 学校算数とのつながりを見つけます。平均から合計を求める、面積から底辺を求めるなど、すでに学んだ計算が複雑な問題の途中で働くことを確かめます。
• 図と表を目的に合わせて選びます。大小や差なら線分図、時間ごとの変化なら表、もれなく数えるなら樹形図というように、知りたい関係から選びます。
• 解いた後に条件へ戻ります。答えが出たかどうかだけでなく、合計、差、単位、数え方の重複を確かめる習慣をつけます。
• 学年と理解の両方から進め方を考えます。小4・小5・小6という区切りを目安にしながら、必要なら一つ前の計算や図の読み取りへ戻れるようにします。

前の学年で学ぶ整数の四則計算や長さの測り方は、受験算数でも使い続けます。新しい単元へ進むことと、土台を使い直すことは、別々の作業ではありません。たとえば比で分ける問題でも、最後にはわり算で同じ大きさのまとまりを求めます。

基本の考え方

分野を「何をそろえるか」でつなぎます

特殊算とは、和差算やつるかめ算など、よく現れる数量の関係に名前を付けて扱う問題群です。名前を聞いて式を当てはめるよりも、「合計と差がある」「全部を同じ種類と考えると差が出る」と、条件を言い直すことが出発点になります。和差算、分配算、年齢算には線分図が役立ちますが、同じ図を使っても、そろえるものが実際の数なのか、何倍分なのかは問題ごとに確かめます。

過不足算や差集め算では、1人あたりの差が何人分集まっているかを見ます。消去算では、品物の個数などをそろえて共通する部分を取り除きます。平均算は、平均だけを眺めずに、平均 × 個数で合計へ戻すと関係が見える問題です。仕事算は仕事全体と一定時間あたりの仕事量を整理し、ニュートン算では、減る間にも増える量があることに目を向けます。特殊算の中でも、比や速さと考え方を共有する問題があります。

数の性質では、倍数、約数、あまり、くり返しを使います。周期算と日暦算は、一まとまりの長さと、その後に残る位置を考える問題です。数列や規則性では、同じ増え方が続くのか、増え方そのものが変わるのかを表で確かめます。植木算は木の本数と間の数を区別し、方陣算は並び方を辺や周りに分けます。「数える対象をはっきりさせる」という点で、場合の数ともつながります。

割合と比は、大きさの異なる量を共通の基準で比べるための道具です。割合の文章題、売買損益、食塩水、比例配分では、何をもとにするかが変わると式も変わります。比例と反比例では、片方の量の変化に伴って、もう片方がどう変わるかを見ます。同じ道のりを進む速さと時間の関係や、一定の水量を入れる水そうの底面積と水位の関係にも使えます。

速さには、基本の道のり・速さ・時間から、出会いと追いつきの旅人算、列車の長さも考える通過算、流れを分ける流水算、角度の動きを比べる時計算へと広がる道があります。図形は、角度と多角形、平面図形の面積、相似と面積比、立体の体積と表面積へ進みます。水そうや点の移動では、図形の量が時間とともに変わるため、速さや比例の見方も必要です。

場合の数では、並べるのか選ぶのか、順番を変えると別になるのかを先に決めます。樹形図や表は、道順や色の塗り分けでも役立ちます。図1のように分野をつなげると、単元の境界を越えて同じ道具を使うことが見えてきます。

図1の線は、学ぶ順番を一つに決める矢印ではなく、考え方のつながりを示しています。中央の計算・単位・図表が支えとなり、比は速さや図形に、数の規則は場合の数にもつながります。どの分野も、中央の土台が不要になるわけではありません。

学校算数との違いを、解く過程でとらえます

学校算数と中学受験算数は、別の計算の体系ではありません。学校でも、理由を説明する問題や、いくつかの条件を使う問題を扱います。受験算数では、複数の既習事項を組み合わせて、途中で求める量を自分で選ぶ問題に取り組む機会が増えます。「学校では公式、受験ではひらめき」と分けると、両方で使う大事な考え方を見落としてしまいます。

学校算数の小5〜小6で扱う内容を軸にすると、対応を整理しやすくなります。小数・分数の計算は割合や速さの途中計算へ、倍数・約数は周期や仕事全体の置き方へ、平均は人数の異なる集団の合計へつながります。割合・比は食塩水や面積比へ、速さは出会いや通過へ、面積・体積は複合図形や水位へ、表やグラフは数量の変化の読み取りへ広がります。学ぶ時期や順序には違いがあるため、学年名だけで習得済みと判断しないようにします。

たとえば、長方形の面積を求める計算ができても、同じ高さの三角形を比べるときに、どの辺を底辺にするかで迷うことがあります。この場合、面積の公式を何度も書くより、底辺と高さの組を図に入れるほうが確かめたい点に合っています。保護者の方からは「この数は図のどこを表しているかな」と声をかけると、答えを先に教えずに関係を確かめられます。

学年ごとの目安は、できる行動で確かめます

小4では、計算の意味と単位をそろえ、短い文章から図や表を作る練習を軸にします。和と差を線分で表す、並びを実際に書いて数える、長さと面積を区別するといった取り組みです。難しい名称を先に増やすよりも、書いた図の一本や表の一行について説明できるかを見ます。計算を間違えたときは、数の写し間違いか、くり上がりなどの処理かも分けます。

小5では、割合・比・速さ・面積などの関係を行き来する練習を増やします。基本問題を解いた後で数値や問いを一つ変え、同じ考え方が使えるかを確かめます。答えの求め方を暗唱できても、何をもとにした割合かを指せなければ、割合の土台へ戻ります。学習予定の単元を終えたという記録と、自力で説明できたという記録を分けておくと、復習の位置が見えます。

小6では、複数分野を含む問題で、条件を整理するところから練習します。時間を測る前に、途中で何を求める必要があるかを短く説明できる状態を目指します。たとえば水そうの問題で止まったら、体積の計算、毎分入る量、グラフの読み取りのどこかを調べます。解けなかった大問を繰り返すだけでなく、その中の一つの関係を取り出して解き直します。

これは学年ごとの一律の到達期限ではありません。始めた時期や既習内容に合わせて、前後してかまいません。ただし、分数のわり算の意味が曖昧なまま複雑な割合の問題を重ねるなど、必要な土台を飛ばすと、途中計算と関係の理解を同時に抱えることになります。先へ進む目安は、似た問題の答えを覚えたことではなく、図や式の数が何を表すかを自分の言葉で言えることです。

例題で解き方を確かめる

例題1　和と差を線分に置き直します

赤いカードと青いカードが合わせて34枚あります。赤いカードは青いカードより8枚多いとき、それぞれ何枚ありますか。これは和差算の基本ですが、使う計算はひき算とわり算、たし算です。

1. 赤のほうが8枚多いので、赤からその8枚を取り分けたと考えます。こうすると赤と青が同じ枚数になり、残りを等しく二つに分けられるからです。
2. 合計から差を引き、34 − 8 = 26枚とします。26枚は、青と同じ枚数のまとまりが二つある状態です。
3. 青を26 ÷ 2 = 13枚と求めます。赤は13 + 8 = 21枚です。最初の条件へ戻り、21 + 13 = 34、21 − 13 = 8を確かめます。

答え：赤いカード21枚、青いカード13枚です。

最初から「和から差を引いて2で割る」と覚えるだけでは、途中の26が何なのか見失いやすくなります。「同じ長さが二つ残った」と説明できれば、人数が増える問題や、何倍かを表す問題でも図を作り直せます。保護者の方は「8枚をどちらから外したのかな」と、操作した場所を尋ねてみてください。

例題2　比を使って三角形の面積を分けます

三角形ABCの辺BC上に点Dがあります。BD = 4 cm、DC = 6 cmで、Aから直線BCへの高さは6 cmです。三角形ABDと三角形ADCの面積をそれぞれ求めてください。

1. 底辺をBDとDCにそろえて見ます。二つの三角形の頂点Aは共通で、底辺が同じ直線上にあるため、高さはどちらも6 cmです。
2. 三角形全体の底辺は4 + 6 = 10 cmなので、全体の面積は10 × 6 ÷ 2 = 30 cm²です。まず全体を求めると、後で分けた面積の合計を確かめられます。
3. 高さが等しいので、面積の比は底辺の比と同じ4：6、つまり2：3です。全体を2 + 3 = 5等分した1つ分は30 ÷ 5 = 6 cm²になります。
4. ABDは6 × 2 = 12 cm²、ADCは6 × 3 = 18 cm²です。4 × 6 ÷ 2と6 × 6 ÷ 2で別々に計算しても、同じ結果になります。

答え：三角形ABDは12 cm²、三角形ADCは18 cm²です。

図2のように、底辺を二つに分けても、高さを示す線は共通です。面積の公式にある「高さ ÷ 2」の部分が同じなので、底辺の大きさに応じて面積が分かれます。ここで使ったのは高さが等しい三角形の面積比であり、二つの三角形が相似だと考える必要はありません。

学校算数で面積を求める経験が、比で全体を分ける考え方につながる例です。比がまだ扱いにくければ、まず底辺と高さから二つの面積を直接求め、その後で12：18が4：6と同じ比になることを確かめます。計算できる方法を足場にして、新しい見方へ進めます。

例題3　出会う速さを1分ごとの表で考えます

900 m離れた地点にいる2人が、同時に向かい合って歩き始めます。1人は分速60 m、もう1人は分速90 mで、速さは変わりません。何分後に出会い、それまでに分速60 mの人は何m進みますか。

1. 1分間に2人が進む道のりを合わせ、60 + 90 = 150 mとします。向かい合って進むので、2人の間の距離が1分ごとに150 mずつ縮まるからです。
2. 900 mの隔たりがなくなるまでの時間は900 ÷ 150 = 6分です。900 mは1人の道のりではなく、出会うまでに2人が進む道のりの合計です。
3. 分速60 mの人は60 × 6 = 360 m進みます。もう1人は90 × 6 = 540 mで、360 + 540 = 900 mになり、出会いの条件と一致します。

答え：6分後に出会い、分速60 mの人は360 m進みます。

図が思い浮かばないときは、1分後に縮まる距離が150 m、2分後が300 mと表にします。同じ時間だけ歩くので、道のりの比は60：90 = 2：3です。900 mを2：3に分けて360 mと540 mを求める方法も使えます。速さの問題と比の問題が、同じ場面を違う方向から見ているとわかります。

ただし、同じ方向に進んで追いつく場合は、前の人も先へ進むため、隔たりが縮まる速さは差になります。「2人出てきたからたす」のではなく、1分後に隔たりがどう変わるかを先に確かめます。

例題4　並べる場合と選ぶ場合を区別します

A、B、C、Dと書かれた4枚のカードがあります。違う2枚を選び、左から右へ並べる並べ方は何通りですか。また、並べずに2枚の組だけを選ぶ選び方は何通りですか。

1. 左のカードを決めます。4枚のどれでもよいので4通りです。左を固定すると、その後の選び方をもれなく調べられます。
2. 右は残る3枚から選ぶため、それぞれ3通りです。並べ方は4 × 3 = 12通りになります。同じカードを2回使わないという条件を、残り3枚に反映しています。
3. 組だけを選ぶ場合、ABとBAは同じ組です。12通りの並べ方には、どの組も順番を入れ替えた二つずつが含まれるので、12 ÷ 2 = 6通りとします。
4. 実際にAB、AC、AD、BC、BD、CDと書き、6組あることを確かめます。割る数の理由が曖昧なまま計算を進めないための確認です。

答え：並べ方は12通り、2枚の組の選び方は6通りです。

場合の数にもかけ算やわり算が登場しますが、先に数え方の基準を決める必要があります。例題1のわり算は等しく二つに分ける計算でした。ここでは同じ組を二重に数えた分を取り除いています。同じ「÷ 2」でも、何を2としているかは異なります。

つまずきやすいところと直し方

合計を2で割ればよいと思ってしまいます

誤った書き方は、例題1で「34 ÷ 2 = 17だから、赤も青も17枚」です。合計は合っていますが、赤が8枚多いという条件が使われていません。二つの量を等しくしてから割る必要があります。

正しい書き方は「34 − 8 = 26、26 ÷ 2 = 13、13 + 8 = 21」です。図3のように、青と同じ長さの部分を赤にも取り、赤の余分な8枚を区別します。図をきれいに仕上げることより、どこが同じ量で、どこが差なのかを読み取れることが先です。

図3では青の長さに対応する部分が二つ残ります。お子さまが34 ÷ 2と書いたときは、すぐに式を直させず、「同じ枚数だと、8枚多いのはどこになるかな」と図に戻します。合計と差の両方を確認する見方は、分配算や年齢算にもつながります。

比の数を、そのまま面積にしてしまいます

誤った書き方は、例題2で「面積比が2：3だから、面積は2 cm²と3 cm²」です。比の2と3は相対的な大きさであり、実際の面積を表す単位つきの数ではありません。全体が何cm²か、または片方が何cm²かという手がかりが必要です。

正しい書き方は「30 ÷ 5 = 6、6 × 2 = 12、6 × 3 = 18」です。比の1つ分に対応する実際の量を求めてから、それぞれを計算します。また、辺の比をいつでも面積比にできるわけではありません。高さが等しい三角形なのか、相似な図形なのかによって関係が違うので、図の条件を必ず確かめます。

どんな選び方でも最後に2で割ってしまいます

誤った書き方は、例題4の「左と右へ並べる」問いに対して「4 × 3 ÷ 2 = 6通り」とすることです。左がAで右がBの並びと、左がBで右がAの並びは別なので、重複として消してはいけません。

正しい書き方は、並べるなら「4 × 3 = 12通り」、組だけを選ぶなら「4 × 3 ÷ 2 = 6通り」です。お子さまには二つの並びを実際に置いて、「入れ替えたら答えの一つとして別に数えるかな」と尋ねます。さらに3枚以上を選ぶ問題では、同じ組を何回数えたかも変わります。「選ぶ問題は2で割る」という新しい丸暗記を作らず、重なり方を書き出して確かめます。

ここで手が止まるなら、止まった単元まで一緒に戻ります。学年別個別指導コース／お問い合わせ

練習問題

どの単元の名前かを当てる前に、そろえる量や数える対象を一言書いてから解いてみてください。式が止まったら、例題の答えではなく、同じ長さ、高さ、同じ時間、順番の有無という条件を見直します。

練習1

赤いカードと青いカードが合わせて46枚あります。赤は青より10枚多いとき、それぞれ何枚ありますか。答えを求めた後、合計と差の両方を確かめてください。

練習2

三角形ABCの辺BC上に点Dがあり、BD = 3 cm、DC = 5 cmです。Aから直線BCへの高さは4 cmです。三角形ABDと三角形ADCの面積を、それぞれ求めてください。

練習3

840 m離れた2地点から、2人が同時に向かい合って歩き始めます。速さは分速50 mと分速70 mで一定です。何分後に出会い、それまでに分速50 mの人は何m進みますか。

練習4

A、B、C、D、Eの5枚から違う2枚を取り、左と右に並べる並べ方は何通りですか。また、順番を区別せず2枚の組を選ぶ選び方は何通りですか。

答えと解説

練習1の答えは、赤28枚、青18枚です。46 − 10 = 36、36 ÷ 2 = 18、18 + 10 = 28と求めます。28 + 18 = 46、28 − 18 = 10なので、両方の条件に合っています。

練習2の答えは、ABDが6 cm²、ADCが10 cm²です。3 × 4 ÷ 2 = 6、5 × 4 ÷ 2 = 10です。全体の面積は8 × 4 ÷ 2 = 16 cm²で、これを3：5に分けても同じ答えです。高さが共通であることが、二つの解き方をつないでいます。

練習3の答えは、7分後、350 mです。1分間に隔たりは50 + 70 = 120 m縮まり、840 ÷ 120 = 7分です。50 × 7 = 350 m、70 × 7 = 490 mで、合計は840 mになります。

練習4の答えは、並べ方20通り、組の選び方10通りです。左が5通り、右が残り4通りなので5 × 4 = 20通りです。組だけなら、どの組も二つずつ数えているため20 ÷ 2 = 10通りです。

次の単元へのつながりと家庭での確かめ方

この地図の次に進む場所は、お子さまの答案から選びます。和と差は扱えても倍の関係が難しければ分配算へ、面積の計算はできても比の1つ分が曖昧なら比例配分へ進む前に比を確かめます。速さの表を自分で作れれば、出会いから追いつきや往復へ広げられます。単元を横断する問題では、使った考え方に印を付けると、同じ土台が何度も登場することを確認できます。

家庭で5分程度でできる確かめ方の一つは、解いた問題の式から数を一つ選び、「この数は何を表しているかな」と尋ねることです。例題1なら26、例題3なら150を取り上げます。数の意味を言えなければ、計算を増やさず、その数が生まれる図や表だけを書き直します。説明を長くさせる必要はなく、「青と同じ枚数が二つ分」「1分で縮まる距離」と言えれば確認できます。

もう一つは、条件を一つ変えて、答えがどう変わりそうかを計算前に話すことです。カードの合計を増やす、歩く速さを遅くする、並べるのを組選びに変えるなどが使えます。予想と結果が違ったら、式のどこを変える必要があったかを確かめます。毎回すべてを解き直すより、変わった条件を一つ追う時間にします。

塾で質問するときは、正誤だけでなく、手が止まった図や式を残して持っていくと、確かめる位置が具体的になります。個別指導では、問題文の読み取り、単位、計算、図の対応のどこで止まったかを見て、必要なら整数の等分や面積の底辺と高さまで戻ります。説明を聞いた直後の解き直しに加え、少し条件を変えた問題を自力で始められるかも確かめます。

まとめ

学習予定に書かれた単元名だけでは、今の理解の位置は見えません。答案に残った線、表の一行、途中の数の意味をたどると、次に確かめる場所が具体的になります。難しい問題に戻る前に一つの関係を取り出すことは、学習を中断することではなく、解き進める手がかりを取り戻すことです。

初めて見る問題でも、二つの量をそろえる、共通の高さを見る、一定時間の変化を調べるといった出発点を探せます。解法の名前を言えることより、その問題の数が図のどこにあるかを指せることが、自力で解き始める足場になります。中学受験算数の全体地図に現在地を記すのは、終えた単元の数ではなく、自分で説明できる数量の関係です。