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【中学受験算数】角度と多角形を図解で総まとめ—平行線三角形の外角多角形の角折り返し｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.10.12更新 2026.10.12武蔵野個別指導塾の特徴中学受験算数単元解説

【中学受験算数】角度と多角形を図解で総まとめ—平行線三角形の外角多角形の角折り返しのアイキャッチ武蔵野個別指導塾

平行線の角、多角形の内角と外角、折り返し、星形を4枚の図で確かめます。補助線を引く理由と式の立て方を例題でたどり、家庭で角度の説明を聞くときの着眼点もつかめます。

よくあるのは、学校のテストの日の玄関で、お子さまがノートの星形を指して「三角形の角は求められるのに、線が交わると、どこから計算するのかわからない」と足を止める場面です。角度の問題は、知っている決まりが多いだけでは解き進められません。求める角がどの2本の線にはさまれているかを見つけ、その角を含む三角形や一直線を選ぶことが出発点になります。

平行線、多角形、紙の折り返しは、見た目の違う問題です。しかし、一直線の角は180°、三角形の内角の和は180°という土台を使う点ではつながっています。図に等しい角を書き入れ、まだわからない角へ順に進むと、複雑な図も短い計算に分けられます。

保護者の方が確かめたいのは、答えの数値だけではありません。「なぜ、その角と同じなのか」「今、どの三角形を使ったのか」をお子さまが図を指して説明できるかどうかです。ここでは、角の位置を取り違えず、理由を添えて解き進める方法を見ていきます。

この単元で身につけること

角の範囲を正しく読むこと。頂点と2本の辺を確かめ、角の印が示す開きだけを計算の対象にします。
平行線を使って角を移すこと。交わる直線との位置関係から、等しい角や、合わせて180°になる角を見つけます。
三角形の外角を使うこと。外角が、となり合わない2つの内角の和になる理由を理解し、計算の回数を減らします。
多角形の角の和を求めること。三角形に分ける方法と、周りを1周するときの向きの変化を結びつけます。
折り返しと星形を整理すること。折り目をはさんだ等しい角や、外角として見られる角を探し、見た目に頼らず解きます。

これまでに学ぶ直角、三角形、四角形、平行の性質が土台になり、比を学んだあとには角の比の問題にもつながります。式の前に図へ条件を写す習慣をつけると、使っていない条件や、理由のない思い込みにも気づきやすくなります。

基本の考え方

角を数える前に、角の両側をたどる

角は、1つの頂点から出た2本の半直線の開きです。線が長く描かれていても、開きが同じなら角の大きさは変わりません。図の辺を長くなぞると大きな角に感じることがありますが、見るのは辺の長さではなく、頂点の周りの開きです。

基本になるのは、直角が90°、一直線の角が180°、1回転が360°という関係です。1本の直線上の点から別の線が出ているなら、その直線の片側にできた角を全部足すと180°になります。ただし、途中の小さな角を見落としたまま2つだけを足してはいけません。片側の半回転をすき間なく分けているかを確かめます。

2本の直線が交わると、向かい合う角は等しくなります。例えば、交点の周りに65°の角があれば、それととなり合う角は180° − 65° = 115°です。さらにとなりの角は180° − 115° = 65°となり、初めの角と等しくなります。向かい合う角が等しいことも、一直線の180°から説明できるのです。

角を3文字で表すときは、真ん中の文字が頂点です。角ABCなら、頂点はBで、BAとBCにはさまれた角を指します。交点に何本も線が集まる問題では、「Bの角」とだけ言わず、「BAからBCまでの角」と読むと、足したり引いたりする範囲がはっきりします。

平行線は、離れた角を同じ場所へ運ぶ手がかり

平行な2本の直線を別の1本の直線が横切ると、それぞれの交点で同じ側、同じ向きにできる角は等しくなります。また、平行な2本の直線の内側で、横切る直線の反対側にできる角も等しくなります。名前だけを覚えるより、図でその位置を指せるようにしましょう。

図1のように、横向きの2本の直線が平行で、斜めの直線が横切っているとします。上の交点の右上にある50°と、下の交点の右上にある50°は、同じ位置関係の角です。上の交点の左下にも50°ができるので、平行線の内側で左右が入れ替わった2つの角も等しくなります。

一方、上の交点の右下にある角は130°です。50°のとなりにあり、合わせると一直線の180°になるからです。「平行線の角だから同じ」と一括りにすると、この130°まで50°にしてしまいます。まず角の両側を指でたどり、どちら向きに開いているかを確認してください。

平行線の間で折れ曲がる線が出てきたら、折れ曲がった点を通る平行な補助線を考える方法があります。その線を加えると、離れた交点の角を折れ曲がった点へ集められます。ただし、集まった角を足すか引くかは図の位置によります。「折れ線だから足す」という暗記ではなく、求める角が小さな角2つに分かれたのか、大きな角の一部なのかを見ます。

保護者の方は「同じ大きさの角を、今求めたい場所の近くに写せるかな」と声をかけてみてください。補助線を引く目的が明確になると、図をむやみに線で埋めずに済みます。なお、見た目が横向きというだけでは平行とはいえません。問題文や図の印に平行という条件があることを必ず確かめます。

三角形から多角形へ、内側と外側を分けて考える

三角形の内角の和は180°です。1つの頂点を通り、向かい側の辺に平行な線を引くと、残りの2つの角をその頂点の周りへ移せます。移した2つの角ともとの頂点の角を合わせると一直線になり、180°だとわかります。平行線の決まりは、三角形の決まりを説明するときにも使えます。

三角形の1辺を頂点の先へ延ばしたとき、内角のとなりにできる角を外角といいます。内角とそのとなりの外角の和は180°です。三角形の内角全部の和も180°なので、外角は、それととなり合わない2つの内角を足した大きさになります。外側に描かれている角なら何でも外角と呼ぶのではなく、どの辺を延ばしてできた角かを確かめます。

多角形の内角の和は、1つの頂点から対角線を引いて三角形に分けると求められます。四角形なら2つ、五角形なら3つ、六角形なら4つの三角形になります。したがって、内角の和は「180° ×（頂点の数 − 2）」です。この分け方では、へこみのない多角形を考えます。へこみがある場合には対角線が図形の外へ出ることがあるため、同じ引き方をそのまま使わず、図形の内側で分けられているかの確認が必要です。

外角の和は、へこみのない多角形の各頂点で、同じ向きに進むときの外角を1つずつ選ぶと360°になります。周りを歩くつもりで指を動かすと、角を曲がるたびに進む向きが変わり、出発点へ戻ったところでちょうど1回転するからです。内角の和が頂点の数によって増えるのに対し、この外角の和は変わりません。

正多角形は、すべての辺の長さとすべての内角の大きさが等しい多角形です。正多角形なら、外角1つは360° ÷ 頂点の数、内角1つは180° − 外角1つで求められます。ふつうの五角形でも内角の和は540°ですが、1つずつが108°とは限りません。「和がわかること」と「それぞれが等しいこと」は別の条件です。

例題で解き方を確かめる

例題1　三角形の外角から残りの内角を求める

三角形ABCで、辺BCをCの先のDまで延ばします。角BACは48°、外角ACDは125°です。角ABCは何度ですか。

点B、C、Dがこの順に一直線上にあることを確かめます。外角ACDは、内角ACBのとなりの角なので、2つを合わせて180°になります。
外角125°を、となり合わない内角2つの和として見ます。角BACと角ABCの和が125°になるため、角ABCは125° − 48° = 77°です。
内角ACBも求めて確かめます。180° − 125° = 55°なので、48° + 77° + 55° = 180°となり、三角形の内角の和に合います。

答え：角ABCは77°です。

この問題は、先に55°を求めてから180° − 48° − 55°と計算しても解けます。外角を使うよさは、必要な角に直接進めることです。お子さまが外角の決まりを忘れた場合は、最初の内角の計算へ戻ればよく、別々の方法を一度に暗記する必要はありません。

例題2　正六角形の内角と外角を求める

正六角形ABCDEFについて、内角の和、1つの内角、1つの外角をそれぞれ求めましょう。図2では、AからC、D、Eへ対角線を引いています。

図2のように、できた三角形を順番に数えます。三角形ABC、ACD、ADE、AEFの4つなので、内角の和は180° × 4 = 720°です。もとの六角形の内側を、重なりもすき間もなく分けています。
6つの内角が等しいことを使います。正六角形という条件があるため、1つの内角は720° ÷ 6 = 120°です。
内角のとなりに外角を考えます。内角と外角で一直線になるので、1つの外角は180° − 120° = 60°です。60° × 6 = 360°となり、外角の和からも確かめられます。

答え：内角の和は720°、1つの内角は120°、1つの外角は60°です。

図2に引いた対角線は3本ですが、できた三角形は4つです。「引いた線の数」をそのまま180°にかけると間違えます。Aの周りから三角形を1つずつ指でたどり、線と面のどちらを数えているか区別しましょう。また、三角形がすべて同じ形である必要はありません。どの三角形でも内角の和が180°であることだけを使っています。

例題3　直角の一部を折り返す

紙の直角の頂点をOとし、辺OAは右向き、辺OBは上向きとします。直角の内側に折り目OCを取り、角AOCは30°です。OA側の紙を折り目OCで折り返すと、辺OAは辺OA′に重なります。折り返した辺OA′と辺OBの間の角A′OBは何度ですか。

折り目OCを動かない線として見ます。折り返す前と後で折り目との開きは等しいので、角COA′も30°になります。
もとの辺OAから折り返した辺OA′までを考えます。図3のように、折り目が2つの角の間にあるため、角AOA′は30° + 30° = 60°です。
直角全体から、その60°を引きます。今回はOA′が直角AOBの内側にあるので、角A′OBは90° − 60° = 30°です。

答え：角A′OBは30°です。

折り返しで等しくなるのは、折り目と折る前の辺の間の角、折り目と折った後の辺の間の角です。もとの直角が必ず半分になるわけではありません。また、折り返した辺が直角の外へ出る条件なら、最後の引き算のしかたも変わります。数だけで処理せず、折った後の辺がどの方向を向くかを確かめます。

例題4　星形の5つの先端の角を考える

5つの点A、B、C、D、Eを周りにこの順で置き、A、C、E、B、D、Aの順に結んで星形を作ります。図4のように5つの先端と中央の五角形ができる形です。先端の角がAで28°、Bで35°、Cで42°、Dで31°のとき、Eの先端の角は何度ですか。交点P、Qは、次の図4で確かめます。

星形の先端5つの和が180°になることを、三角形の外角から説明します。線分ACとEBの交点をP、線分ADとEBの交点をQとすると、小さな三角形APQができます。
三角形PCEを見ます。PAはPCをPの先へ延ばした向きで、PQはPEと同じ向きなので、角APQはこの三角形の外角です。したがって、角APQはCとEの先端の角の和です。同じように、三角形QDBの外角AQPは、DとBの先端の角の和になります。
三角形APQの内角の和を使います。Aの先端、CとEの先端の和、DとBの先端の和を全部足して180°になるので、星形の5つの先端の和も180°です。
わかっている4つの角を足して引きます。28° + 35° + 42° + 31° = 136°、180° − 136° = 44°です。

答え：Eの先端の角は44°です。

5つの先端がすべて等しい星形なら180° ÷ 5 = 36°ですが、この例題では先端の角は等しくありません。形が左右対称に見えるかどうかではなく、与えられた条件を使ってください。5つの和が180°になる理由は、先端が等しいことには頼っていません。

つまずきやすいところと直し方

誤り1　内角の和を、条件なしで等分する

誤った書き方は、「五角形だから、1つの内角は540° ÷ 5 = 108°」です。どこが違うかというと、五角形というだけでは5つの角が等しいとはいえません。内角の和を求める決まりに、等分できるという条件を勝手に付け加えています。

正しい書き方は、「五角形の内角の和は180° × 3 = 540°。正五角形なら1つの内角は540° ÷ 5 = 108°」です。正多角形という言葉がない問題では、ほかの4つの角を足して引くなど、別の情報が必要になります。式を書く前に、等しい角の印や問題文の条件を探しましょう。

また、多角形の中心と各頂点を結ぶ方法では、三角形が頂点と同じ数だけできます。その場合、三角形の角の合計には中心の周りの360°も入るので、それを引きます。頂点から分ける方法と中心から分ける方法を混ぜると、三角形の数を取り違えます。どの点から線を引いたのかを図に残すことが修正の手がかりになります。

誤り2　折り目が、もとの直角を半分にすると決める

誤った書き方は、例題3で「折り目だから90° ÷ 2 = 45°」とすることです。どこが違うかというと、折り目は、折る前と後の対応する辺の間の角を半分にするのであって、紙にもともとあるどの角でも半分にするわけではありません。辺OBを動かしていない今回の折り方では、OBは等しい角を探す相手ではありません。

図3のように、折り目OCの下側の30°を上側へ移すと、折り返した辺OA′の位置が決まります。正しい書き方は、「角AOC = 角COA′ = 30°、角A′OB = 90° − 30° × 2 = 30°」です。図では同じ半径で測った位置にAとA′を置き、OAとOA′の長さも等しくしています。折り返すと辺の長さも角の開きも保たれるためです。

直すときには、まず折り目を指で押さえ、動く側の辺だけをたどってください。次に、折る前の辺と折った後の辺を同じ色で示します。折り目から同じだけ離れた向きになると確かめてから、周囲の90°や180°を使います。先に引き算を始めるより、対応する辺を決めるほうが大切です。

誤り3　星形の先端を、多角形の内角として数える

誤った書き方は、「星形には先端が5つあるので、先端の和は五角形と同じ540°」です。どこが違うかというと、5つの先端だけを集めても、ふつうの五角形の内角にはならないことです。星形の線は途中で交差しており、中央の五角形の内角と先端の角も別のものです。

図4は例題4の交点の位置を説明する図で、先端が等しい形を使っています。例題の28°などの数値を表した図ではありません。図4のようにPとQを決めると、正しい書き方は、「三角形APQの3つの内角に、星形の先端5つ分が含まれるので、先端の和は180°」となります。図の形が整っていなくても、同じ順に交差する星形なら、この外角の説明を使えます。

ここでの外角の見分け方は、PではPCをPAへ延ばし、QではQDをQAへ延ばすことです。図全体を一度に眺めると線が多く感じられるので、紙で一部を隠すつもりで、三角形PCEと三角形QDBを別々にたどりましょう。使う三角形が決まれば、特別な星形の公式を増やさずに説明できます。

ここで手が止まるなら、止まった単元まで一緒に戻ります。学年別個別指導コース／お問い合わせ

練習問題

角の数値を計算する前に、使う関係を「一直線」「平行」「外角」「正多角形」「折り返し」の言葉でメモしましょう。図を自分で描く場合は、長さを正確に測ることよりも、平行という条件や点の並び順を落とさないことを優先します。答えは節の最後にまとめてあります。

練習1

平行な2本の横向きの直線を、右上がりの1本の直線が横切っています。上の交点の右上の角は62°です。下の交点の右上の角と、下の交点の右下の角を求めましょう。図1の50°を62°に変えた配置を考えます。

練習2

正多角形の1つの外角が24°です。これは正何角形ですか。また、1つの内角と内角の和を求めましょう。外角は各頂点で同じ向きに1つずつ取ります。

練習3

例題3と同じように、直角AOBの内側の折り目OCでOAを折り返し、OA′に重ねます。角AOCが22°のとき、角AOA′と角A′OBはそれぞれ何度ですか。折り返したOA′は直角の内側にあります。

練習4

例題4と同じつなぎ方の星形で、先端A、B、C、D、Eの角は、それぞれ32°、38°、27°、41°、不明です。Eの先端の角を求めましょう。また、図4の交点の付け方にしたがったとき、三角形APQのPとQの内角も求めましょう。

答えと解説

練習1の答えは、右上が62°、右下が118°です。平行線を横切る直線の同じ位置の角は等しいので、下の交点の右上も62°です。そのとなりの右下は180° − 62° = 118°となります。62°と118°をどちらに書くかまで、図の向きと対応させてください。

練習2の答えは、正十五角形、内角が156°、内角の和が2340°です。外角の和は360°なので、頂点の数は360° ÷ 24° = 15です。内角は180° − 24° = 156°、内角の和は156° × 15 = 2340°です。別の確かめ方として、180° ×（15 − 2）= 2340°も使えます。

練習3の答えは、角AOA′が44°、角A′OBが46°です。折り目の両側に22°ずつできるので、22° × 2 = 44°になります。直角の残りは90° − 44° = 46°です。22° + 22° + 46° = 90°と足し戻すと、直角の内側をすき間なく分けたことも確かめられます。

練習4の答えは、Eが42°、Pの内角が69°、Qの内角が79°です。4つの先端の和は32° + 38° + 27° + 41° = 138°なので、Eは180° − 138° = 42°です。PではCとEを足して27° + 42° = 69°、QではDとBを足して41° + 38° = 79°となります。32° + 69° + 79° = 180°で、三角形APQの内角の和にも合います。