数学で手が止まったときの手順｜武蔵野個別指導塾が薦める学習の仕方

数学の宿題で、鉛筆が止まったまま10分、20分と過ぎていく。ノートには問題番号だけで、下は白いまま。家庭で最もよく起きる困りごとのひとつが、この「手が止まる」時間です。必要なのは「もっと考えなさい」という励ましではなく、止まり方を見分けて、決めた順番で次の一手を打つ手順です。

手が止まる理由はひとつではありません。問題文が読めていないのか、方針が浮かばないのか、方針はあるのに式にできないのか、計算で崩れたのか。対処はまったく違います。読めていない子に「公式を思い出しなさい」と言っても動きませんし、計算で崩れている子に「考え方を説明して」と迫っても直りません。

この記事は、なぜ止まるのかという理屈ではなく、止まった瞬間から次の1分で何をするかだけを書きます。何分粘り、例題のどこを隠し、何を声に出し、いつ答えを見てよいか。小学生（算数）、中学生、高校生で変わるところは分けます。

この記事の結論

• 止まったら、まず「どこで止まったか」を5秒で言葉にする。 読めていない／方針が立たない／立式できない／計算で崩れる／検算していない、の5つに切り分けると次の一手が決まります。
• 粘る時間はあらかじめ決めておく。 小学生は3分、中学生は5分、高校生は10分。時間が来たら意志の力ではなく時計の指示で例題に戻ります。
• 例題は「読む」ものではなく「隠して再現する」もの。 解答を1行ずつ紙で隠し、次の行を自分で書いてから紙をずらします。
• 各行について「なぜこの行が出てくるのか」を声に出す。 自分への説明を促す介入は、多くの分野で中程度の効果が報告されています（g = 0.55）。黙読だけでは足りません。
• 手が止まる原因が不安のこともある。 不安は考えるための作業記憶を占領します。テスト直前に8分書き出す方法は効果が報告された一方、効果が出なかった追試もあります。

まず「止まり方」を5秒で切り分ける

最初にやるのは考え直すことではありません。自分がどこで止まっているかに名前をつけることです。名前がつけば打つ手が決まります。次の表をノートの表紙の裏に貼り、止まったら自分に一番近い行を指さして、右端をそのまま実行します。

上の2つ（読めていない、方針が立たない）は情報を外に出す作業、下の2つ（計算、検算）は手の動きを整える作業です。混ぜると両方とも直りません。

何分粘って、いつ例題に戻るか

「すぐ答えを見る」も「わかるまで考え続ける」も学習になりません。前者は自分で作る経験がゼロになり、後者は白紙の時間が延びるだけです。決めておくべきは粘る時間の上限です。

目安は小学生3分、中学生5分、高校生10分。タイマーを、問題を読み終えた瞬間に押します。時間が来たら、考えがまとまっていなくても手を止めて例題に戻ります。これは負けではなく、決めた手順の実行です。

ただし、粘っている3分から10分を白紙で過ごしてはいけません。この時間にやるのは次の3つだけです。

1. 問題文から、与えられた数と求める数をノートに書き出す（30秒）。
2. 図・表・数直線のいずれかを描く。正確でなくてよい（1分）。
3. 似た問題を解いた記憶があるか、単元名だけでも書く（30秒）。

残りの時間で手が動き出さなければ例題へ移ります。この「まず自分で作ってみる」時間には意味があります。カプール（Kapur）は、教わる前に自分で解を作らせた生徒と、先に教わってから解いた生徒を比べました。

Kapur. Productive Failure in Learning Math. Cognitive Science. 2014;38(5):1008-1022.

どちらの順序でも手続きの習熟は高い水準に達した一方、先に自分で解こうとして失敗した生徒のほうが、概念の理解と新しい問題への転移で上回ったと報告されています。うまくいかなかった時間は無駄ではありません。ただしこの設計では、自力で試したあとに教える段階が置かれています。粘る時間の価値は、そのあと例題へ戻ることとセットで生まれます。

例題への戻り方——1行ずつ隠して再現する

例題に戻る、と言うと多くの生徒は解答を上から下まで読みます。「わかった気がする」と言って問題に戻り、また止まる。読むだけでは足りません。例題を使う学習が、いきなり問題を解かせるより効率的であることは古くから報告されています。

Sweller. The Use of Worked Examples as a Substitute for Problem Solving in Learning Algebra. Cognition and Instruction. 1985;2(1):59-89.

ただし眺めるだけでは身につきません。レンクル（Renkl）とアトキンソン（Atkinson）は、完成した例題から自力解答へ一足飛びに移らず、途中の行を段階的に空欄にしていく移行を論じています。

Renkl. Structuring the Transition From Example Study to Problem Solving in Cognitive Skill Acquisition: A Cognitive Load Perspective. Educational Psychologist. 2003;38(1):15-22.

これを机の上で再現する手順が次の「隠して再現する」です。要るのは例題の解答と紙1枚だけ。1回10分を目安にします。

1. 例題の解答全体を、白い紙か下敷きで隠す。問題文だけが見えている状態にする。
2. 紙を1行分だけ下にずらし、解答の1行目を読む。
3. 紙を戻して1行目を隠し、その1行を見ずに再現する。書けたら紙をずらして照合する。
4. 2行目に進む。今度は、2行目を見る前に「次に何をするはずか」を先に書いてみる。
5. 解答と違ったら、どこが違うかを1文で書く。「符号を逆にした」「両辺を割る前に移項していた」のように具体的に。
6. 最後の行まで進んだら、解答をすべて隠し、問題文だけを見て最初から通して解く。
7. 通して解けたら、数値だけを変えた類題を1問解く。ここまでで1セットです。

4番目の「先に書いてみる」が、支えを外していく部分です。最初の1行から3行は見せてもらい、後半は自分で埋める。次の例題では見せる行を減らす。こうして落差なく自力へ移ります。

どこまで支えを残すかは内容の難しさで変えます。チェン（Chen）らは、同時に頭へ入れておく要素が多い内容ほど、先に例題を見てから解く順序が有利になることを検討しました。単純な計算練習なら先に解いてよい。要素が絡み合う応用問題ほど、先に例題を見る。

「なぜこの行が出てくるのか」を声に出す

隠して再現する作業に、もうひとつ足します。各行について、なぜその行が出てくるのかを自分に説明することです。頭の中で思うのではなく、小さな声でよいので口に出します。

Bisra. Inducing Self-Explanation: a Meta-Analysis. Educational Psychology Review. 2018;30(3):703-725.

この総合分析は64件の研究報告から69個の効果の大きさを集め、自己説明を促した群の平均効果を g = 0.55 と報告しています。教科や学年をまたいで見られた中程度の大きさです。数学の証明を読む場面でも、ホッズ（Hodds）らが訓練冊子を用いた実験で理解テストの効果を d = 0.950 と報告し、講義中に15分の自習形式で行った介入でも理解が改善し、時間をおいても残ったとしています。

ただし「説明しなさい」と言われても、多くの子は何を言えばよいか分かりません。次の4つの問いを紙に書いて例題の横に置きます。1行あたり15秒で答えます。

1. この行で、何が何に変わったか。（例「両辺から3を引いた」）
2. なぜそれをしてよいのか。（例「等式の両辺に同じ数を足し引きしても等号は保たれるから」）
3. なぜ今それをしたのか。（例「x を左辺に集めたかったから」）
4. ここで別の手を選んだらどうなるか。（例「先に両辺を2で割ると分数が出て面倒になる」）

3番目が最も効きます。1番目と2番目は解答の言い換えで済みますが、3番目は書いていない意図を自分で補うからです。答えられない行が、本当に止まっていた場所です。印をつけ、翌日その行だけを再現します。なお、一度も通して書けていない段階で説明ばかりさせると作業が進みません。まず1回通して書く、次に説明する、の順です。

答えを見てよい条件と、見たあとに必ずやること

答えを見ること自体は悪くありません。悪いのは、見たあとに何もしないことです。次の3つを満たしたときだけ見てよいことにします。

1. 決めた時間（小学生3分、中学生5分、高校生10分）粘った。
2. その時間に、与えられた数・求める数・図のどれかをノートに書いた。白紙ではない。
3. 例題に戻って、隠して再現する手順を1回は試した。

満たしたら答えを見ます。そして見たあと次の4つを行います。飛ばすと、答えを見た時間がそのまま消えます。

1. 答えを閉じて、何も見ずに最初から書く。書けなければもう一度だけ開いて、書けなかった行だけを見る。
2. 自分の最初の手と、解答の最初の手が違った場所に印をつける。違いは最初の1行から3行で起きていることがほとんどです。
3. 「次に同じ形が来たら、まず何をするか」を1文で余白に書く。「線分の長さを文字で置く」のように動作の形で書きます。
4. 翌日、同じ問題を何も見ずにもう一度解く。ここで解けなければ、まだ身についていません。

4番目を省略する生徒が多いのですが、答えを見た問題を翌日もう一度解くかどうかで、その1問が残るかが決まります。専用のノートを1冊作り、日付と単元名だけ書いて積み、週末に通して解きます。

図形・関数・文章題——詰まり方が違う

図形

図形で止まるとき、図を見ているようで見ていません。眺めるだけでは、どの線とどの線が対応するかは目に入りません。手順は描き直すことです。

1. 問題の図をノートに描き写す。定規を使わず大きく描く。
2. 等しい辺と角に同じ印を書き込む。分かっている長さと角度を図に直接書く。
3. 求めたい辺または角を、赤で太くなぞる。
4. 補助線の候補を、薄い線で2本まで引いてみる。合わなければ消す。

指でなぞる動作そのものにも報告があります。ドゥ（Du）とチャン（Zhang）は、幾何の例題の図を人差し指でなぞらせる条件、なぞらせない条件、注意だけを誘導する条件を比べ、なぞった群が転移テストで上回ったと報告しました。注意を向けるだけでは足りなかった、という結果です。

関数

関数で止まるのは、式・表・グラフの3つの表し方を行き来できていないときです。式で止まっているなら表に、表で止まっているならグラフに移します。

1. x に整数を4つ代入して表を作る。負の数を必ず1つ入れる。
2. 表の点を方眼紙に打つ。線でつなぐ前に、点だけを打って形を見る。
3. 問題が聞いていることを、グラフ上のどこを指すかで言い直す。「交点」「x 軸との交わり」「最も低い点」のように。
4. そのうえで、式に戻る。

リトル=ジョンソン（Rittle-Johnson）らは小数の学習で、概念の理解と手続きの習熟が交互に押し上げ合うことを示しました。グラフで意味をつかんでから式に戻り、操作できるようになってまたグラフを見る。この往復自体が手順です。

文章題

文章題で止まるのは、問題の型が見えていないからです。型とは「和と差」「単位あたりの量」「割合」といった構造の区別です。フックス（Fuchs）らは3年生に文章題の型を教え、さらに型ごとに分類させる練習を加えた授業を16週間行いました。24人の教師と366人の児童が参加し、型を教えた群は対照群より問題解決の成績が伸びたと報告されています。家庭で再現するなら次の手順です。

1. 解く前に、問題文を読んで「これは何の型か」を一言で言う。言えなければ、その日のうちに型の一覧を作る。
2. 型ごとに対応する図（線分図・面積図・表）を決めておく。型が決まれば図が決まる状態にする。
3. 数値を図に書き込む。ここまでで式は書かない。
4. 図を見て式を書く。
5. 解き終わったら問題文に戻り、答えが日本語として意味を持つか確かめる。「人数が分数」なら型の選択を間違えています。

手が止まるのは、不安で頭が埋まっているからかもしれない

ここまでの手順をそろえても手が動かない子がいます。問題を見た瞬間に体がこわばり、簡単な計算まで間違える。足りないのは技術ではなく考えるための余白です。

Ashcraft. Working memory, math performance, and math anxiety. Psychonomic Bulletin & Review. 2007;14(2):243-248.

アシュクラフト（Ashcraft）とクラウス（Krause）は、数学不安が強い状態は別の課題を同時にやらされている状態と似ていると述べています。不安に注意が向いている分だけ作業記憶が食われる。だから普段なら解ける問題で手が止まります。

対処として報告されているのが、試験直前に不安を書き出す方法です。

Ramirez. Writing about testing worries boosts exam performance in the classroom. Science. 2011;331(6014):211-213.

ラミレス（Ramirez）とベイロック（Beilock）は、試験直前にこれから受ける試験への考えや気持ちを短時間書かせる介入を、実験室と実際の教室で試しました。成績が改善し、とくに普段から試験で不安が強い生徒で効果が大きかったと報告されています。家庭で行うならこうです。

1. テストや模試が始まる直前の8分を確保する。
2. 白紙に、これから受ける試験について今感じていることを、文章の形で書く。うまく書こうとしない。
3. 誰にも見せない。書いた紙は折ってしまう、あるいは捨ててよい。
4. 書き終えたら、そのまま試験に入る。

ただし常に効くわけではありません。マイヤーズ（Myers）らは大学の授業で実際の試験4回にわたり同様の介入を試しましたが、試験不安も成績も改善しませんでした。数分で終わり費用もかからないので試す価値はありますが、これだけに頼る計画は立てないでください。

もうひとつは、かける言葉を変えることです。「私も苦手だった」は共感のつもりでも不安を強める方向に働くことがあります。代わりに手順を指します。「今どこで止まってる？ 読めてない、方針がない、式が書けない、計算、検算のどれ？」——不安の話をせずに作業へ戻す問いです。

学年別の手順

小学生（算数）

紙を1行ずつずらす作業は負担が大きいので大人が横で行います。音読は省略しないでください。読めていないのに方針を考えようとして止まる例が、この年代では最も多く見られます。粘る3分のあいだ手が止まっていても叱らないこと。叱ると翌日から白紙を見せなくなり、どこで止まったかが分からなくなります。

中学生

自分でタイマーを押し、自分で紙をずらす形に移します。決定的なのは、解き直しノートを本人が管理できるかどうか。週2回、各30分でも回ります。証明で止まる場合は、結論から逆向きに1行だけ書く練習を入れます。「この三角形が合同だと言えれば終わる」と先に書き、そのために何が要るかを探します。

高校生

例題を開く前に自分の方針を2行書くところから始めます。書かずに開くと、読んだだけで理解した気になりやすい年代です。書いた方針と解答の方針が違ったとき、その差が最も学べる場所になります。粘る10分を過ぎたら「今日は保留」にして次へ進む判断も必要です。1問に60分かけて解けても、その60分で他の分野に触れられなかった損失のほうが大きい場面があります。

この記事で言えないこと

ここに書いた時間の目安——3分、5分、10分、8分、20分——は、研究が定めた最適値ではありません。何分が最適かを決めた研究をこの記事は示していません。家庭で運用できる粒度に落とすための目安として読んでください。

効果の大きさにも幅があります。g = 0.55 は多くの研究をならした平均で、効果が見られなかった研究も含みます。ホッズらの d = 0.950 は大学生の証明理解という限定された場面の値で、中学生の計算練習にそのまま当てはまるとは言えません。内容の性質によって有効な順序も変わります。

不安への介入には効かなかった報告もある通りです。強い不安が長く続き学習以外の場面にも及ぶ場合は、手順の工夫より専門家への相談が先です。この記事は成績の向上を約束しません。また、ここに書いた手順はどれも本人が手を動かすことを前提にしています。

当塾の立場

この記事の手順は、塾に来なくても家庭でできます。要るのはタイマーと白い紙1枚と、解答のある問題集だけ。紙を1行ずつずらす、なぜその行が出てくるかを声に出す、翌日もう一度解く——この3つで、止まっている時間はかなり減ります。まずご家庭で試してください。

うまくいかないとすれば、たいてい次の2つです。ひとつは、どこで止まっているかの切り分けを本人ができないこと。読めていないのか方針がないのかは本人には区別しにくい。もうひとつは、自己説明の3番目の問い（なぜ今それをしたのか）に答えられなかったとき、その先を誰も埋められないことです。解答にはその行を選んだ理由まで書いてありません。

武蔵野個別指導塾では、この2つを人が担います。手が止まった瞬間を見て5つのどれかを言葉にして返し、解答に書かれていない「なぜ今その手を選ぶのか」をその場で言葉にします。個別指導の形をとっているのは、止まる場所が生徒ごとに違うからです。

関連する研究の解説

• 数学が「解法の暗記」で止まる理由——考えるとは何をすることか — なぜ手が止まるのかという背景の研究。この記事の手順が前提にする考え方を扱っています。
• 数学の概念理解と手続き習熟——どちらが先かという問いの誤り — 関数の節で触れた往復の話を、研究の側から解説しています。
• 数学不安は成績を下げるのか——相関の大きさ、因果の向き、介入の再現性 — 不安の節の背景。因果の向きと介入の再現性を整理しています。

出典

1. Sweller J, Cooper GA. The Use of Worked Examples as a Substitute for Problem Solving in Learning Algebra. Cognition and Instruction. 1985;2(1):59-89.
2. Renkl A, Atkinson RK. Structuring the Transition From Example Study to Problem Solving in Cognitive Skill Acquisition: A Cognitive Load Perspective. Educational Psychologist. 2003;38(1):15-22.
3. Chen O, Retnowati E, Kalyuga S. Element interactivity as a factor influencing the effectiveness of worked example-problem solving and problem solving-worked example sequences. British Journal of Educational Psychology. 2020;90(S1):210-223.
4. Bisra K, Liu Q, Nesbit JC, Salimi F, Winne PH. Inducing Self-Explanation: a Meta-Analysis. Educational Psychology Review. 2018;30(3):703-725.
5. Hodds M, Alcock L, Inglis M. Self-Explanation Training Improves Proof Comprehension. Journal for Research in Mathematics Education. 2014;45(1):62-101.
6. Rittle-Johnson B, Siegler RS, Alibali MW. Developing conceptual understanding and procedural skill in mathematics: An iterative process. Journal of Educational Psychology. 2001;93(2):346-362.
7. Kapur M. Productive Failure in Learning Math. Cognitive Science. 2014;38(5):1008-1022.
8. Fuchs LS, Fuchs D, Prentice K, Hamlett CL, Finelli R, Courey SJ. Enhancing mathematical problem solving among third-grade students with schema-based instruction. Journal of Educational Psychology. 2004;96(4):635-647.
9. Du X, Zhang Q. Tracing worked examples: effects on learning in geometry. Educational Psychology. 2019;39(2):169-187.
10. Ashcraft MH, Krause JA. Working memory, math performance, and math anxiety. Psychonomic Bulletin & Review. 2007;14(2):243-248.
11. Ramirez G, Beilock SL. Writing about testing worries boosts exam performance in the classroom. Science. 2011;331(6014):211-213.
12. Myers SJ, Davis SD, Chan JCK. Does expressive writing or an instructional intervention reduce the impacts of test anxiety in a college classroom? Cognitive Research: Principles and Implications. 2021;6(1):44.