【中学受験算数】仕事算とニュートン算を図解で総まとめ—全体を 1 とする・1 日の仕事量・増えながら減る｜武蔵野個別指導塾

全体を1とする仕事算から、最小公倍数を使う解き方、途中交代、流入が続く水そうの問題まで、3枚の図と例題で学びます。残りの量と1日あたりの量をそろえ、家庭でも式の意味を確かめられます。

よくあるのは、コンビニのイートインでお子さまが算数のノートを開き、「1人なら6日、もう1人なら12日。2人なら間の9日かな」と手を止める場面です。人数が増えたのに、速い人が1人で行う6日より長くなってしまいます。ここで困っているのは、たし算やわり算の計算そのものではありません。「何日かかるか」という数から、「1日にどれだけ進むか」という数へ、見方を変えるところです。

仕事算では、同じ仕事を何人かで進めるときの時間を求めます。荷物を運ぶ、部品を仕上げる、水をくみ出すなど、題材が違っても考える順番は共通です。全体の大きさを決め、同じ時間にできる量をそろえ、残りの量を調べます。この順番がつかめると、途中で働く人が変わる問題も、一つずつ区切って解けます。

さらに、水をくみ出している間にも水が流れ込む問題では、「取り出した量」と「実際に減った量」を区別します。これがニュートン算の入口です。難しそうな名前を先に覚えるよりも、ノートに書いた数が何を表すのかを言葉にするところから始めましょう。

この単元で身につけること

• 仕事全体を1とみなします。実際の個数が書かれていなくても、仕事全部を一つのまとまりとして扱えば、1日に終える割合を分数で表せます。
• 1日あたりの仕事量を求めます。6日で終わる人なら1日分は全体の1/6です。日数そのものと、1日にできる量を区別して読み取ります。
• 最小公倍数を使って量を整数にそろえます。全体を12や24などに置き換えると、分数で計算した関係を、同じ大きさの区切りで確かめられます。
• 人が変わる場面を時間の順に分けます。「先に終えた量」「残っている量」「その後の1日分」の3つを分けると、途中交代でも式を立てやすくなります。
• 増え続ける量を差し引いて考えます。ニュートン算では、1日に取り除く量から1日に増える量を引き、実際に減る量を使います。

これまで学んだ分数のたし算・わり算や、「全体の量 ÷ 1つ分の量」でいくつ分かを求める考え方につながる単元です。計算を急ぐ前に、仕事全体と1日分を同じものさしで表すことが、どの解き方にも必要になります。

基本の考え方

「全体を1」は、仕事を丸ごと一つと見ることです

仕事の量が具体的に書かれていないときでも、「この仕事を全部終えること」を1と決められます。これは、荷物が1個だけあるという意味ではありません。何個あるかわからない荷物でも、運ぶべき荷物全部を一つのまとまりにする、という意味です。半分運び終われば1/2、全部運び終われば1になります。

Aさんが1人で6日かかるなら、毎日同じ量ずつ仕事をするとき、1日分は 1 ÷ 6 = 1/6 です。Bさんが1人で12日かかるなら、1日分は 1 ÷ 12 = 1/12 です。日数の長いBさんのほうが、1日分は小さくなります。この大小の関係を、計算を始める前に確かめておきます。

2人が一緒に働き、それぞれの仕事の進み方が変わらないなら、1日にできる量をたせます。1/6 + 1/12 = 2/12 + 1/12 = 3/12 = 1/4 です。2人で1日に全体の1/4を終えるので、全部終えるには 1 ÷ 1/4 = 4 で4日かかります。たしたのは日数ではなく、同じ1日の間に終わる仕事の量です。

この種類の問題では、特に条件がなければ、各人は同じ調子で働き、一緒に働いても互いの作業を妨げないものとして考えます。休む日や作業量の変化が書かれていれば、その条件に合わせて区間を分けます。現実の作業について思いつく事情を付け加えるのではなく、問題に書かれた条件をそろえて考えることが大切です。

全体を最小公倍数にすると、1日分が整数になります

分数の意味がつかめても、通分で手が止まることがあります。そのときは、仕事全体を6と12の最小公倍数である12と置いてみます。全体を12個の同じ大きさの区切りに分けたと考えると、Aさんは1日に2区切り、Bさんは1日に1区切りを終えます。2人で1日に3区切り進むので、12 ÷ 3 = 4 で、同じ4日になります。

図1のように、全体の帯を12等分すると、1/6と1/12の大きさを同じ区切りで比べられます。下の帯はどれも1日分を表し、Aさんの2区切りとBさんの1区切りを合わせた長さが、2人の3区切りになっています。

図1では、帯の長さが仕事の量に対応しています。Aさんの1日分はBさんの2倍ですが、終えるのにかかる日数は半分です。同じ仕事なら、1日分が多い人ほど短い日数で終わるという関係を、長さでも確かめられます。

12という数は、問題にない荷物の個数を勝手に決めたものではありません。仕事の量を表すための、こちらで選んだものさしです。全体を24にしても、Aさんは1日4、Bさんは1日2となり、24 ÷ (4 + 2) = 4 です。全体も1日分も同じ割合で大きくなるので、日数は変わりません。ただし、最小公倍数を選ぶと数が小さく、計算を整理しやすくなります。

量を求める式と、時間を求める式を使い分けます

仕事をどれだけ終えたか知りたいときは、「1日あたりの仕事量 × 日数」を計算します。何日かかるか知りたいときは、「残っている仕事量 ÷ 1日あたりの仕事量」を計算します。仕事全体を1にしても整数にしても、この順番は同じです。1日分が3で残りが12なら、3が何日分入るかを求めるので、12 ÷ 3 とします。

ここで使う「1日」は、問題の中の仕事をする1日分です。4.8日という結果は、4日と1日分の0.8を表します。1日に何時間働くかが示されていなければ、残りの0.8日分を何時間とするかは決めません。単に24をかけると、仕事をする時間と時計の時間を混ぜてしまうことがあります。

家庭で説明するときは、「今日1日で終わる分を、同じ大きさの区切りで並べてみよう」と声をかけると、式の前に考える対象をそろえられます。お子さまが1/6を見て困っていたら、「全部を6日で同じ量ずつ分けた、1日分だね」と分数の意味まで戻します。式を暗記するより、分数の分母が何を表しているかを確かめるほうが、条件が変わった問題にもつながります。

例題で解き方を確かめる

例題1　全体を1として、2人でかかる日数を求める

ある仕事を、Aさん1人では6日、Bさん1人では12日で終えます。2人が初めから一緒に働くと、何日で終わりますか。それぞれの1日あたりの仕事量は一定で、一緒に働いても変わりません。

1. 仕事全体を1とします。具体的な仕事の個数がなくても、全部に対する割合でそろえられるからです。Aさんの1日分は1/6、Bさんの1日分は1/12です。
2. 同じ1日分を合わせます。2人が同時に働くので、1/6 + 1/12 = 2/12 + 1/12 = 1/4 です。ここで求めた数は日数ではなく、1日に終わる割合です。
3. 全体が何日分かを求めます。1日分が1/4なので、1 ÷ 1/4 = 4 と計算します。4日分を合わせれば、ちょうど全体になります。

答え：4日です。

確かめると、4日間でAさんは 1/6 × 4 = 2/3、Bさんは 1/12 × 4 = 1/3 を終えています。2/3 + 1/3 = 1 なので、余りも不足もありません。日数がAさん1人の6日より短いことも、条件に合っています。「2人だから6日の半分」とはできません。Bさんの1日分はAさんより小さく、同じ速さの2人ではないからです。

例題2　全体を最小公倍数にして求める

ある仕事を、Aさん1人では8日、Bさん1人では12日で終えます。2人が初めから一緒に働くと、何日で終わりますか。それぞれ一定の量ずつ働くものとします。

1. 全体の仕事量を24とします。8と12の最小公倍数を使うと、どちらの1日分も整数で表せるからです。Aさんは 24 ÷ 8 = 3、Bさんは 24 ÷ 12 = 2 になります。
2. 2人の1日分を求めます。同じものさしで表しているので、3 + 2 = 5 とたせます。1日で全体のうち5だけ進むという意味です。
3. 全体を1日分で割ります。24 ÷ 5 = 4.8 なので、4日働いたあと、さらに1日分の0.8だけ働けば終わります。

答え：4.8日です。

4日間では 5 × 4 = 20 だけ終わり、残りは 24 − 20 = 4 です。その残りに 4 ÷ 5 = 0.8 日かかるので、4.8日という結果を別の区切り方でも確かめられます。「5日目に終わる」という表現と「5日かかる」という表現は同じではありません。必要な作業時間を日数で尋ねられたときは、途中の0.8日分まで答えます。

例題3　最初は1人、途中から2人で働く

ある仕事を、Aさん1人では10日、Bさん1人では15日で終えます。まずAさんが1人で2日働き、その後はAさんとBさんが一緒に働きます。仕事を始めてから全部終わるまで、何日かかりますか。各人の1日分は途中でも変わりません。

1. 全体を30と置きます。10と15の最小公倍数を使うと、Aさんの1日分は 30 ÷ 10 = 3、Bさんの1日分は 30 ÷ 15 = 2 です。
2. 最初の2日間に終えた量を求めます。この間はAさんだけなので、3 × 2 = 6 です。仕事全体から引くと、残りは 30 − 6 = 24 になります。
3. 残りを2人で進める日数を求めます。その後の1日分は 3 + 2 = 5 なので、24 ÷ 5 = 4.8 日です。これは合流してからの日数です。
4. 最初の2日をたします。問題で聞かれているのは仕事を始めてからの期間なので、2 + 4.8 = 6.8 日です。

答え：仕事を始めてから6.8日です。

図2のように、全体の30を「最初に終えた6」と「その後に進める24」に分けると、割るべき量がはっきりします。下の帯はその後の1日分で、Aさんの3とBさんの2を合わせた5です。上下の帯は同じ縮尺なので、残りの24が1日分の5よりどれだけ大きいかも読み取れます。

図2で橙色の6まで再び2人に割り当てると、終えた仕事を二重に数えてしまいます。途中からの計算に入るときは、必ず残りから始めます。確かめとして、Aさんは全部で6.8日働き、Bさんは4.8日働くので、3 × 6.8 + 2 × 4.8 = 20.4 + 9.6 = 30 です。

例題4　水が流れ込み続ける水そうを空にする

同じ量の水が入った水そうについて調べました。毎分一定の量の水が流れ込み続ける状態で、同じポンプを6台使うと8分、4台使うと16分で初めて空になりました。ポンプ1台は毎分1 Lの水をくみ出します。どちらの場合も初めの水量と毎分の流入量は同じです。同じ条件で10台使うと、何分で初めて空になりますか。

1. それぞれの条件で、くみ出した水の合計を求めます。6台の場合は 6 × 8 = 48 L、4台の場合は 4 × 16 = 64 L です。この合計には初めの水だけでなく、くみ出している間に流れ込んだ水も含まれます。
2. くみ出した合計の差を求めます。初めの水量は同じなので、64 − 48 = 16 L は、長く作業した分だけ余計に流れ込んだ水です。かかった時間の差は 16 − 8 = 8 分です。
3. 毎分の流入量を求めます。8分間で余分に16 L流れ込んだので、16 ÷ 8 = 2 Lです。流入が一定だから、差の量を差の時間で割れます。
4. 初めの水量と10台のときの時間を求めます。8分間の流入量は 2 × 8 = 16 Lなので、初めの水は 48 − 16 = 32 Lです。10台では毎分10 Lくみ出して2 L流れ込むため、実際には毎分 10 − 2 = 8 L減ります。32 ÷ 8 = 4 分です。

答え：4分です。

このように、取り除く間にも量が増える問題がニュートン算です。名前が変わっても、最後は「初めの量 ÷ 1分あたりに実際に減る量」で時間を求めています。10台で4分なら、合計 10 × 4 = 40 Lをくみ出し、初めの32 Lと、その間に流れ込んだ 2 × 4 = 8 Lを合わせた40 Lに一致します。

ポンプの能力が具体的なLで示されていない場合は、1台が1分でくみ出す量を1と置いて考えられます。ただし、それを1 Lと呼んではいけません。仕事算で全体を30と置いたときと同じく、量を比べるための区切りであり、実際の体積がわかったわけではないからです。

つまずきやすいところと直し方

日数をたしたり平均したりしてしまう

誤った書き方は、例題1で (6 + 12) ÷ 2 = 9 日とすることです。6日と12日はそれぞれが仕事全部を終えるまでの時間であり、同じ時間内に進む量ではありません。平均しても2人の仕事量にはならず、Aさん1人より遅くなることからもおかしさに気づけます。

正しい書き方は、1/6 + 1/12 = 1/4、1 ÷ 1/4 = 4 日です。整数で考えるなら、全体12に対して1日分は2と1、12 ÷ (2 + 1) = 4 日とします。直すときは「たしてはいけない」とだけ伝えず、「たせるのは同じ1日分だね」と、たす対象を示します。お子さまが式の下に「1日分」と書ければ、日数との区別を確認できます。

途中からの1日分を、最初から使ってしまう

誤った書き方は、例題3で 30 ÷ (3 + 2) = 6 日とすることです。この式は初めから2人で働く場合を表しています。最初の2日間にBさんがいない条件が、式から抜けています。さらに、残りを割って求めた4.8日だけを答えにすると、今度は最初の2日間が答えから抜けます。

正しい書き方は、(30 − 3 × 2) ÷ (3 + 2) = 4.8 日、2 + 4.8 = 6.8 日です。一つの式で混乱するときは、「最初」「残り」「その後」「全部」の順に1行ずつ書きます。最初の2日間で求めるのは仕事の量、その後に求めるのは日数です。数の横に意味を添えると、6と2を同じ種類の数として扱う誤りを防げます。

くみ出した総量を、初めの水量だと思ってしまう

誤った書き方は、例題4で「6台で8分だから初めの水は48 L、10台なら 48 ÷ 10 = 4.8 分」とすることです。48 Lには、作業中の8分間に流れ込んだ水も含まれています。また、10台に増やしても流入は止まらないので、毎分10 Lずつ水そうの水が減るわけではありません。

図3のように、取り出した合計を「初めの水」と「途中で入った水」に分けます。紺色の部分は同じ32 Lで、緑色の部分だけが流入した時間に応じて変わります。上の緑色は8分間で16 L、下の緑色は16分間で32 Lです。帯の右端の差16 Lが、余分な8分間の流入量に対応します。

図3で同じ長さの紺色の部分をそろえることが、差を取る理由です。正しい書き方は、流入量が (64 − 48) ÷ (16 − 8) = 2 L毎分、初めの水量が 48 − 2 × 8 = 32 L、求める時間が 32 ÷ (10 − 2) = 4 分です。流入量を求めるときの「2」は水そう全体への流入量なので、ポンプの台数をかけません。

なお、この条件で2台だけ使うと、毎分2 Lくみ出す一方で毎分2 L流れ込みます。初めに水があれば、その量は減らず、空にはなりません。1台なら流入のほうが多くなります。時間を割り算で求める前に、くみ出す量が流れ込む量を上回っているかを確かめる必要があります。「台数を減らせばいつでも長い時間をかけて空にできる」とは限らない点が、普通の仕事算との違いです。

ここで手が止まるなら、止まった単元まで一緒に戻ります。学年別個別指導コース／お問い合わせ

練習問題

それぞれ、全体をいくつと置いたか、1日分または1分分がいくつかを、答えと一緒に書いてみましょう。途中で人が変わる問題では、働いた期間を分けて書きます。ニュートン算では、くみ出した総量と初めの水量に別々の名前を付けます。各人・各ポンプの能力は一定で、同時に働いても変わらないものとします。

練習1

ある仕事はAさん1人なら9日、Bさん1人なら18日で終わります。2人が初めから一緒に働くと、何日かかりますか。全体を1とする方法か、18とする方法を選んで解いてください。

練習2

ある仕事はAさん1人なら12日、Bさん1人なら18日で終わります。最初にAさんが1人で2日働き、その後はAさんが休み、Bさんだけで残りを進めました。仕事を始めてから全部終わるまで、何日かかりますか。

練習3

ある仕事はAさん1人なら10日、Bさん1人なら15日で終わります。最初に2人で3日働き、その後はBさんが休み、Aさんだけで残りを終えました。仕事を始めてから全部終わるまで、何日かかりますか。

練習4

水が一定の量ずつ流れ込み続ける水そうがあります。毎分1 Lずつくみ出す同じポンプを7台使うと6分、5台使うと10分で初めて空になります。初めの水量と毎分の流入量は、どちらの場合も同じです。同じ条件で8台使うと、何分で初めて空になりますか。

答えと解説

練習1の答えは6日です。全体を18とすると、Aさんは1日2、Bさんは1日1なので、18 ÷ (2 + 1) = 6 日です。全体を1にするなら、1/9 + 1/18 = 1/6、1 ÷ 1/6 = 6 日となります。6日間に終える量はAさんが12、Bさんが6で、合計18になることも確かめられます。

練習2の答えは17日です。全体を36とすると、Aさんの1日分は3、Bさんの1日分は2です。最初に 3 × 2 = 6 終わり、残りは 36 − 6 = 30 です。その後はBさんだけなので、30 ÷ 2 = 15 日かかります。最初の2日をたし、2 + 15 = 17 日です。「その後」の1日分を5にしないようにします。

練習3の答えは8日です。全体を30とすると、2人の1日分は 3 + 2 = 5 です。最初の3日間に 5 × 3 = 15 終わり、残りは 30 − 15 = 15 です。Aさんだけの1日分は3なので、15 ÷ 3 = 5 日かかり、3 + 5 = 8 日です。Aさんは8日、Bさんは3日働くため、3 × 8 + 2 × 3 = 30 でも確認できます。

練習4の答えは5分です。くみ出した合計は 7 × 6 = 42 Lと 5 × 10 = 50 Lです。余分な 10 − 6 = 4 分間に、50 − 42 = 8 L流れ込んだので、毎分の流入量は 8 ÷ 4 = 2 Lです。初めの水量は 42 − 2 × 6 = 30 L、8台で実際に減る量は毎分 8 − 2 = 6 Lです。30 ÷ 6 = 5 分となり、くみ出す40 Lが初めの30 Lと流入する10 Lの合計に一致します。

次の単元へのつながりと家庭での確かめ方

仕事算の「1日あたりの量」は、速さの問題の「1時間あたりの道のり」と同じ役割を持ちます。ニュートン算で増える量と減らす量の差を使う考え方は、水そうの水量の変化を読む問題につながります。異なる題材でも、全体の量と単位時間あたりの量を区別できれば、どちらを割るのかを判断しやすくなります。

家庭で5分ほど確かめるなら、まず紙に12個の同じ大きさの四角を描きます。「1日に2個進む人」と「1日に1個進む人」の分を別の色で塗り、2人で何日かかるかを確かめます。答えの4日が出たら、「6日と12日をたすのではなく、何をたしたのかな」と尋ねます。1日に進む量をたしたと説明できれば、式の意味をつかめています。

もう一つは、紙に丸を6個描き、1回ごとに2個を消して1個を加える操作です。「消したのは2個なのに、残りは何個減ったかな」と確かめます。この操作を毎回の変化として見ると、取り除く量と実際に減る量の違いを説明できます。水そうでは流入とくみ出しが続きますが、この紙の操作では一つの時間分をまとめて表しています。

個別指導で確かめるときも、まず全体を等分する分数の意味、次に量をそろえてたすところへ戻ります。計算ができても答えの単位が定まらない場合は、「今求めたのは仕事の量か、かかった時間か」を各行で言葉にして確かめます。

まとめ

6日、12日という数字だけを追っていたノートに「1日分」と書き足すと、たせる量が見えてきます。途中交代なら、終えた仕事を全体から取り分けます。流入が続く水そうなら、取り出した合計の中に、途中で入った水の分を見つけます。どれも、数字の意味を失わずに最後まで運ぶための整理です。

お子さまが答えを出したあと、「この4は何を4つ集めた数なのか」「この差は何が増えた分なのか」まで説明できれば、別の条件でも考え直せます。仕事算とニュートン算を分ける境目は、取り除いた量と実際に減った量が同じかどうかです。