【中学受験算数】倍数と約数の応用を図解で総まとめ—最大公約数 最小公倍数の文章題・ベン図・約数の個数｜武蔵野個別指導塾

等分と周期の文章題から最大公約数・最小公倍数を選び、ベン図で重なりを数えます。約数の個数を求める表や分数の約分も、例題と練習問題で確かめられます。

よくあるのは、学校のテスト前の自習室の白板の前で、お子さまが「最大公約数と最小公倍数は計算できるのに、この文章題ではどちらを使うのかな」と手を止める場面です。「できるだけ大きく」と書いてあれば最大公約数、「いちばん小さく」と書いてあれば最小公倍数、と言葉だけを手がかりにすると、袋の数を求める問題や、同時に鳴る時刻を求める問題で迷ってしまいます。

出発点は、求めたい数が「もとの数をわり切る数」なのか、「もとの数を何倍かした数」なのかを確かめることです。わり算の向きを決められると、計算の方法にも理由がつきます。さらに、倍数どうしの重なりを図で分けたり、約数をかけ算の組み合わせで並べたりすると、数え落としを防げます。ここでは、数を並べて確かめるところから、文章題、個数の数え方、分数とのつながりへ順に進みます。

この単元で身につけること

• 倍数と約数を、かけ算とわり算で説明します。名前だけを覚えるのではなく、「24 は 6 の倍数」「6 は 24 の約数」という両方向の言い方を確かめます。
• 最大公約数と最小公倍数を、文章の意味から選びます。同じ数ずつ余りなく分けるのか、くり返しがそろうところを探すのかを区別します。
• ベン図で「両方」「片方だけ」「どちらでもない」を分けます。2 つの倍数の個数を足したとき、重なりを何回数えたかが見えるようにします。
• 約数を、対になるかけ算や素数の組み合わせから求めます。約数そのものを求める問題と、約数が何個あるかを求める問題を区別します。
• 約分には公約数、通分には公倍数を使います。分数の大きさを変えずに数の表し方を整える操作として理解します。

前に学んだ九九、かけ算、あまりのあるわり算が、この単元の土台です。計算に不安があるときは、大きな数の処理に進む前に、12 個を同じ数ずつ分けるような小さな数に戻って関係を確かめます。

基本の考え方

倍数は増やして作り、約数はわり切れるかで調べます

6 を 1 倍、2 倍、3 倍、…した 6、12、18、…が 6 の倍数です。倍数は、その数を何個分か集めた数と考えられます。この解説では、倍数を小さい順に並べるときは 0 を含めず、正の整数を扱います。時刻の問題で使う「開始から 0 分」は、最初の出来事を表す別の印です。

一方、12 をわり切る正の整数は 1、2、3、4、6、12 です。これらを 12 の約数といいます。12 ÷ 3 = 4 であまりがないことと、3 × 4 = 12 であることは、同じ関係を別の計算で表しています。約数を探すときは、1 × 12、2 × 6、3 × 4 のように、積が 12 になる組を作ると整理できます。

倍数は先へいくらでも続きますが、ある正の整数の約数はその整数より大きくなりません。また、1 はどの正の整数の約数でもあります。「約数はその数より小さい」とだけ覚えると、12 の約数から 12 自身を落としてしまうので、「その数以下」と確かめておきます。

2 つ以上の数に共通する約数が公約数で、その中でいちばん大きいものが最大公約数です。18 の約数は 1、2、3、6、9、18、24 の約数は 1、2、3、4、6、8、12、24 なので、公約数は 1、2、3、6、最大公約数は 6 です。共通する倍数は公倍数で、その中でいちばん小さい正の数が最小公倍数です。18 の倍数と 24 の倍数を並べると、最初にそろうのは 72 です。

「何でわるか」と「何の倍になるか」を考えます

たて 24 cm、横 36 cm の長方形を、切ったり重ねたりせず、同じ大きさの正方形の紙で敷き詰めるとします。辺に沿って正方形を並べるためには、1 辺の長さで 24 と 36 の両方をわり切れなければなりません。1 辺を整数の cm で考えると、候補は公約数の 1、2、3、4、6、12 です。いちばん大きい正方形なら、1 辺は最大公約数の 12 cm になります。

図1のように、横には 36 ÷ 12 = 3 枚、たてには 24 ÷ 12 = 2 枚が並び、全部で 3 × 2 = 6 枚です。図の正方形の辺はすべて同じ長さです。最大公約数を求めたあとも、問題が聞いているのが「1 辺の長さ」なのか「紙の枚数」なのかで、最後の答えが変わります。

これに対して、6 分ごとと 8 分ごとに鳴るベルが今同時に鳴った場合、次にそろうまでの時間は 6 分の何回分かであり、8 分の何回分かでもあります。6、12、18、24、…と 8、16、24、…が最初にそろうので、24 分後です。この場合は、経過時間が両方の数の倍数になるため、最小公倍数を使います。

保護者がお子さまに声をかけるなら、「その答えで、もとの数をわるのかな。それとも、その答えがもとの数の何倍かになるのかな」と尋ねてみてください。「大きい」「小さい」という言葉を探す前に、計算の関係を言葉にできます。答えの単位まで添えて話すと、人数、個数、時間の取り違えも見つけやすくなります。

素数に分けると、約数と倍数のつながりが見えます

1 と自分自身のほかに約数をもたない、1 より大きい整数を素数といいます。2、3、5、7 などが素数です。1 は約数が 1 個だけなので素数には含めません。ここでは、数を素数のかけ算に分けて考えます。たとえば 18 = 2 × 3 × 3、24 = 2 × 2 × 2 × 3 です。

両方に共通して取り出せるのは、2 が 1 個と 3 が 1 個です。したがって、最大公約数は 2 × 3 = 6 です。最小公倍数を作るには、どちらの数でもわり切れるように、2 を 3 個と 3 を 2 個そろえます。2 × 2 × 2 × 3 × 3 = 72 になります。同じ素数について、最大公約数では個数の少ないほうまで、最小公倍数では多いほうまでそろえるのが理由です。

共通部分を考えずに 18 × 24 = 432 としても公倍数にはなりますが、最小とは限りません。2 つの正の整数では、積を最大公約数でわると最小公倍数になります。ここでは 18 × 24 ÷ 6 = 72 です。積の中に共通部分が重複しているため、それを 1 組分にする計算だと考えると納得できます。この関係を、3 つの数の積にそのまま当てはめないようにします。

分数にも同じ見方が使えます。18/24 の分子と分母を最大公約数の 6 でわると、3/4 になります。途中で 2 や 3 でわってもよいですが、最大公約数を使えば一度で約分できます。約分では分子と分母を必ず同じ数でわり、分数の大きさを保ちます。

また、1/6 と 1/8 を足すときは、分母を公倍数にそろえます。最小公倍数の 24 を使うと、1/6 = 4/24、1/8 = 3/24 なので、和は 7/24 です。分母だけを変えるのではなく、分子も同じ数倍にします。約分は共通のまとまりで小さく表し直す操作、通分は共通の細かさで表し直す操作です。

例題で解き方を確かめる

例題1　同じ中身の袋をできるだけ多く作ります

赤い玉が 36 個、青い玉が 48 個あります。すべての玉を使い、どの袋にも赤い玉を同じ数ずつ、青い玉も同じ数ずつ入れます。袋をできるだけ多く作ると、何袋できますか。また、1 袋に各色の玉が何個入りますか。

1. 袋の数で 36 と 48 の両方をわると考えます。同じ色の玉を各袋に同数ずつ入れ、余りを出さないため、袋の数は 36 と 48 の公約数です。
2. 36 の約数から、48 もわり切れるものを選びます。共通するのは 1、2、3、4、6、12 で、いちばん多い袋の数は 12 袋です。「できるだけ多く」でも、求めるのは最大公約数になります。
3. 1 袋分を求めます。赤は 36 ÷ 12 = 3、青は 48 ÷ 12 = 4 です。袋の数と袋の中身は別の量なので、最後まで問いに合わせて計算します。
4. 全体に戻して確かめます。赤は 3 × 12 = 36、青は 4 × 12 = 48 となり、どちらも余りません。13 袋以上に増やせないことは、12 が最大の公約数であることから判断できます。

答え：12 袋でき、1 袋には赤い玉が 3 個、青い玉が 4 個入ります。

この問題では、1 袋の赤と青が同じ個数である必要はありません。「どの袋も同じ中身」と「袋の中の各色が同じ個数」は違う条件です。読み違えたときは、袋を 2 つだけ描き、それぞれに赤 3 個、青 4 個を入れて、どことどこを比べているのか確かめます。

例題2　同時に鳴る時刻と回数を求めます

ベル A は 8 分ごと、ベル B は 12 分ごとに鳴ります。午前 9 時に同時に鳴りました。次に同時に鳴るのは何時何分ですか。また、午前 9 時から午前 11 時までに、両端の時刻を含めて何回同時に鳴りますか。

1. 9 時からの経過時間を並べます。A は 8、16、24、…分後、B は 12、24、36、…分後なので、最初に一致するのは 24 分後です。共通する経過時間を探すため、最小公倍数を使います。
2. 時刻に直します。9 時の 24 分後なので、次は 9 時 24 分です。24 という数だけで答えず、経過時間と時計の時刻を区別します。
3. 調べる時間の長さを分にそろえます。9 時から 11 時までは 2 時間で、120 分です。120 ÷ 24 = 5 なので、同時に鳴ってから次に同時に鳴るまでの間が 5 つあります。
4. 最初の 9 時の 1 回を加えます。経過時間は 0、24、48、72、96、120 分の 6 つです。開始時刻も数えるという条件があるので、5 + 1 = 6 回になります。

答え：次は午前 9 時 24 分で、午前 9 時から午前 11 時までは 6 回です。

最小公倍数でわった商は、まず「間が何個あるか」を表します。回数に直す際は、最初の出来事を含めるかを確認します。「9 時よりあと」と書かれていれば、9 時の 1 回は含めません。計算を変える前に、時刻を 1 行に並べて、数える端に印をつけるのが確実です。

例題3　2 種類の倍数をベン図で数えます

1 から 60 までの整数のうち、4 の倍数または 6 の倍数は何個ありますか。また、4 の倍数でも 6 の倍数でもない整数は何個ありますか。「または」には、両方の倍数である数も含めます。

1. それぞれの倍数の個数を求めます。4 の倍数は 60 ÷ 4 = 15 個、6 の倍数は 60 ÷ 6 = 10 個です。1 から数えているので、0 は入れません。
2. 両方の倍数を調べます。4 と 6 の最小公倍数は 12 なので、両方の倍数は 12、24、36、48、60 の 5 個です。2 つの条件を同時に満たす数が、図の重なりに入ります。
3. 重なりを 1 回分引きます。15 + 10 では 5 個を 2 回ずつ数えるため、15 + 10 − 5 = 20 個です。両方の倍数を消すのではなく、重複して数えた分だけを引きます。
4. どちらでもない数を求めます。全体は 60 個なので、60 − 20 = 40 個です。範囲の全体から、少なくとも片方の倍数である数を除きます。

図2のように、重なりの 5 個を先に入れると、左の「4 の倍数だけ」は 15 − 5 = 10 個、右の「6 の倍数だけ」は 10 − 5 = 5 個になります。円の中は 10 + 5 + 5 = 20 個です。この図では、円の面積で個数の比を表しているわけではありません。数がどの条件に属するかを、置く場所で示しています。

答え：4 の倍数または 6 の倍数は 20 個で、どちらの倍数でもない整数は 40 個です。

「どちらか一方だけ」と聞かれたら、重なりは数えず、10 + 5 = 15 個です。「または」と「一方だけ」の違いを、図のどの場所を数えるかで説明できます。また、上限が倍数でないときも考え方は同じです。1 から 59 までの 4 の倍数なら、59 ÷ 4 = 14 あまり 3 なので 14 個です。端数を四捨五入せず、最後まで入る倍数の個数として商を使います。

例題4　素数の組み合わせから約数の個数を求めます

72 の約数は全部で何個ありますか。すべての約数も、小さい順に書いてください。

1. 72 を素数のかけ算に分けます。72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 です。約数を作るために使えるのは、この中の 2 と 3 です。
2. 2 の使い方を並べます。使わない、1 個使う、2 個使う、3 個使うという 4 通りがあり、できる数は 1、2、4、8 です。使わない場合の数は 0 ではなく、かけ算に影響しない 1 とします。
3. 3 の使い方を並べます。使わない、1 個使う、2 個使うという 3 通りがあり、できる数は 1、3、9 です。それぞれに、2 から作った 4 通りを組み合わせられます。
4. 個数を計算して、実際の数でも確かめます。4 × 3 = 12 個です。3 を使わない列は 1、2、4、8、3 を 1 個使う列は 3、6、12、24、3 を 2 個使う列は 9、18、36、72 です。

答え：12 個で、小さい順に 1、2、3、4、6、8、9、12、18、24、36、72 です。

同じ素数どうしは区別しません。3 個の 2 のうち「どの 2 を選ぶか」ではなく、「2 を何個使うか」で数えます。別々の組み合わせから同じ約数が出ないのは、できた数を素数のかけ算に分けると、使った 2 と 3 の個数が決まるためです。かけ算で個数を求める前に、この対応を確かめておくと、機械的な暗記になりません。

つまずきやすいところと直し方

誤り1　数をかけたら、いつも最小公倍数になると考えます

誤った書き方は、「8 と 12 の最小公倍数は 8 × 12 = 96」です。96 は両方でわり切れるので公倍数ではありますが、いちばん小さいことを確かめていません。8 と 12 には共通する約数があり、単純にかけると必要な共通部分まで重ねて用意してしまいます。

正しい書き方は、「8 = 2 × 2 × 2、12 = 2 × 2 × 3 なので、最小公倍数は 2 × 2 × 2 × 3 = 24」です。最大公約数の 4 が求まっていれば、8 × 12 ÷ 4 = 24 と確かめることもできます。24 ÷ 8 = 3、24 ÷ 12 = 2 まで確認すると、答えが両方の倍数であることも見えます。

一方、最大公約数が 1 の 5 と 8 なら、最小公倍数は 5 × 8 = 40 です。「いつもかける」は誤りですが、「かけてはいけない」でもありません。共通して使える部分があるかどうかを確かめます。

誤り2　ベン図の重なりを、合計から2回引きます

例題3での誤った書き方は、「4 の倍数または 6 の倍数は 15 + 10 − 5 − 5 = 15 個」です。この式では、最初に 2 回数えた重なりを 2 回とも消しており、両方の倍数が残りません。求めたのは「どちらか一方だけ」の個数です。

正しい書き方は、「少なくとも片方の倍数なら 15 + 10 − 5 = 20 個」です。12 という数だけに注目すると、4 の倍数で 1 回、6 の倍数で 1 回数えています。そこから 1 回引けば、12 は 1 個として残ります。図2の重なりを指しながら、具体的な数 1 個を追うと、引く回数の意味がはっきりします。

図に数を書き込むときも、左の重なっていない部分へ 15 を入れないようにします。15 は左の円全体の個数です。重なりに 5 を書いたあと、残りを 10 とする順番にすると、同じ数を別の場所へ重ねて入れる誤りを防げます。

誤り3　約数を数えるとき、素数を使わない場合を落とします

誤った書き方は、「36 = 2 × 2 × 3 × 3 だから、約数は 2 × 2 = 4 個」です。2 も 3 も、1 個使う場合と 2 個使う場合しか数えていません。2 を使わずに作る 3 や 9、3 を使わずに作る 2 や 4、どちらも使わない 1 が抜けます。

正しい書き方は、「2 を使う個数は 0 個、1 個、2 個の 3 通り、3 も同じく 3 通りなので、3 × 3 = 9 個」です。図3のように、上に 1、2、4、左に 1、3、9 を並べ、それぞれをかけると 9 個の約数を漏れなく作れます。

図3の左上の答えは 1 × 1 = 1 です。「何も使わないから 0」としてしまうと、0 が約数に入ることになるので、わり切る数の意味とも合いません。ここでの 1 は、使わなかった素数の代わりに置いている、積を変えない数です。

別の方法でも確かめられます。36 を作る組は 1 × 36、2 × 18、3 × 12、4 × 9、6 × 6 です。最後の 6 は同じ約数なので 1 個として数え、2 + 2 + 2 + 2 + 1 = 9 個になります。積が同じ数どうしのかけ算になるところでは、左右を別々の約数として数えないことが大切です。

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練習問題

答えを計算する前に、何を公約数や公倍数として探すのかを、短い文で書いてみてください。数え上げの問題は、全体の範囲と重なりの意味を先に整理します。式だけで迷ったときは、例題と同じように、小さい数を実際に並べてから考えます。

練習1

鉛筆が 42 本、消しゴムが 70 個あります。どの袋にも鉛筆を同数ずつ、消しゴムも同数ずつ入れ、全部使います。袋をできるだけ多く作ると何袋でき、1 袋にそれぞれいくつ入りますか。また、同じ公約数を使って 42/70 を約分してください。

練習2

A のランプは 12 分ごと、B のランプは 18 分ごとに一瞬点灯します。午前 10 時に同時に点灯しました。次に同時に点灯する時刻を求めてください。また、午前 10 時から午前 11 時 48 分までに、両端を含めて何回同時に点灯しますか。

練習3

1 から 100 までの整数で、6 の倍数または 8 の倍数は何個ありますか。また、6 の倍数でも 8 の倍数でもない整数は何個ありますか。両方の倍数を最初に数えてから、ベン図の各部分を埋めてください。

練習4

90 の約数は全部で何個ありますか。素数のかけ算に分けて個数を求め、実際に約数をすべて書いて、数が合うかも確かめてください。

答えと解説

練習1の答えは、14 袋、1 袋に鉛筆 3 本と消しゴム 5 個、42/70 = 3/5 です。42 = 2 × 3 × 7、70 = 2 × 5 × 7 なので、最大公約数は 2 × 7 = 14 です。42 ÷ 14 = 3、70 ÷ 14 = 5 と計算します。袋の中身をそろえる計算と約分で、同じわり算を使っています。

練習2の答えは、午前 10 時 36 分、4 回です。12 = 2 × 2 × 3、18 = 2 × 3 × 3 なので、最小公倍数は 36 です。10 時から 11 時 48 分までは 108 分で、108 ÷ 36 = 3 つの間があります。開始を含めて 3 + 1 = 4 回です。経過時間 0、36、72、108 分を時刻に直すと、10 時、10 時 36 分、11 時 12 分、11 時 48 分になります。

練習3の答えは、24 個、76 個です。100 ÷ 6 = 16 あまり 4 なので 6 の倍数は 16 個、100 ÷ 8 = 12 あまり 4 なので 8 の倍数は 12 個です。最小公倍数は 24 で、共通する倍数は 24、48、72、96 の 4 個です。したがって、16 + 12 − 4 = 24 個、100 − 24 = 76 個になります。ベン図には、6 の倍数だけが 12 個、両方が 4 個、8 の倍数だけが 8 個と入ります。

練習4の答えは、12 個です。90 = 2 × 3 × 3 × 5 なので、2 を使う個数は 2 通り、3 は 3 通り、5 は 2 通りです。それぞれ使わない場合を含めて、2 × 3 × 2 = 12 個になります。約数を小さい順に並べると、1、2、3、5、6、9、10、15、18、30、45、90 です。1 × 90、2 × 45、3 × 30、5 × 18、6 × 15、9 × 10 の 6 組から数えても、12 個と確かめられます。

次の単元へのつながりと家庭での確かめ方

公倍数の見方は、くり返しがそろう周期の問題や、仕事全体の量を計算しやすく決める問題につながります。公約数は分数の約分だけでなく、比を簡単にする計算にも使います。ベン図で重なりを分ける方法は場合の数に、素数を使う個数を組み合わせる方法は、漏れや重複なく数える学習につながります。

家庭で 5 分ほど確かめるなら、まず「12 個と 18 個を同じ中身の袋に分ける」と「12 分ごとと 18 分ごとの出来事がそろう」を、続けて尋ねてみてください。前者は袋の数でわり、後者は経過時間が倍数になります。答えはそれぞれ最大 6 袋、次は 36 分後ですが、計算結果より「何をわるのか」を言えたかに注目します。

もう 1 つは、24 の約数をお子さまに並べてもらい、保護者が 1 つ選んで「相手の約数はどれかな」と尋ねる方法です。たとえば 3 の相手は 8 で、3 × 8 = 24 です。1 と 24、2 と 12、3 と 8、4 と 6 の 4 組がそろえば、約数が 8 個であることまで確かめられます。

個別指導で確認する際は、言葉の選び間違いなら実物を等分する場面まで、約数の見落としなら九九とかけ算の組まで戻ります。わり算の商は合っているのに回数だけ違う場合は、計算の練習を増やす前に、最初と最後を数える条件を確かめます。

まとめ

白板に数を書き始める前に、「この数でわる」「この数の倍を探す」と言えれば、文章と計算がつながります。答えが出たあとも、袋の中身から全体へ戻す、鳴る時刻を並べる、ベン図の各部分を足す、約数の組を作る、と問題に合った確かめ方を選べます。

計算が合っているのに答えが違うときは、数えたものの名前を式の横に書いてみてください。袋の数と中身、時間の間と回数、円全体と片方だけの部分を区別できます。倍数と約数の文章題は、わり算の向きと数える範囲が決まれば、使う計算にも理由がつきます。