【小4算数】分数を図解で総まとめ—真分数 仮分数 帯分数・同分母のたし算ひき算・大きさの等しい分数｜武蔵野個別指導塾

7/4と1 と 3/4を数の線で結び、帯分数のたし算とひき算を手順つきで確かめます。整数の1を分数に直す図や、1/2と2/4を比べる図を使って、家庭での声かけにも役立ててください。

よくあるのは、学校のテストの日、教室の入口でノートを見返し、「7/4と1 と 3/4は、どうして同じ数なの」と手が止まる場面です。分数は1より小さい数だと思っていると、分子のほうが大きい形や、整数がついた形に戸惑います。計算の手順を覚えていても、答えが1をこえたとたんに自信をなくすことがあります。

ここで頼りになるのは、分数の見た目ではなく、1/4が何こ集まっているかという見方です。1/4を4こ集めると1になり、7こなら1をつくっても3こ残ります。このまとまりを図で追うと、名前の違う分数も、同じ数を違う形で表していることが見えてきます。

分数の種類、表し方の直し方、数の線、たし算とひき算を順に確かめましょう。お子さまが途中で迷ったときに、どの図へ戻り、何を尋ねるとよいかも添えます。答えだけでなく「何の何こ分を数えているか」を話せることが、計算を支える土台です。

この単元で身につけること

• 真分数・仮分数・帯分数を見分けます。名前を覚えるだけでなく、1より小さいか、1以上かを判断する目安として使います。
• 仮分数を帯分数や整数に直します。分子を分母でわる意味を、1のまとまりがいくつできるかと結びつけます。帯分数から仮分数へ戻すことも確かめます。
• 数の線で分数の位置を読みます。0と1の間がいくつの等しい間に分かれているかを調べ、1をこえた位置も同じ幅で数えます。
• 分母が同じ分数のたし算とひき算をします。帯分数では、分数部分が1以上になる場合と、整数の1を分数に直してひく場合を扱います。
• 大きさの等しい分数を図で見つけます。区切り方が変わっても、ぬった部分の長さが変わらないことを確かめます。

これまでに学んだ「1を等しく分ける」という分数の意味と、わり算の商・あまりが、今回の学習につながります。多くの教科書では小4で分数の表し方を広げますが、名前を急いで覚える前に、同じ大きさの1を使って比べることを確かめておきましょう。

基本の考え方

分母は分け方、分子は何こ分かを表します

3/4は「四分の三」と読みます。下の4が分母、上の3が分子です。1を等しく4つに分けた1つ分が1/4で、その3こ分が3/4です。「4つに分けた」だけでは足りません。4つの大きさがそろっていることが必要です。

たとえば、1 mのテープを等しく4つに分けると、1つ分の長さは1/4 mです。その3つ分を並べた長さが3/4 mになります。分母は1つ分の大きさを決め、分子はその1つ分が何こあるかを知らせています。この役割を分けて考えると、後の計算で分母を変えない理由も説明できます。

また、「テープの1/2」と「1/2 m」は同じ言い方ではありません。前者はもとのテープの半分で、テープ全体の長さによって実際の長さが変わります。後者は1 mの半分という決まった長さです。図で分数を比べるときは、どこからどこまでを1としているかをそろえる必要があります。

家庭で紙の帯を使うなら、まず同じ長さの帯を用意します。片方だけ長い帯にすると、分数の表す数と、実際の紙の長さが混ざってしまいます。「この端からこの端までを1にしよう」と確認してから折ると、分け方に目を向けやすくなります。

真分数・仮分数・帯分数を1との関係で見ます

真分数は、分子が分母より小さい分数です。3/4や2/5が当てはまります。1/4が3こでは、1をつくるのに必要な4こに届かないので、3/4は1より小さい数です。

仮分数は、分子が分母と等しいか、分母より大きい分数です。4/4や7/4が当てはまります。4/4はちょうど1、7/4は1より大きい数です。「仮分数は1より大きい」とだけ覚えると、4/4を見落とします。1と等しい分数も含めて、1以上と捉えます。

帯分数は、整数と真分数を合わせて表した数です。1 と 3/4は、1と3/4を合わせた数を表します。「一と四分の三」と読み、1に3/4をたした大きさです。整数と分数をかけるという意味ではありません。

7/4を1 と 3/4に直しても、数の大きさは変わりません。1/4が7こあるものを、4このまとまり1つと、残りの3こに分けて見ているからです。反対に、1 と 3/4の1を4/4に直すと、1/4は全部で7こになります。

図1のように数の線に置くと、表し方と大きさを一緒に確かめられます。上の帯も下の数の線も、0から1までを等しく4つに分けています。色のついた帯は0から7/4まで伸びています。

図1では、7/4と1 と 3/4が同じ点を指します。一方、3/4の点は1より左にあります。真分数や仮分数という名前は書かれた形の種類で、数の線上の位置はその数の大きさです。1つの点に2つの表し方がつくことを、指で確かめてみてください。

数の線は線の本数ではなく間を数えます

数の線を読むときは、最初に0と1を探します。その間が4等分なら、隣り合う目盛りの間は1/4です。0、1/4、2/4、3/4、1と進みます。0の目盛りも入れると線は5本ありますが、間は4つです。分母を決めるのは、この間の数です。

1をこえても、1目盛り分の大きさは変わりません。1の次は5/4、その次は6/4、その次が7/4です。1を通過したところで分母を変えたり、最初の1を忘れて3/4と読んだりしないようにします。0からの間を通して数える方法と、1から先の間を数える方法の両方を試すと、仮分数と帯分数が結びつきます。

分母が同じなら、分子が大きいほど大きい分数です。1/4という同じ大きさの部分を、何こ持っているかの違いだからです。たとえば5/4と7/4では、7/4が右にあり、大きい数です。ただし、分母が違う分数にそのままこの見方を使うことはできません。何こ分を比べる前に、1こ分の大きさを確かめます。

保護者の方からは、「下の数は何等分、上の数はその何こ分かな」と声をかけてみてください。「上と下のどちらを計算するの」と手順だけを尋ねるより、図と式をつなぐ返事を引き出せます。

例題で解き方を確かめる

例題1　仮分数を帯分数や整数に直します

7/4を帯分数に、8/4を整数に直しましょう。どちらも1/4を集めた数なので、4こで1になるまとまりを探します。図1の帯を思い浮かべながら進めてください。

1. 7/4について、7 ÷ 4 = 1 あまり 3と計算します。1/4が7こあるとき、4このまとまりが1つできて、3こ残るからです。
2. 商の1を整数部分、あまりの3を分子にして、1 と 3/4と書きます。残った3こも1/4の3こ分なので、分母の4はそのままです。
3. 8/4について、8 ÷ 4 = 2と計算します。4このまとまりが2つでき、残りがないので、分数部分をつけずに2と書きます。

答え：7/4 = 1 と 3/4、8/4 = 2です。

あまりが出たとき、あまりだけを書いて終わらないことが大事です。7 ÷ 4のあまり3は、この問題では1/4が3こ残るという意味です。整数の3が残るわけではありません。帯分数に直した後、整数部分だけを4倍し、残りの3をたして7に戻ることも確かめられます。

帯分数に直す前に、答えの見当をつける方法もあります。4/4は1で、8/4は2です。7/4はその間にあるので、整数部分が1の帯分数になるはずです。仮に2 と 3/4と書いてしまったら、この見当と合わないため、わり算か書き写しを見直せます。

例題2　帯分数を仮分数に直します

2 と 2/3を仮分数に直しましょう。整数の2の中に1/3が何こあるかを数え、もともとの分数部分と合わせます。整数を分数に直すときも、もとの大きさを変えないようにします。

1. 1は3/3なので、2の中には1/3が3 × 2 = 6こあると考えます。1のまとまりが2つあるため、3こを2組集めます。
2. 分数部分の2/3を合わせて、6 + 2 = 8こと数えます。どちらも1/3の個数なので、たしてよいことがわかります。
3. 1/3が8こで8/3と書きます。数えている1こ分は変わっていないので、分母は3のままです。

答え：2 と 2/3 = 8/3です。

まとめて計算するなら、3 × 2 + 2 = 8で分子を求めます。ただし、この並びだけを覚えると、整数の2を分母にたすなどの間違いが起きやすくなります。「整数部分に含まれる1/3が6こ、分数部分に2こ」と説明できることを先に確かめましょう。

戻す計算は、8 ÷ 3 = 2 あまり 2です。商がもとの整数部分、あまりがもとの分子と一致します。行きと帰りの両方を使えると、計算問題で仮分数に直した後にも、自分で確かめられます。

例題3　帯分数のたし算をします

1 と 3/5 + 2/5を計算しましょう。整数部分と分数部分を分けて考えます。分数部分をたした結果が1になるので、その1を整数部分に合わせる問題です。

1. 3/5 + 2/5 = 5/5と計算します。1/5が3こと2こで、全部で5こになるからです。分け方は変わらないので、分母は5です。
2. 5/5 = 1と直します。1/5が5こ集まると、ちょうど1のまとまりができます。
3. もとの整数部分の1と、今できた1を合わせ、1 + 1 = 2とします。分数部分に残るものはありません。

答え：1 と 3/5 + 2/5 = 2です。

1 と 5/5という途中の形になったら、計算が間違ったわけではありません。ただし、帯分数の分数部分は真分数にするため、5/5を1に直して整理します。分数部分が1以上になったら、1のまとまりを整数部分へ移すと考えます。

分数部分が1をこえる場合も、見方は同じです。たとえば1 と 4/5 + 2/5なら、4/5 + 2/5 = 6/5です。6/5 = 1 と 1/5なので、もとの1と合わせて2 と 1/5になります。整数が新しく1つできた後にも、1/5が残る点を見落とさないようにしましょう。

両方が帯分数のときは、整数どうし、分数どうしをたせます。1 と 2/5 + 2 と 1/5なら、整数部分は1 + 2 = 3、分数部分は2/5 + 1/5 = 3/5なので、3 と 3/5です。最後に分数部分が1以上かどうかを確認するところまでを、たし算の手順に含めます。

例題4　整数の1を分数に直してひきます

2 と 1/5 mのリボンから、1 と 3/5 mを切り取ります。残りは何mでしょうか。式は2 と 1/5 − 1 と 3/5です。残りの長さなので、もとの長さから切り取った長さをひきます。

1. 分数部分を見て、1/5から3/5はそのままひけないと確かめます。そこで、整数部分の2のうち1を5/5に直します。もとの長さを減らさず、分け方だけを変えるためです。
2. 2 と 1/5を、1 + 6/5と見直します。整数の1からできた5/5と、もともとの1/5を合わせると6/5になります。
3. 整数部分では1 − 1 = 0、分数部分では6/5 − 3/5 = 3/5と計算します。ひかれる分数部分が十分な大きさになったので、同じ1/5の個数をひけます。

答え：残りは3/5 mです。

図2のように、上の2本目の1のまとまりを、下では1/5の集まりとして見直しています。上段と下段で、色のついた部分の全体の長さは変わりません。下段の緑の1と、橙の6こから3こ分を取り除くと、橙の3こ分が残ります。

図2で確かめたいのは、整数部分を1減らすと同時に、分数部分に5/5を加えることです。分数部分だけに5/5を加えると、もとの長さより1だけ大きくなってしまいます。「1のまとまりをほどいたから、まとまりは1つ減る」と言葉を添えると、両方の変化を追えます。

仮分数に直して計算する方法もあります。2 と 1/5 = 11/5、1 と 3/5 = 8/5なので、11/5 − 8/5 = 3/5です。先ほどの方法と同じ答えになりました。最初は図と結びつく方法で意味をつかみ、その後に仮分数での計算も確かめると、途中式を自分で選びやすくなります。

また、答えの3/5に切り取った1 と 3/5をたすと、分数部分は6/5になります。整理すると2 と 1/5になり、もとの長さに戻ります。ひき算の答えをたし算で確かめる習慣は、分数でも使えます。

つまずきやすいところと直し方

分母までたしてしまいます

誤った書き方は、2/5 + 1/5 = 3/10です。どこが違うかというと、1/5を合わせているのに、答えで1こ分の大きさを1/10に変えてしまったところです。正しい書き方は、2/5 + 1/5 = 3/5です。

分母は「計算し忘れた数」ではありません。同じ大きさの部分を数えるために、そのまま残す数です。「1/5が2こと1こなら、1/5は何こになるかな」と尋ねます。図の5等分の区切りを消さず、色のついた部分だけを増やすと、分母が変わらないことを確かめられます。

ひき算でも同じです。4/5 − 1/5は、1/5が4こあるところから1こを取り除くので3/5です。たし算だから分母をたす、ひき算だから分母をひく、という操作ではなく、共通の1こ分がいくつ増減するかを表します。

整数の1を分数に直した後、整数部分を減らし忘れます

誤った書き方は、2 と 1/5を2 + 6/5に直すことです。どこが違うかというと、整数部分の2を残したまま、分数部分に5/5を増やしています。正しい書き方は、2 と 1/5 = 1 + 6/5です。

この間違いは、図2の上下の色の長さを比べると見つけられます。整数の1は、なくなるのではなく、5/5に姿を変えています。お子さまが「借りた」と説明したら、「どの1を、いくつの1/5に分けたのかな」と聞くと、操作の中身を確認できます。

整数から分数をひく場合も、この見方が役立ちます。2 − 3/5なら、2 = 1 + 5/5と直してからひき、1 と 2/5になります。最初に分数部分が書かれていなくても、整数の1を分数に直せます。分数部分だけを探して止まったときに試したい確認です。

分母が違えば、大きさも必ず違うと思ってしまいます

誤った書き方は、1/2 < 2/4です。分子の2が1より大きいからと判断すると、このような答えになりがちです。どこが違うかというと、1/2の1こ分と1/4の1こ分は同じ大きさではないのに、個数だけを比べています。正しい書き方は、1/2 = 2/4です。

図3のように、同じ長さの帯を2等分、4等分、8等分して比べましょう。どれも帯全体を1とし、左半分に色をつけています。色の境目が縦にそろうため、分数の書き方が違っても、同じ大きさだと確かめられます。

図3の上段の1/2を、さらに同じ大きさの2つに分けると、ぬった部分は1/4の2こ分になります。全体の区切りは2つから4つへ、ぬった部分の個数は1こから2こへ、どちらも2倍です。もう一度細かく分けると、2/4は4/8として表せます。したがって1/2 = 2/4 = 4/8です。

ここでは、大きさの等しい分数があることを、図で納得できれば十分です。分母と分子の両方を同じように2倍すると大きさが変わらない、という関係も見つけられます。ただし、分子だけを2倍したら、ぬった長さも変わります。「数字が増えたか」ではなく、「もとの1のうち、どこまでがその分数か」で確かめましょう。

等しい分数を見つけたからといって、すべての答えの分母を変える必要はありません。この段階では、同分母の計算を正しく行い、帯分数に直す必要があれば直すことを優先します。分母の違う計算へ進む前に、等しい大きさを別の分数で表せるという経験を積みます。

練習問題

紙と鉛筆を用意し、途中の数え方も残しましょう。答えがすぐ出ても、分母が表す1こ分や、整数の1をどう扱ったかを一言添えてみてください。数の線や帯は定規を使ってもよいので、等しい間隔を意識してかきます。

練習1

9/4を帯分数に直しましょう。また、0から3までの数の線で、0から1までを4等分したとき、9/4は2から右へ何目盛り分進んだ位置になるでしょうか。分数の形と位置を、両方答えます。

練習2

1 と 4/7 + 2 と 5/7を計算しましょう。整数部分と分数部分を分けて計算し、分数部分が1以上になったら、1のまとまりを整数部分に合わせてください。

練習3

3 と 1/6 mのテープから、1 と 5/6 mを切り取ります。残りは何mでしょうか。整数の1を6/6に直す方法、または仮分数に直す方法で計算します。

練習4

同じ長さの帯を使います。1本目は3等分したうちの2つ分、2本目は6等分したうちのいくつ分に色をつけると、色のついた長さが同じになるでしょうか。2/3 = □/6の□に入る数も答えます。

答えと解説

練習1の答えは、2 と 1/4、2から右へ1目盛り分です。9 ÷ 4 = 2 あまり 1なので、1のまとまりが2つと1/4が残ります。2は8/4ですから、9/4はそこから1/4だけ右にあります。0から数えた9目盛り分と、2から数えた1目盛り分が同じ位置を指すことを確かめます。

練習2の答えは、4 と 2/7です。整数部分は1 + 2 = 3、分数部分は4/7 + 5/7 = 9/7です。9/7 = 1 と 2/7なので、整数部分の3と新しくできた1を合わせます。答えを仮分数で確かめると、11/7 + 19/7 = 30/7となり、4 と 2/7と一致します。

練習3の答えは、1 と 2/6 mです。3 と 1/6を2 + 7/6と見直し、整数部分は2 − 1 = 1、分数部分は7/6 − 5/6 = 2/6と計算します。仮分数でも19/6 − 11/6 = 8/6となり、1 と 2/6に直せます。大きさの等しい分数を使って、1 と 1/3 mと書いても同じ長さです。

練習4の答えは、4つ分で、□には4が入ります。3等分の1つ分をさらに2つに分けると、全体は6等分になります。色のついた2つ分もそれぞれ2つに分かれるので、2 × 2 = 4つ分です。2/3 = 4/6となり、帯の色の境目は動きません。

次の単元へのつながりと家庭での確かめ方

この先、分母の違う分数を計算するときには、大きさの等しい分数を使って、1こ分の大きさをそろえます。今回の「1/2と2/4は同じ大きさ」という見方が、その準備になります。今は先の計算を急ぐより、同じ分母なら個数をたしたりひいたりできる理由を、図で説明できることを確かめましょう。

家庭で5分ほど使えるなら、次のどちらかを試してみてください。問題をたくさん解く代わりに、1つの数を違う表し方で確かめます。

• 紙に0、1、2を等間隔に書き、それぞれの間を4等分します。7/4の位置を示してもらい、同じ場所を帯分数でも読んでもらいます。迷ったら、0から1/4ずつ数える方法に戻ります。
• 同じ長さの紙の帯を2本用意します。1本は2等分、もう1本は4等分して、どちらも半分に色をつけます。色のついた部分を指しながら、1/2と2/4という2つの名前をつけてもらいます。

個別指導では、帯分数の計算が止まったとき、分母の意味、等分、1のまとまりのどこまで理解がつながっているかを確認します。わり算で商とあまりは出せるのに帯分数に直せない場合は、そのあまりが何の何こ分かを図に戻して確かめます。

まとめ

テスト前に7/4の形を見て迷ったら、「1/4を7こ」と読み直すところから始められます。4こで1をつくり、3こが残る様子をたどれば、1 と 3/4という表し方へ自分で進めます。計算の途中で整数の1を分数に直すときも、同じまとまりの見方が使えます。

お子さまが答えの横に小さな帯や数の線をかき、「ここまでが1」と示せたら、その説明を聞いてみてください。分数の計算は、同じ大きさを保ちながら、数えやすいまとまりに組み直す計算です。