【小4算数】計算のきまりを図解で総まとめ—かっこ・計算の順序・分配法則・工夫した計算｜武蔵野個別指導塾

かっこのある式とない式を比べ、計算の順序を確かめます。点の図で分配のきまりを捉え、100をつくる計算や文章を1つの式に表す例題を通して、家庭でも途中式の理由をたどれます。

よくあるのは、塾の教材棚の脇でプリントを選びながら、お子さまが「6 + 4 × 3は、前から計算して30でいいのかな」と手を止める場面です。たし算も九九もできるのに、1つの式に違う計算が入ると、どこから手をつけるか迷います。保護者の方が「かけ算が先」と伝えると、その問題は解けても、次のかっこのある式でまた止まることがあります。

計算のきまりを学ぶと、式を見て計算する順番を決めたり、数をまとめて計算を楽にしたりできます。ただし、決められた順序で読むことと、きまりを使って式を書きかえることは、分けて考える必要があります。理由なく数を動かすと、式が表す量まで変わってしまうからです。

まずは小さい数で、何をひとまとまりとして見ているかを確かめましょう。図と途中式を対応させると、「答えが合った」から「この順番になる理由を説明できた」へ進めます。ここでは整数を使い、かっこ、計算の順序、交換・結合・分配のきまりを順に扱います。

この単元で身につけること

• 計算の順序を決めます。かっこの中を先にし、次にかけ算とわり算、最後にたし算とひき算をします。同じ優先順位の計算が続くところは、左から進めます。
• かっこの意味を読み取ります。かっこは、いくつかの数や計算をひとまとまりにする印です。文章の中で何を先に求めたいかを、式に残せます。
• 交換と結合のきまりを使います。たし算どうし、かけ算どうしなら、順序やまとめ方を変えても答えが変わりません。10や100をつくれる組を見つけます。
• 分配のきまりを図と結びつけます。たした数に同じ数をかける計算は、それぞれにかけてからたす計算と同じです。ひき算を含む場合も、減らす分を考えて使います。
• 文章を1つの式に表します。式の中の数だけでなく、途中でできるまとまりが「何の数か」を説明します。等号で結ぶときには、左右が同じ大きさかも確かめます。

これまでに学んだ九九や、10のまとまりをつくるたし算が土台になります。多くの教科書では小4で、こうした見方を計算の順序やきまりとして整理します。計算が速いことだけを目標にせず、使ったきまりを短い言葉で説明できる状態を目指しましょう。

基本の考え方

かっこは、ひとまとまりを示す印です

「6個のあめと、4個入りの袋が3袋ある」とき、全部の個数は6 + 4 × 3で表せます。4個が3袋分なので、まず4 × 3 = 12を求め、ばらの6個をたします。答えは18個です。6 + 4を先に計算すると、ばらの6個まで3倍したことになり、もとの場面から離れてしまいます。

一方、「1組にあめが6個と4個あり、その組が3組ある」なら、式は(6 + 4) × 3です。1組分の10個を先に求め、その3組分を計算するので30個になります。使っている数は同じでも、何が3組分あるかが違います。かっこは見た目を整えるための飾りではありません。

図1のように、かっこがない式では4 × 3を、かっこがある式では6 + 4を先に計算します。色で示した部分をひとまとまりとして読み、計算後にはその部分だけを答えに置きかえます。まだ計算していない部分は、そのまま残します。

家庭では、「最初に何を1つにまとめる式かな」と声をかけてみてください。「先にする記号は何」と聞くより、式と場面のつながりを確かめられます。お子さまがまとまりを指で囲んでから計算すると、かっこの役割も見えやすくなります。

計算の順序は、記号の種類で決まります

計算は、まずかっこの中、次にかけ算とわり算、最後にたし算とひき算の順で進めます。ただし、かっこの中に計算がいくつもある場合、その中でもかけ算とわり算を先にします。例えば40 – (6 + 2 × 3)では、かっこの中の2 × 3が最初です。40 – (6 + 6)、40 – 12、28と進みます。

かけ算とわり算の間には、どちらが先という違いはありません。例えば24 ÷ 6 × 2は左から計算して、4 × 2 = 8です。かけ算をいつも最初にするのではありません。同じように、18 – 7 + 2も左から進め、11 + 2 = 13となります。たし算がひき算に優先するわけではありません。

途中式は、1回の計算で変えた場所が見えるように書きます。6 + 4 × 3 = 6 + 12 = 18なら、どの式も同じ大きさです。これを6 + 4 × 3 = 12 + 6 = 18と書いても値は同じですが、最初の練習では数の位置を保つと、どの部分を計算したかを追いやすくなります。

等号の意味もここで確かめます。「=」は「次にすること」を並べる印ではなく、左と右の大きさが等しいという印です。途中で求めた数だけを書き、残りの数を落としてしまうと、等号の左右が等しくなくなります。計算の順序がわかっていても、書き方で意味が変わることに気をつけましょう。

答えを変えずに、計算しやすい形へ直します

交換のきまりは、たし算やかけ算で数の順序を入れかえても答えが変わらないというきまりです。8 + 2 = 2 + 8、3 × 4 = 4 × 3と表せます。かけ算の式が表す場面を読むときは、1つ分といくつ分を区別しますが、計算の答えは順序を入れかえても同じになります。

結合のきまりは、たし算が続く式やかけ算が続く式で、どこを先にまとめても答えが変わらないというきまりです。(7 + 3) + 5 = 7 + (3 + 5)、(2 × 5) × 4 = 2 × (5 × 4)がその例です。「数の順序を変える」のが交換、「先に計算する組を変える」のが結合、と見比べます。

この2つを合わせると、38 + 27 + 62を38 + 62 + 27と並べかえ、(38 + 62) + 27 = 100 + 27 = 127と計算できます。初めから左の2つをたしても正しく計算できますが、100のまとまりをつくると暗算しやすくなります。途中式で、きまりを使って並べかえたことを見せるのが大事です。

分配のきまりは、たし算でできたまとまりに数をかけるとき、その中のそれぞれの数に同じ数をかけてからたしてもよいというきまりです。(5 + 2) × 4 = 5 × 4 + 2 × 4と表せます。「分配法則」と呼ばれるきまりです。かっこを外すときは、片方だけにかけるのではなく、5にも2にも4をかけます。

ひき算でも、(10 – 2) × 4 = 10 × 4 – 2 × 4と考えられます。10個ずつの4組から、各組の2個ずつを取り除くので、取り除く数も4組分です。反対に、同じ数をかけた2つの式を1つにまとめる使い方もできます。6 × 8 + 4 × 8 = (6 + 4) × 8なら、8が共通していることに注目します。

交換や結合のきまりを、ひき算やわり算だけの式にそのまま使うことはできません。12 – 5は7ですが、5 – 12はここで扱う整数の範囲では計算しません。また、24 ÷ 6 ÷ 2は2、24 ÷ (6 ÷ 2)は8で、まとめ方を変えると答えが変わります。まずは、たし算どうし、かけ算どうしで安全に使えることを確かめましょう。

例題で解き方を確かめる

例題1　かっこのある式を順に計算します

問題は、48 – (8 + 4) × 3です。かっこ、かけ算、ひき算が一緒にあるので、計算を始める前に最初のまとまりを探します。式全体がひき算でつながっていることも見ておきましょう。

1. かっこの中の8 + 4 = 12を計算します。かっこで指定されたまとまりが先なので、式は48 – 12 × 3になります。
2. 12 × 3 = 36を計算します。かっこがなくなった後も、かけ算はひき算より先なので、式は48 – 36になります。
3. 48 – 36 = 12を計算します。残っているひき算を最後に行えば、式全体の値が求まります。

途中式は48 – (8 + 4) × 3 = 48 – 12 × 3 = 48 – 36 = 12です。どの段階でも、まだ使っていない48やひき算の記号を残している点を見てください。最初の12はかっこの中の値、最後の12は式全体の値で、同じ数でも役割が違います。

保護者の方は「今出た12は、どこの答えかな」と聞いてみてください。お子さまがかっこを指せれば、部分の答えと全体の答えを区別できています。最後の答えだけを見て丸をつけると、この区別があいまいなまま残る場合があります。

答え：12

例題2　点の並びを分けて計算します

問題は、1列に7個ずつ、4列に並んだ点の個数を、5個と2個に分けて求めることです。図2の横1列には紺の点が5個、橙の点が2個あります。同じ並びが縦に4列あるので、全部では7 × 4です。

1. 1列の7個を5 + 2と見ます。点を動かさずに分けて見るだけなので、式は(5 + 2) × 4と書けます。
2. 紺の部分は5 × 4 = 20、橙の部分は2 × 4 = 8と計算します。どちらの色も4列分あるので、両方に4をかけます。
3. 20 + 8 = 28とたします。2つの部分には重なりも抜けもないので、それぞれの個数をたせば全部の個数になります。

図2のように分けると、(5 + 2) × 4 = 5 × 4 + 2 × 4 = 20 + 8 = 28です。かっこの中を先に計算する方法でも、7 × 4 = 28となります。先に7を求める方法と、分配のきまりで式を直す方法は、同じ点を違うまとまりで数えています。

ここで「かっこの中が先なのに、なぜ別々にかけていいの」と疑問が出ることがあります。そのときは、もとの式をそのまま計算する順序と、同じ値の別の式に書きかえることを区別します。分配のきまりを使って等しい式に直した後、その新しい式を計算しているのです。

答え：28個

例題3　100のまとまりをつくって計算します

問題は、25 × 17 × 4を、計算しやすい順序に直して求めることです。左から25 × 17を計算しても解けますが、25と4の組に注目すると、途中の計算を簡単にできます。

1. 17と4の順序を入れかえ、25 × 4 × 17とします。かけ算だけが続いているので、交換のきまりを使えます。
2. (25 × 4) × 17とまとめ、25 × 4 = 100を先に求めます。結合のきまりによって、100になる組から計算できます。
3. 100 × 17 = 1700と計算します。17の100倍なので、位のしくみを使って答えを求められます。

途中式は25 × 17 × 4 = 25 × 4 × 17 = 100 × 17 = 1700です。工夫を説明するときには、「25と4をかけると100になるから、先にその組をつくった」と言えれば十分です。きまりの名前を言えたかだけで判断せず、どの計算が楽になったかを聞きます。

同じ25と4が見えても、たし算やわり算が混じる式では、すぐにこの方法を使えるとは限りません。数の組を探す前に、数どうしがどの記号でつながっているかを見ます。工夫を思いつかないときは、もとの順序で正しく計算してから、別の求め方と比べても構いません。

答え：1700

例題4　買い物の場面を1つの式に表します

問題は、「1冊120円のノートと1本80円の鉛筆を1組として、同じ組を3組買います。1000円を出すと、おつりはいくらですか」です。値段、組の数、出した金額を区別し、何を先に求めるかを考えます。

1. 1組の代金を120 + 80と表します。ノート1冊と鉛筆1本を合わせて1組なので、この部分をかっこで囲みます。
2. 3組の代金を(120 + 80) × 3と表します。同じ代金の組が3つあるため、1組分を3倍します。
3. おつりを1000 – (120 + 80) × 3と表します。出した金額から買った物の代金全部をひくので、この順序になります。
4. 1000 – 200 × 3 = 1000 – 600 = 400と計算します。1組、3組、おつりの順に量の意味を確かめながら進めます。

買った物ごとに考え、ノートの代金120 × 3 = 360と鉛筆の代金80 × 3 = 240を求めても、合計は600円です。分配のきまりにより、(120 + 80) × 3と120 × 3 + 80 × 3は同じ金額を表します。文章題では、同じ場面を2つの式で表せることが、式の意味を確かめる手がかりになります。

ただし、おつりまで1つの式にするときは、1000 – (120 × 3 + 80 × 3)と、代金全体をかっこに入れます。1000 – 120 × 3 + 80 × 3では、鉛筆の代金を足し戻す式になってしまいます。「何から何をひくか」を言葉で読んでから、ひくまとまりを囲みましょう。

答え：400円

つまずきやすいところと直し方

かけ算を、わり算より先にしてしまいます

誤った書き方は、24 ÷ 6 × 2 = 24 ÷ 12 = 2です。6 × 2を先にまとめていますが、もとの式にはその部分を先に計算するかっこがありません。かけ算がわり算より先だと覚えていると、この誤りが起こります。

違うのは、同じ優先順位の計算の進む向きです。図3のように、24 ÷ 6 × 2では、左の24 ÷ 6を先に計算します。正しい書き方は、24 ÷ 6 × 2 = 4 × 2 = 8です。下の24 ÷ (6 × 2)は、かっこによって計算するまとまりを変えた別の式です。

直すときは「かけ算を先に」だけで終えず、「かけ算とわり算は同じ仲間で、左から」と伝えます。式の左側に指を置き、最初に計算する2つの数を指してから途中式を書くと、目だけで記号を探す癖を修正しやすくなります。

分配するとき、片方にしかかけません

誤った書き方は、(5 + 2) × 4 = 5 × 4 + 2 = 22です。かっこの中の5には4をかけていますが、2にはかけていません。図2で見れば、橙の点を4列分ではなく1列分しか数えていない状態です。

違うのは、かっこ全体が4組分あるのに、一部を1組分のまま残している点です。正しい書き方は、(5 + 2) × 4 = 5 × 4 + 2 × 4 = 28です。「5個の組も2個の組も、それぞれ何組あるかな」と聞き、両方とも4組あると確かめます。

ひき算を使う工夫でも同じ確認が役立ちます。99 × 6なら、(100 – 1) × 6 = 100 × 6 – 1 × 6 = 600 – 6 = 594です。100を6倍したとき、余分に数えた1も6個分あります。最後に1だけをひくのではありません。

途中の答えだけを等号でつなぎます

誤った書き方は、6 + 4 × 3 = 12 = 18です。4 × 3の答えは12ですが、もとの式全体の値は12ではありません。この書き方では、12と18も等しいと述べたことになってしまいます。

違うのは、まだたしていない6が途中式から消えている点です。正しい書き方は、6 + 4 × 3 = 6 + 12 = 18です。部分だけを計算するなら、別の行に4 × 3 = 12、その次に6 + 12 = 18と書く方法でも構いません。

答えが合っているお子さまにも、等号の左右をそれぞれ計算して確かめてもらいましょう。「12を出した後、まだ使っていない数はどれ」と聞くと、必要な数を戻せます。途中式は提出のためだけに書くものではなく、どのまとまりを求めたかを自分で見直すために使えます。

練習問題

最初に計算する部分を指してから取り組みましょう。答えに加えて、途中式を少なくとも1行残します。工夫する問題では、「何と何をまとめると楽になるか」を短く説明できると、きまりを選んだ理由まで確かめられます。

練習1

60 – (9 + 6) × 3を計算しましょう。最初にかっこの中を求め、その後に残る式を省略せずに書きます。

練習2

36 ÷ 4 × 2 + 5を計算しましょう。かけ算とわり算のどちらから進めるかを、式の位置を見て決めます。

練習3

125 × 13 × 8を、計算しやすい順序に変えて求めましょう。並べかえた式を書いてから、先に計算したい組をかっこで示します。

練習4

1袋に赤い折り紙が12枚、青い折り紙が8枚入っています。同じ袋が7袋あると、折り紙は全部で何枚ですか。かっこを使う式と、色ごとに求めてたす式の2通りを書きましょう。

答えと解説

練習1の答えは15です。9 + 6 = 15なので、60 – 15 × 3 = 60 – 45 = 15となります。かっこを計算した後に、60 – 15を先にしないようにします。途中の15が何を表すかを指して確認すると、最後の答えとの違いを説明できます。

練習2の答えは23です。36 ÷ 4 × 2 + 5 = 9 × 2 + 5 = 18 + 5 = 23と進めます。わり算とかけ算を左から行い、たし算を最後にします。4 × 2を先に計算した場合は、もとの式にないかっこを加えていないかを見直します。

練習3の答えは13000です。125 × 13 × 8 = 125 × 8 × 13 = (125 × 8) × 13 = 1000 × 13 = 13000となります。交換と結合のきまりを使い、125と8で1000のまとまりをつくります。先に125 × 13を計算した場合も答えは同じですが、2つの方法で途中の計算を比べてみましょう。

練習4の答えは140枚です。1袋分から求めると、(12 + 8) × 7 = 20 × 7 = 140です。色ごとに求めると、12 × 7 + 8 × 7 = 84 + 56 = 140です。分配のきまりによって、2つの式は同じ枚数を表しています。12 × 7が赤、8 × 7が青の7袋分だと言えれば、数と場面がつながっています。

次の単元へのつながりと家庭での確かめ方

計算のきまりは、小数や分数の計算を学ぶときにも使います。また、長方形を分けて面積を求める場面では、全体をまとめて求めた式と、部分の面積をたした式を比べる土台になります。ここで「分けても、重なりや抜けがなければ全体は同じ」と捉えておくと、図形と計算を結びつけられます。

家庭での1つ目の確かめ方は、5分ほどでできる「かっこで変わる式」の比較です。6 + 4 × 3と(6 + 4) × 3を並べ、最初にする計算を囲んでもらいます。答えの18と30を比べた後、あめの袋などの言葉で、それぞれがどんな場面になるかを説明してもらいましょう。

2つ目は、同じく5分ほどで行う「まとまり探し」です。38 + 27 + 62や25 × 17 × 4を書き、先に計算したい組を選んでもらいます。保護者の方は速さを測る代わりに、「その組を選ぶと何が楽になるかな」と聞きます。全部を暗算させず、並べかえた式を1行書くだけでも確かめられます。

個別指導で確かめるときは、順序の読み違いなのか、九九やたし算の計算そのものの誤りなのかを分けます。必要なら、同じ個数の組を図で数えるところや、等号の左右が同じ量を表すところまで戻り、つまずいた一段を確かめてから元の式に戻ります。

まとめ

長い式でも、最初に求めるまとまりを囲むと、することが1つに絞れます。そのまとまりを計算したら、まだ使っていない数を残して次の式を書きます。この小さな手順を丁寧に進めれば、間違えたときにも戻る場所が見つかります。

計算の工夫が見つからない日は、決められた順序で解いてから、図と見比べても構いません。速く求められたかに加えて、動かした数や分けたまとまりの理由を言葉にしてみましょう。計算のきまりを使えた証拠は、答えを変えずに式を直した理由を、自分の途中式で示せることです。