【小4算数】変わり方と表・折れ線グラフを図解で総まとめ—ともなって変わる量・□と○の式｜武蔵野個別指導塾

表の縦と横の読み方から、□と○の式、気温の折れ線グラフまで、図と例題で順に確かめます。増え方と値の大きさを区別する声かけも、家庭での学習に役立ててください。

よくあるのは、朝の通学路の坂で、気温を記録した折れ線グラフを思い出し、「線が上がっているから、ここがいちばん暑い」と話す場面です。坂を上る感じと線が上がる感じは似ています。しかし、グラフで線が上がることは、気温が前より高くなることです。いちばん暑い時刻を知るには、線の上がり方ではなく、点の高さを調べます。

この単元では、変わるものを2つ取り出し、その組を表や式、グラフで表します。数を順に書くだけでなく、「何が1つ増えると、何がいくつ変わるのか」を説明する練習です。多くの教科書では小4で、□と○を使った式や折れ線グラフを学びます。

お子さまが止まったら、すぐに計算を始めさせず、まず数の名前を確かめてみてください。「この12は何の数ですか」と聞くと、袋数と本数、時刻と気温など、混ざっていた意味を分けられます。数の意味がそろうと、表の空欄もグラフの点も、自分で確かめながら埋められます。

この単元で身につけること

• ともなって変わる2つの量を見つけます。袋数と中身の総数など、一方を変えるともう一方がどうなるかを調べる対象を、名前と単位で区別します。
• 対応する数を表に整理します。同じ列にある上下の数は1組です。横へ読むと増え方や減り方を調べられ、縦へ読むと2つの量の関係を確かめられます。
• □と○で関係を式に表します。記号ごとに何を表すかを決め、実際の数を入れて確かめます。1組に合うだけでなく、表のほかの組にも合うかを見ます。
• 折れ線グラフを正確にかき、読み取ります。横の軸と縦の軸、単位、1目盛りの大きさを確認してから、点の位置と線のかたむきを調べます。
• 棒グラフと折れ線グラフを使い分けます。種類ごとの数を比べたいのか、時間とともに変わる様子を見たいのかによって、伝わりやすい表し方を選びます。

前に学んだ九九や表、棒グラフの読み方が土台です。ここでは計算の答えを1つ出すところから進み、いくつもの数の組を同じ決まりで説明できるようにしていきます。

基本の考え方

表は縦と横で読み方が変わります

1袋に鉛筆が3本ずつ入っているとします。袋を1袋、2袋、3袋と増やすと、鉛筆は3本、6本、9本になります。このとき調べている2つの量は、「袋数」と「鉛筆の本数」です。どの袋にも3本ずつ入っているという条件があるので、袋数が決まると鉛筆の本数も決まります。

図1のように、袋数を上の段、鉛筆の本数を下の段に置くと、1袋と3本、2袋と6本が同じ列に並びます。表を読むときは、初めに左端の見出しを読みます。数字だけを見ると、3が袋数なのか本数なのかを取り違えやすくなるからです。

図1を縦に読むと、「袋数を3倍すると鉛筆の本数になる」とわかります。2袋なら 3 × 2 = 6 で6本、4袋なら 3 × 4 = 12 で12本です。横に読むと、袋数は1ずつ増え、鉛筆は3本ずつ増えています。縦は同じ場合の対応、横は別の場合への変化を見ています。

この2つの読み方を混ぜないことが重要です。「3ずつ増える」と聞いて袋数に3をたしても、鉛筆の本数にはなりません。袋数2に3をたすと5ですが、2袋の鉛筆は6本です。増える量をいうときは、「袋数が1増えると、鉛筆の本数が3増える」と、両方の量を言葉にします。

表を自分で作るときも、まず見出しを書き、単位を添えます。次に、一方の量を小さい順に並べ、同じ場合のもう一方の量を真下に書きます。先に上の段だけを最後まで書いても構いませんが、下の段を埋めた後は列ごとに読み直してください。1か所ずれると、計算は正しくても違う組を対応させた表になります。

□と○は量の名前に代わる目印です

袋数を□、鉛筆の本数を○と決めると、関係は 3 × □ = ○ と書けます。3はどの場合にも変わらない1袋分の本数です。□には1、2、3などの袋数が入り、その数に合う鉛筆の本数が○に入ります。□と○を使うと、袋数が変わっても同じ式で表せます。

式を書く前には、「□は袋数、○は鉛筆の本数」と必ず意味を決めます。記号の形自体に袋や鉛筆という意味があるわけではありません。別の問題では、□が時間を表すこともあります。記号だけを見て、いつも同じ計算を当てはめないようにします。

ともなって変わる量の関係は、かけ算だけではありません。全部で12個のおはじきがあり、使った数を□、残りの数を○とすると、□ + ○ = 12 です。使った数が増えると、残りの数は減ります。また、箱の重さが20 gで、中に入れる物の重さを□ g、箱ごとの重さを○ gとすれば、□ + 20 = ○ です。この場合は差がいつも20 gになります。

関係を探すときは、「同じ数ずつ増えるか」だけでなく、「合わせた数はどうか」「差はどうか」「何倍になっているか」と見方を変えます。ただし、短い表の数字だけで、その先も必ず同じ決まりになるとは限りません。鉛筆の例なら「1袋に3本ずつ」という問題の条件が、先の袋数まで考えてよい根拠になります。

折れ線グラフでは点と線の役割を分けます

折れ線グラフは、調べた値を点で表し、順に直線で結んだグラフです。時刻と気温のように、時間とともに変わる様子を見るのに向いています。横の軸に時刻、縦の軸に気温を取ったとき、点の高さはその時刻の気温を表します。右へ向かって線が上がれば気温が上がり、下がれば気温が下がり、水平なら両端の時刻で気温が同じです。

線のかたむきを比べるときは、時間の長さもそろえて見ます。同じグラフで、同じ長さの時間を比べるなら、上向きに急な線ほど気温の上がり方が大きく、下向きに急な線ほど下がり方が大きいと読めます。値が高いかどうかと、変わり方が大きいかどうかは、別の問いです。

横の目盛りも縦の目盛りも、同じ大きさの区切りには同じ量を割り当てます。横を2時間ずつにするなら、8時から10時と10時から12時の間隔を同じにします。縦を2℃ずつにするなら、12℃から14℃と14℃から16℃の間隔を同じにします。目盛りを途中で勝手に変えると、線のかたむきが変化の大きさを正しく表さなくなります。

棒グラフは、例えば好きな果物の種類ごとの人数を比べるときに向いています。りんご、みかん、ぶどうは時間の順ではないので、棒の先を線で結んでも、時間とともに変わる様子にはなりません。一方、日ごとの気温を順に見るなら折れ線が役立ちます。同じ資料でも、各日の値を比べることを重視して棒にする場合があります。題名を見て機械的に決めず、何を伝えたいかを先に考えます。

例題で解き方を確かめる

例題1　表の空欄と鉛筆の本数を求めます

1袋に鉛筆が3本ずつ入っています。袋数が1、2、3、4、5のときの本数を表にし、袋数を□、鉛筆の本数を○として式に表しましょう。また、8袋の鉛筆は何本ですか。

1. 変わる2つの量を確認します。「袋数」と「鉛筆の本数」で、1袋に入っている3本は変わりません。どの数が決まっているかを先に分けると、表で増やす数を選べます。
2. 1袋分の本数に袋数をかけます。3 × 1 = 3、3 × 2 = 6、3 × 3 = 9、3 × 4 = 12、3 × 5 = 15 です。どれも同じ大きさのまとまりがいくつ分あるかを求めています。
3. 袋数を□に置き換え、3 × □ = ○ と書きます。2袋なら6本、5袋なら15本となり、表の複数の組に合うことを確かめます。
4. □を8にして、3 × 8 = 24 と計算します。表を8袋まで伸ばさなくても、決まりを表す式があれば求められます。

答え：本数は順に3本、6本、9本、12本、15本、式は 3 × □ = ○、8袋では24本です。

家庭では「3本ずつの袋が8袋あります。3本がいくつ分ですか」と声をかけてください。「8に3をたすのか、かけるのか」と計算だけを選ばせるより、袋の中身を思い浮かべやすくなります。式の3は1袋分、8は袋数と、数の役割も言えるか確かめます。

例題2　合計が変わらない関係を表します

おはじきが全部で12個あります。使った数が0個、1個、2個、3個のときの残りを求めましょう。使った数を□、残りの数を○として式に表し、7個使ったときの残りも求めます。

1. 全部の12個を「使った分」と「残り」に分けます。使う前も使った後も、この2つを合わせれば12個です。変わらない量が合計だとわかります。
2. 全部から使った数をひきます。12 − 0 = 12、12 − 1 = 11、12 − 2 = 10、12 − 3 = 9 なので、残りは12個、11個、10個、9個です。
3. 合わせる関係を □ + ○ = 12 と表します。残りを求める順序に合わせて 12 − □ = ○ と書いても、同じ関係を表せます。
4. 7個使ったときは 12 − 7 = 5 です。7 + 5 = 12 と確かめると、残りも合わせた全部の個数が元に戻ります。

答え：残りは順に12個、11個、10個、9個、式は □ + ○ = 12、7個使ったときは5個です。

ここでは、一方が増えるともう一方が減ります。「ともなって変わる」とは、両方が増える場合だけを指すのではありません。0個使ったときの12個も表に入れると、何も使わなければ全部が残るという意味を、計算と結び付けて確かめられます。

例題3　気温を折れ線グラフに表します

ある日の気温を2時間おきに調べました。8時が12℃、10時が16℃、12時が20℃、14時が20℃、16時が18℃でした。折れ線グラフに表し、気温が最も高い観測時刻と、気温が最も大きく上がった2時間の区間を答えましょう。

1. 横の軸を時刻、縦の軸を気温にします。横は2時間ずつ、縦は2℃ずつに区切ります。最高が20℃なので、縦の軸は0℃から24℃まであればすべての点を置けます。
2. 時刻と気温の組を1つずつ取って点を打ちます。8時と12℃が交わる所、10時と16℃が交わる所というように、表の1列を1つの点に直します。
3. 点を時刻の順に定規で結びます。図2のように、12時と14時の点は同じ高さなので、その間の線は水平になります。調べた点を残しておくと、実際に測った時刻がはっきりします。
4. 最高の点と、各区間で増えた気温を別々に調べます。最も高い値は20℃で、12時と14時です。8時から10時は 16 − 12 = 4 で4℃、10時から12時も 20 − 16 = 4 で4℃上がっています。

答え：図2のグラフになり、最高は12時と14時の20℃、最も大きく上がった区間は8時〜10時と10時〜12時です。

図2では14時から16時にかけて、20 − 18 = 2 で2℃下がっています。下がったことは「2℃下がった」と言えば表せます。また、12時と14時に同じ値を測っても、その間ずっと20℃だったとまでは断定できません。直線は測った点を結んだものであり、測っていない時刻の値と、記録された値は分けて読みます。

例題4　増え方から式を見つけます

空の箱の重さは20 gです。中に入れる積み木の重さを10 g、20 g、30 gと変えると、箱ごとの重さは30 g、40 g、50 gになりました。積み木の重さを□ g、箱ごとの重さを○ gとして式に表しましょう。箱ごとの重さが70 gのとき、積み木の重さは何 gですか。

1. 表の同じ列に当たる数の差を調べます。30 − 10 = 20、40 − 20 = 20、50 − 30 = 20 です。差がいつも20なのは、空の箱の重さが加わるからです。
2. □ + 20 = ○ と書きます。1組目だけを見ると 10 × 3 = 30 も合いますが、2組目は 20 × 3 = 60 となり40にはなりません。複数の組を調べる必要があります。
3. 箱ごと70 gから箱だけの20 gをひき、70 − 20 = 50 と求めます。50 + 20 = 70 と戻して確かめると、求めたものが中身の重さであることも確認できます。

答え：式は □ + 20 = ○、積み木の重さは50 gです。

この例では両方の重さが10 gずつ増えますが、箱ごとの重さが積み木の重さの同じ倍になるわけではありません。横の増え方を見つけた後も、縦の組を式で確かめることが必要です。お子さまには「増やしていないのに、いつも重さに入っている物は何ですか」と聞くと、箱の20 gに目を向けられます。

つまずきやすいところと直し方

誤り1　「3ずつ増える」を「3をたす」と書いてしまいます

誤った書き方は、1袋3本の鉛筆について □ + 3 = ○ とすることです。袋数が1増えるたびに本数が3増えることと、袋数に3をたすことは違います。この式に□の2を入れると 2 + 3 = 5 となり、2袋で6本という表の組に合いません。

正しい書き方は 3 × □ = ○ です。直すときは「式が違います」で終わらせず、2袋の鉛筆を3本ずつの2つのまとまりとして描きます。その後で、「3ずつ」は下の段を横へ読む言葉、「3倍」は上下の組を読む言葉だと表に戻します。表、物のまとまり、式の3つが同じ6本を表しているかを確かめます。

誤り2　残りの数も同じ向きに増やしてしまいます

誤った書き方は、全部で12個のおはじきについて、3個使うと9個残るので、4個使うと10個残るとすることです。使った数が1増えたから残りにも1をたすと、4 + 10 = 14 となり、初めの12個より多くなってしまいます。

図3のように全体の長さを12個分にそろえると、使った部分が1個分長くなるだけ、残りの部分は1個分短くなります。上の線分は3個と9個、下の線分は4個と8個に分かれ、どちらも全体は12個分です。

正しい書き方は 12 − 4 = 8 で、残りは8個です。図3で赤い部分だけを追った後、緑の部分だけを追うと、2つの量が逆向きに変わる様子を確かめられます。最後に 4 + 8 = 12 と合計を確認することで、表を機械的に埋める習慣を直していきます。

誤り3　いちばん高い点を、いちばん大きく増えた所と答えます

誤った書き方は、図2について「12時から14時がいちばん大きく上がった」と答えることです。線が高い位置にあることと、線が上向きであることを混同しています。12時も14時も20℃なので、この区間では両端の値に変化がありません。

正しい書き方は「8時から10時と10時から12時に、それぞれ4℃上がった」です。直すときは、まず問いの「高い」と「上がった」を読み分けます。「高い」なら点の高さ、「上がった」なら前後の2点の差を調べます。指で点を押さえるのか、2点の間をなぞるのかを変えると、読む対象も区別できます。

さらに、見た目の角度だけを別のグラフ同士で比べないようにします。同じ気温の記録でも、縦の目盛りの取り方や図の縦横の長さが違えば、線は急にも緩やかにも見えます。数値の変化と時間を確かめることが、見た目に頼りすぎない読み方につながります。

練習問題

表を作る問題では、答えの数だけでなく、行の見出しも書きましょう。グラフの問題では、答えの根拠になる2つの値や軸の名前も書いてから、下の解説と比べてください。

練習1

1枚のカードにシールを4枚ずつ貼ります。カードが1枚、2枚、3枚、4枚のときのシールの総数を求めましょう。カードの枚数を□、シールの総数を○として式に表し、6枚のカードに必要なシールの数も求めてください。

練習2

長さ18 cmのリボンを1回切り、2つに分けます。片方の長さを□ cm、もう片方の長さを○ cmとして、関係を式に表しましょう。片方が5 cmなら、もう片方は何 cmですか。片方を6 cmに変えると、もう片方は何 cmになりますか。

練習3

水温を2分おきに調べたところ、調べ始めの0分が30℃、2分後が28℃、4分後が28℃、6分後が22℃でした。横の軸を時間、縦の軸を水温として折れ線グラフをかくとき、水平な線になるのはどの区間ですか。水温が最も大きく下がった2分間と、その間に下がった水温も答えましょう。

練習4

「好きな遊びの種類ごとの人数」と「朝から夕方まで2時間おきに調べた気温」があります。種類ごとの人数を比べるには棒グラフと折れ線グラフのどちらが向いていますか。また、気温の変わり方を見るにはどちらが向いていますか。理由も一言添えてください。

答えと解説

練習1の答えは、順に4枚、8枚、12枚、16枚です。式は 4 × □ = ○、6枚のカードには 4 × 6 = 24 で24枚のシールが必要です。カードが1枚増えるたびに、シールは4枚ずつ増えます。カードの枚数とシールの枚数は、同じ「枚」でも別の量なので、見出しには物の名前まで書きます。

練習2の答えは □ + ○ = 18 です。片方が5 cmなら 18 − 5 = 13 で13 cm、片方が6 cmなら 18 − 6 = 12 で12 cmです。片方が1 cm長くなると、もう片方は1 cm短くなります。5 + 13 = 18、6 + 12 = 18 と、どちらも全体の長さに戻ることを確かめます。

練習3の答えは、水平なのが2分後〜4分後、最も大きく下がったのが4分後〜6分後で、6℃下がりました。各区間は同じ2分間なので、下がった大きさをそのまま比べられます。初めの区間は 30 − 28 = 2 で2℃、次は同じ28℃で変化がなく、最後は 28 − 22 = 6 で6℃です。最も低い値の22℃と、下がった大きさの6℃を区別しましょう。

練習4の答えは、遊びの種類ごとの人数には棒グラフ、気温の変わり方には折れ線グラフです。棒の長さなら種類ごとの人数の大小が比べやすく、順に結んだ線なら時間とともに気温が上がる様子や下がる様子が追いやすいからです。種類の並びを入れ替えられる資料か、時間の順に並べる資料かも、判断の手掛かりになります。

次の単元へのつながりと家庭での確かめ方

2つの量を組にして調べる考え方は、後に学ぶ比例や、時間と道のりの関係などにつながります。今は新しい用語を先取りするより、量の名前を言い、対応する数を同じ列に置き、式やグラフと行き来できることを確かめます。「どちらも増えるから、いつも同じ倍」と決めつけない読み方も、先の学習を支えます。

家庭で5分ほど確かめる方法の1つは、10個のおはじきを使った表作りです。片方の皿に置く数を1個、2個、3個と変え、もう片方の皿の数を記録します。「合わせるといくつですか」と聞き、表の各列で合計が10になることを確かめてください。

もう1つは、図2を使った問い分けです。「最高は何℃ですか」「14時から16時はどう変わりましたか」を順に尋ねます。最初は点、次は区間を指せれば、答えをたまたま覚えているだけではなく、読み取る場所を選べています。理由が出ないときは、縦の1目盛りと両端の値を一緒に読みます。

個別指導で確かめる際も、式だけを書き直す前に、表の1列が何を表すかまで戻ります。目盛りで止まっているなら、等間隔の数の線に数を置くところから確かめ、計算の問題と読み取りの問題を分けて扱います。

まとめ

「増えた」と言えたときには、その言葉の主語と、比べた前後の数を確かめてみてください。「鉛筆が増えた」から「袋数が1増えると、鉛筆が3本増えた」へ説明が具体的になると、式の意味もはっきりします。グラフでも「ここが急です」の次に、どの時刻からどの時刻まで、何℃変わったかを添えれば、読み取ったことを相手に伝えられます。

変わり方を説明できた証拠は、比べた2つの量と、その数の組を指せることです。