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【数学III】極限を図解で総まとめ—数列の極限・無限等比級数・関数の極限・連続性｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.10.12更新 2026.10.12武蔵野個別指導塾の特徴高校数学単元解説（数I・A・II・B・III・C）

【数学III】極限を図解で総まとめ—数列の極限・無限等比級数・関数の極限・連続性のアイキャッチ武蔵野個別指導塾

数列の収束、無限等比級数の和、片側極限を3枚の図で整理します。有理化や三角関数の例から連続性と中間値の定理まで、極限を求める理由を式とともにたどれます。

よくあるのは、校庭のベンチで問題集を膝に開き、(x²-1)/(x-1) に x=1 を代入して「0/0 だから答えは0」と書いたところで手が止まるという場面です。風でページが戻らないよう押さえて解説を読むと、約分した x+1 から今度は2が出てきます。どちらを信じればよいのか迷う原因は、計算力だけではありません。「その点での値」と「その点へ近づくときの値」を、同じものとして扱っているのです。

極限は、数や変数を動かし続けたときの行き先を調べる考え方です。数列の項が落ち着く先、限りなく続く和の行き先、グラフの切れ目の有無を、共通の言葉で説明できます。数学IIIでは、この見方が微分や積分の土台になります。公式に数を入れる前に「何を動かし、何の値を見ているのか」を決めると、計算の進め方にも理由がつきます。まず数列で近づく意味をつかみ、その後に和と関数へ視野を広げましょう。

この単元で身につけること

数列の収束と発散を区別します。一定の実数へ近づく場合と、限りなく大きくなる場合、値が振動する場合を分けて読み取ります。
極限の計算の性質を使います。和・積・商に分けられる条件を確かめ、最高次数で割る方法やはさみうちの原理を選びます。
無限級数を部分和から考えます。項の極限と和の極限を区別し、無限等比級数が収束する公比の範囲を説明します。
関数の極限を左右から調べます。因数分解、有理化、三角関数の基本極限を使い、∞が現れる場合も符号を追います。
連続性を点での値と極限から判定します。中間値の定理で解の存在を示すときに、連続であるという条件を忘れないようにします。

数学Bで扱う数列の一般項・和の公式と、数学IIで扱う関数のグラフや弧度法を使います。新しい計算を大量に覚えるというより、既に知っている式を「近づき方が見える形」に直す単元です。

基本の考え方

数列では項の行き先を見る

数列 aₙ=1/n を考えます。n=1, 2, 3, … に対して項は 1, 1/2, 1/3, … となり、n を大きくするほど0へ近づきます。どの項も0そのものにはなりませんが、0との差をいくらでも小さくでき、その後も小さく保てます。このとき「数列 aₙ は0に収束する」といい、lim（n→∞）aₙ=0、または aₙ→0 と書きます。lim は極限を表す記号です。∞は最後に代入する数ではなく、n を限りなく大きくする方向を示します。

図1のように、数列は自然数の位置に並ぶ点で表します。点を滑らかな曲線で結ばないのは、n=1.5 のような項をこの数列では考えていないためです。点の高さが0へ近づいても、横方向には点が続きます。「0に到着する項を探す」という読み方をやめることが最初の一歩です。

一方、aₙ=n はどんな大きな値もやがて超え、その後も超え続けるので、正の無限大に発散するといいます。aₙ=-n は負の無限大に発散します。aₙ=(-1)ⁿ は -1, 1, -1, 1, … と交互に変わり、1つの値に落ち着きません。このような場合も発散です。「発散する」と「正の無限大になる」は同じ意味ではありません。有限の実数に収束しない場合を発散と呼び、その中に無限大への発散や振動が含まれます。

aₙ→α、bₙ→β と、両方が有限の実数に収束するとき、aₙ+bₙ→α+β、aₙbₙ→αβ です。商については β≠0 のときに aₙ/bₙ→α/β が成り立ちます。分母の極限が0の場合には、この商の規則をそのまま使えません。0/0 や ∞/∞ は値を表す答えではなく、式の形を詳しく調べる必要があるという合図です。

また、十分大きな n で bₙ≦aₙ≦cₙ が成り立ち、bₙ と cₙ が同じ実数 L に収束すれば、aₙ も L に収束します。これがはさみうちの原理です。たとえば -1/n≦sin n/n≦1/n なので、lim（n→∞）sin n/n=0 です。分子 sin n 自体の行き先が定まらなくても、全体の絶対値が1/n以下になることが決め手になります。

等比数列 rⁿ の行き先も整理しておきましょう。|r|<1 なら0に収束し、r=1 なら常に1です。r>1 なら正の無限大へ発散し、r=-1 なら -1 と1を繰り返します。r<-1 では符号を交互に変えながら絶対値が限りなく大きくなり、発散します。負の公比を見落とさないために、公比そのものだけでなく絶対値にも注目します。初項 a の等比数列 arⁿ⁻¹ では、a=0 なら公比によらず全項が0になるという例外もあります。

無限級数では部分和の行き先を見る

1/2+1/4+1/8+… のように、数列の項を限りなく加えたものを無限級数といいます。ただし、無限回の足し算を一度に実行するのではありません。第 n 項までの和 Sₙ=a₁+a₂+…+aₙ を作り、この部分和の数列が有限の実数 S に収束するとき、無限級数は収束し、その和を S と定めます。aₙ の極限ではなく Sₙ の極限を調べる点が重要です。

初項 a、公比 r の無限等比級数 a+ar+ar²+… では、r≠1 のとき Sₙ=a(1-rⁿ)/(1-r) です。|r|<1 なら rⁿ→0 なので、無限等比級数の和は a/(1-r) になります。a≠0 の場合、収束する条件は |r|<1 です。r=1 では Sₙ=na となり、r=-1 では部分和が a と0を交互に取ります。|r|>1 でも項が0へ近づかず、級数は収束しません。a=0 のときは全項も部分和も0です。

無限級数が収束するなら、その一般項は0へ近づきます。n≧2 で aₙ=Sₙ-Sₙ₋₁ であり、2つの部分和が同じ和へ近づくからです。しかし、逆は成り立ちません。1+1/2+1/3+… は項が0へ近づくのに、和は正の無限大へ発散します。実際、1/3+1/4≧1/2、1/5+…+1/8≧1/2 です。その後も項の個数を倍にしてまとめるたびに、少なくとも1/2ずつ和が増えます。項が小さくなることと、増加の合計が有限に収まることは別なのです。

関数では近づく向きと定義域を見る

lim（x→a）f(x)=L は、x を a そのものにはせず、a に近づけると f(x) が L に近づくことを表します。x<a の側から近づける左側極限は lim（x→a-）f(x)、x>a の側から近づける右側極限は lim（x→a+）f(x) と書きます。両側から近づけられる点では、左右の極限が同じ有限の実数になって初めて、その実数を両側の極限値といえます。

たとえば (x²-1)/(x-1) は x=1 で定義されませんが、x≠1 では x+1 と等しく、x→1 の極限は2です。近くで同じ値を取る式に直してよいのであって、定義されていない元の式の f(1) が2になるわけではありません。定義域が x≧0 の関数 √x を0へ近づける場合のように、定義域内からの近づき方だけを見る場面もあります。

x→∞ や x→-∞ は、グラフを右や左へどこまでもたどったときの高さを見る操作です。たとえば 1/x は、どちら向きでも0へ近づきます。一方、x→0 では左右で符号が異なります。同じ式でも、矢印の行き先が違えば答えも変わります。式だけを見て「この関数の極限は0」と覚えるのではなく、必ず矢印をセットで読みます。

三角関数で基本になるのは lim（x→0）sin x/x=1 です。角は必ず弧度法で測ります。0<x<π/2 で sin x<x<tan x という大小関係から cos x<sin x/x<1 が得られ、両端が1へ近づくためです。sin(-x)/(-x)=sin x/x なので、負の側からも同じ極限になります。分子と分母がともに0へ近づいても、比は1へ近づくことがここでも確かめられます。

もう1つの基準が、自然対数の底 e です。数列 (1+1/n)ⁿ が収束する値を e といい、約2.71828です。これに対応する基本極限が lim（h→0）(1+h)¹⁄ʰ=e です。ここでは底が正になる h>-1 の範囲で h≠0 として考えます。この公式はそのまま覚えるだけでなく、底の増分と指数が逆数になっているかを見ます。たとえば (1+2/n)ⁿ=[(1+2/n)ⁿ⁄²]² なので、n→∞ で e² に近づきます。「底が1へ近づくから全体も1」とはできません。指数も同時に大きくなっているためです。

自然対数 logₑ x を使うと、対応する基本極限として lim（h→0）logₑ(1+h)/h=1、lim（h→0）(eʰ-1)/h=1 もあります。前者は (1+h)¹⁄ʰ→e の両辺に対数を取る見方につながり、後者は t=eʰ-1 とおいて前者の逆数の形に直せます。これらは指数関数・対数関数の微分へ進むときに使います。底を省略して混同しないよう、ここでは自然対数を logₑ と明記しています。

例題で解き方を確かめる

例題1　分数で表された数列の極限

lim（n→∞）(3n²-2n+1)/(2n²+n) を求めます。分子も分母も大きくなるので、別々に無限大と書いて割るのではなく、同じ大きさの尺度で比べます。

分母の最高次数である n² で分子と分母を割ります。n は自然数で0ではないので、式の値を変えずに (3-2/n+1/n²)/(2+1/n) と直せます。
1/n→0、1/n²→0 を使います。分子は3、分母は2に近づくことが、変形後の式から見えます。
分母の極限が0でないことを確認して商の性質を使います。したがって極限は 3/2 です。

答え：3/2。

最高次数で割る目的は、大きくなる項を小さくなる項へ変えることです。分子と分母の次数が同じなら最高次の係数の比が残ります。分子の次数が低ければ0になりますが、分子の次数が高い場合は符号も調べて無限大への発散を判定します。この方法は x→∞ の有理関数にも使えます。ただし x→-∞ では、残った x の奇数乗の符号が変わることに注意します。

例題2　無限等比級数の和と残りの大きさ

3+3/2+3/4+… の和 S と、第5項までの和 S₅ を求め、S-S₅ も求めます。図2のように、部分和は増えますが、一定の高さ6を越えません。

初項 a=3、公比 r=1/2 を読み取ります。|r|<1 なので、和の公式を使う条件を満たします。
S=a/(1-r)=3/(1-1/2)=6 と計算します。第1項を3と数えるため、公比の累乗だけを見て初項を取り違えないようにします。
S₅=3(1-(1/2)⁵)/(1-1/2)=6×31/32=93/16 と求めます。有限の和には、まだ累乗の項が残ります。
S-S₅=6-93/16=3/16 です。これは第6項以降を全て加えた和であり、次の1項だけの値ではありません。

答え：S=6、S₅=93/16、S-S₅=3/16。

一般にこの例では S-Sₙ=6×(1/2)ⁿ です。図2の点と破線の間隔はこの差を示し、n が1増えるたびに半分になります。第5項までで6になるわけではなく、残りの差が小さくなり続けるのです。負の公比なら部分和は和の上下を行き来することもありますが、|r|<1 であれば差の絶対値は0へ近づきます。増え続けること自体が収束の条件なのではありません。

例題3　0/0 の形を有理化と基本極限で直す

lim（x→0）(√(1+x)-1)/x、(2) lim（x→0）sin(3x)/sin(2x) を求めます。どちらも直接代入すると分子と分母が0になりますが、用いる変形は違います。

(1)では分子に根号の差があるので、分子と分母に √(1+x)+1 を掛けます。積が (1+x)-1=x になるよう、和と差の積を利用するためです。
x≠0 のもとで、元の式は x/[x(√(1+x)+1)]=1/(√(1+x)+1) です。x→0 で分母は2へ近づくので、極限は1/2です。元の式が定義される x≧-1 の中で、0の両側から近づけられます。
(2)では sin(3x)/(3x) と sin(2x)/(2x) を作ります。元の式を [sin(3x)/(3x)]×[2x/sin(2x)]×3/2 と変形すれば、基本極限の形がそろいます。
x→0 なら 3x→0、2x→0 です。前の2つの因子はそれぞれ1へ近づくため、全体は3/2へ近づきます。

答え：(1) 1/2、(2) 3/2。

(1)で約分する x は0ではありません。極限では0の近くの値を見ているので、0を除いて等しい式へ直せます。(2)の係数3/2は、角の大きさをそろえた結果として生まれます。「sin を消してよい」という規則ではなく、基本極限を満たす比を2つ作った計算です。角が0へ近づかない問題に、同じ操作を機械的に当てはめることはできません。

例題4　連続性を利用して方程式の解の存在を示す

方程式 x³+x-1=0 は、0<x<1 に少なくとも1つ実数解をもつことを示します。解の小数表示を探すのではなく、その区間に解がある理由を説明する問題です。

f(x)=x³+x-1 とおきます。多項式で表される関数なので、閉区間 0≦x≦1 で連続です。途中に切れ目がないことが、この後の推論の条件になります。
端点で f(0)=-1、f(1)=1 と計算します。0はこの2つの値の間にあることを確かめます。
中間値の定理により、f(c)=0 を満たす c が 0<c<1 に少なくとも1つ存在すると結論づけます。端点での値は0ではないため、解は区間の内部にあります。

答え：中間値の定理により、0<x<1 に少なくとも1つ実数解が存在します。

関数が x=a で連続であるとは、f(a) が定義され、lim（x→a）f(x) が存在して f(a) に等しいことです。閉区間の端点では区間の内側からの極限で考えます。中間値の定理は、閉区間で連続な関数が両端の関数値の間の値を必ず取るという定理です。特に端点の値の符号が異なれば、途中で0を取ります。端点の符号を見ただけでは不十分で、必ず連続性を先に確認します。

なお、この定理だけで解が1つに決まるわけではありません。この例では 0≦u<v≦1 に対して f(v)-f(u)=(v-u)(v²+uv+u²+1)>0 なので、f はこの区間で単調に増加します。この別の根拠を加えれば、解がただ1つとわかります。「存在する」と「ただ1つ存在する」を区別すると、証明で何が足りないかも見えてきます。

つまずきやすいところと直し方

誤り1　極限をその点への代入だけで終える

誤った書き方は「lim（x→1）(x²-1)/(x-1)=0/0=0」です。0/0 は定義されず、分母の極限が0なので商の性質を直接使う条件も満たしません。分子が0に近づくという事実だけから、分数全体の行き先を決めることはできません。

正しい書き方は「x≠1 で (x²-1)/(x-1)=x+1 より、極限は2」です。近くでの式の一致を根拠に計算します。この関数に x=1 での値だけを追加し、f(1)=2 とすれば連続になりますが、f(1)=5 とすれば連続ではありません。どちらも x→1 の極限は2のままです。極限が存在すること、値が定義されること、その2つが等しいことを別々に確かめましょう。

誤り2　分母が0に近づけば両側で正の無限大になると考える

誤った書き方は「lim（x→0）1/x=∞」です。図3のように、x が正か負かで 1/x の符号は変わります。右側からは限りなく大きくなりますが、左側からは負の向きへ限りなく小さくなります。左右を分けずに正の無限大とまとめることはできません。

正しい書き方は「lim（x→0+）1/x=∞、lim（x→0-）1/x=-∞ であり、両側の極限は存在しない」です。図3では x=0 の縦軸をまたいで2本の枝を結びません。対して 1/x² は0の左右で正なので、x→0 で正の無限大へ発散します。この場合も有限の極限値に収束するのではありません。∞という記号を答えに使うときは、収束か発散かの言葉も対応させます。

符号の違いは中間値の定理にも関わります。1/x は x=-1 で負、x=1 で正ですが、-1≦x≦1 で連続ではないので、途中で0を取るとはいえません。実際、1/x=0 となる実数はありません。図の枝が切れていることが、定理の条件を外してはいけない理由を示しています。

誤り3　一般項が0なら無限級数も収束すると決める

誤った書き方は「1/n→0 だから、1+1/2+1/3+… は収束する」です。一般項が0へ近づくことは、級数が収束するために必要な条件にとどまります。各項が小さくても、足し続けた結果が有限に収まるとは限りません。基本の考え方でまとめた項の組は、何度でも1/2以上の増加を作ります。

正しい書き方は「部分和 Sₙ の極限を調べ、この級数は正の無限大へ発散する」です。無限等比級数なら公比を調べ、一般の無限級数なら部分和の式や大小関係を考えます。たとえば Σ の記号を使わなくても、1/[n(n+1)]=1/n-1/(n+1) と分解できる級数なら、途中の項が打ち消し合い、部分和の極限を計算できます。見た目が分数というだけで全てを等比級数に分類せず、隣り合う項の比が一定かを確かめます。

練習問題

途中式には、使った性質の条件を1つ添えてください。数値だけ合っていても、約分してよい範囲や、級数が収束する理由が抜けると別の問題で迷いやすくなります。答えを見た後は、その条件を自分の言葉で説明できるか確かめましょう。

練習1

lim（n→∞）(5n²+n)/(2n²-3) を求めてください。さらに、数列 (-1)ⁿ/n の極限を求めてください。

練習2

無限等比級数 4-2+1-1/2+… の収束を判定し、収束するなら和を求めてください。また、無限級数 1/(1×2)+1/(2×3)+1/(3×4)+… の和を、部分和を使って求めてください。

練習3

lim（x→0）sin(5x)/x、(2) lim（n→∞）(1+3/n)ⁿ を求めてください。三角関数の角は弧度法とします。

練習4

x≠2 では f(x)=(x²-4)/(x-2)、x=2 では f(2)=k と定めます。f が x=2 で連続になる k を求めてください。さらに、g(x)=x³-2 が 1<x<2 で少なくとも1つ0を取る理由を説明してください。

答えと解説

練習1の答えは 5/2 と0です。前半は n² で割って (5+1/n)/(2-3/n²) とすれば、分母の極限が2なので商の性質を使えます。後半は -1/n≦(-1)ⁿ/n≦1/n に、はさみうちの原理を使います。符号が交互に変わる数列でも、振れ幅が0へ縮めば収束します。

練習2の答えは、前半が収束して8/3、後半が1です。前半の初項は4、公比は -1/2 なので、|r|<1 を確認して 4/(1+1/2)=8/3 と計算します。後半は 1/[j(j+1)]=1/j-1/(j+1) と変形し、第 n 項まで加えると Sₙ=1-1/(n+1) です。この部分和が1へ近づくので和は1になります。一般項の極限だけで結論を出していない点を確認しましょう。

練習3の答えは (1) 5、(2) e³ です。(1)は sin(5x)/x=5×sin(5x)/(5x) と直します。(2)は h=3/n とおけば h→0+ であり、(1+3/n)ⁿ=[(1+h)¹⁄ʰ]³ です。括弧内の極限が e なので、全体の極限は e³ になります。増分が3/nなのに指数をそのまま逆数と思い込まないようにします。

練習4の答えは k=4 です。x≠2 で f(x)=x+2 なので x→2 の極限は4となり、それを f(2) に合わせます。後半は g が閉区間 1≦x≦2 で連続で、g(1)=-1、g(2)=6 であることから、中間値の定理を使います。したがって g(c)=0 となる c が 1<c<2 に少なくとも1つ存在します。

次の単元へのつながりと家庭での確かめ方

微分では、平均変化率の分母と分子がともに0へ近づく極限から、瞬間の変化率を求めます。sin x/x や e に関する極限は、三角関数・指数関数・対数関数の導関数の根拠につながります。積分では、細かく分けた長方形の面積の和を極限へ進め、曲線で囲まれた面積を考えます。極限は近似で終える操作ではなく、近似を続けた先の値を定める操作です。

家庭で5分あれば、まず 1/n と、その第 n 項までの和を、n=1, 2, 4 について別々の欄に書いてみましょう。項の高さと和の大きさは別だと説明する練習になります。ただし少数の計算結果だけでは、収束の証明にならないことも合わせて確認します。

もう1つは、(x²-1)/(x-1) について「x=1 の値」「x→1 の極限」「連続にするため追加する値」を3行に分けて答える練習です。保護者がお子さまのノートを見る場合も、この3つが区別されているかなら確かめやすくなります。個別指導では、約分の条件が曖昧なら分数式の定義域まで、無限級数で迷うなら有限の等比数列の和まで戻り、どの段階の意味が抜けたかを確かめます。

まとめ

極限の式を前にして手が止まったら、矢印の下にある変数と、その行き先を読み直してください。次に、調べているのが1つの項か、部分和か、関数の値かを決めます。その区別がつけば、式を変形する目的も、定理を使う条件も具体的になります。正しい答えには、代入できない点の扱い方や、左右からの近づき方まで含まれています。

到達点で定義されていない式にも、近づく値を決める確かな根拠はあります。