【数学I】2次関数のグラフと最大・最小を図解で総まとめ—平方完成と軸の位置で場合分け｜武蔵野個別指導塾

平方完成から頂点と軸を読み取り、定義域つきの最大・最小や軸が動く場合分けを3枚の図で整理します。頂点と通る点から式を決める例題も扱い、答えを選ぶ理由まで確かめられます。

よくあるのは、宿題のノートの余白に放物線を描き、頂点に丸を付けたところで、問題文の「1≦x≦4」を見て手が止まるという場面です。頂点の高さを答えればよいのでしょうか。それとも、xに1と4を代入するのでしょうか。平方完成の計算はできても、どの点を選ぶのかが決まらないと、最大・最小の問題は解き進められません。

この迷いは、式の形、グラフの形、調べてよい範囲という3つを分けて考えると整理できます。平方完成は頂点の場所を知るための計算です。定義域は、放物線のうち使ってよい部分を指定しています。その部分の中で最も高い点と最も低い点を探すことが、最大値・最小値を求める作業になります。

さらに軸の位置が文字で与えられていても、見るべき場所は同じです。端点と軸の位置を数直線上で比べれば、場合分けの境目を自分で作れます。計算の手順と点を選ぶ理由をつなげて、グラフから式を決めるところまで進めていきましょう。

この単元で身につけること

• 2次関数の形を見分けます。y=ax²+bx+cでa≠0という条件を確認し、aの符号から放物線の開く向きを判断します。
• 平方完成で頂点と軸を取り出します。y=a(x-p)²+qに直すと、頂点は(p, q)、軸は直線x=pと読めます。
• 平行移動を式と点の移動の両方で説明します。右へ動かすと式の中がx-pになる理由を、頂点が移る位置から確かめます。
• 定義域の中で最大・最小を求めます。端点だけでなく、頂点が指定された範囲に入るかどうかも調べ、値とそのときのxを組にして答えます。
• 軸が動く問題で場合分けを作ります。最小値には区間の両端、最大値には区間の中央が関係する理由を、軸からの距離で説明します。
• 条件に合う2次関数を決定します。頂点、軸、通る点のどれがわかっているかに合わせて、未知数の少ない式を選びます。

中学校で学んだy=ax²と展開公式が出発点です。新しく覚える式を増やすというより、左右や上下に移った放物線を、もとの形と結びつけて扱う単元だと考えると見通しが立ちます。

基本の考え方

放物線の形と、軸からの距離

xの値を決めるとyの値が1つに決まる関係が関数です。そのうちy=ax²+bx+cの形で表され、a≠0であるものを2次関数といいます。a=0なら2次の項がなくなってしまうため、2次関数には含めません。グラフは放物線と呼ばれる曲線になります。

最初にy=x²を考えます。xが-2、-1、0、1、2のとき、yは順に4、1、0、1、4です。xの符号が違っても絶対値が同じならyも同じになるため、グラフはy軸を境に左右対称になります。対称の中心となる直線を軸といい、軸と放物線の交わる折り返しの点を頂点といいます。y=x²の頂点は(0, 0)、軸はx=0です。

y=ax²では、a>0なら下に凸、a<0なら上に凸です。「下に凸」は下側に頂点があり、両側が上へ伸びる形を指します。aの絶対値が大きいほど、同じxに対するyの絶対値が大きくなり、放物線は細く見えます。aは直線の傾きのように、横へ1進むごとの一定の増加量を表す数ではありません。

これを移動した形がy=a(x-p)²+qです。x=pのとき、二乗の部分が0になるので、頂点は(p, q)です。pから左右に同じ距離だけ離れたxでは二乗の値が同じになるため、軸はx=pです。頂点は点なので座標で、軸は直線なので方程式で書き分けます。

図1のように、y=x²を右へ2、上へ1だけ平行移動するとy=(x-2)²+1になります。灰色の放物線の頂点(0, 0)が、紺色の放物線の頂点(2, 1)へ移っています。

図1では、移動後の放物線上の(1, 2)と(3, 2)が、軸x=2の左右に並びます。式に代入しても、(1-2)²+1=2、(3-2)²+1=2です。式と図の両方で同じ対称性を確かめられます。

右へ2動かすのにx-2と書くのは、移動後のx=2で二乗の中を0にするためです。一般に、グラフを右へh、上へkだけ動かすには、もとの式のxをx-hに置き換え、全体にkを足します。hやkは負でもよく、h=-3なら左へ3、k=-2なら下へ2という意味になります。たとえばy=2x²を左へ1、下へ3移せば、y=2(x+1)²-3です。

平方完成は、頂点が読める形への変形

y=x²+4x+1を見ただけでは、頂点の位置はすぐには読めません。そこでx²+4xの部分に注目し、(x+2)²=x²+4x+4を利用します。もとの式より4多いので、その4を引けば同じ値を保てます。

y=x²+4x+1=(x+2)²-4+1=(x+2)²-3

このように、二乗のまとまりと定数に分ける変形を平方完成といいます。xの係数4を半分にした2がかっこの中へ入り、その二乗4を補っています。頂点は(-2, -3)、軸はx=-2です。かっこの中に+2があるから頂点のx座標も2、と読まないことが大切です。

x²の係数が1でないときは、先にxを含む部分からその係数をくくります。たとえばy=2x²-8x+5なら、2(x²-4x)+5とします。次にx²-4x=(x-2)²-4を使うと、2{(x-2)²-4}+5=2(x-2)²-3となります。引いた4にも外側の2がかかるので、定数は-4+5ではなく-8+5です。

一般形では、y=a{x+b/(2a)}²+c-b²/(4a)となります。ただし、最初からこの形を丸暗記する必要はありません。「xの項までくくる」「かっこの中のxの係数を半分にする」「補った分を引く」という操作を行い、最後に展開してもとへ戻れば変形は確かめられます。分数が出たときも仕組みは変わりません。

定義域が決める、使ってよいグラフの部分

xが動いてよい範囲を定義域、その範囲のxに対応するyの値全体の範囲を値域といいます。最大値と最小値はyの値です。その値をとるxとは区別して、「x=2のとき最小値-3」のように答えます。

y=a(x-p)²+qでは、(x-p)²は軸からの横の距離を二乗したものです。a>0なら軸に近い点ほど低く、遠い点ほど高くなります。したがって最小値は、指定された範囲の中で軸に最も近いxでとります。最大値は軸から最も遠いxでとります。a<0なら、高さの順序が逆になります。

定義域が実数全体なら、a>0のとき最小値qをx=pでとり、最大値はありません。左右へいくらでも離れることができ、yも限りなく大きくなるからです。a<0なら最大値qをx=pでとり、最小値はありません。「最大値は∞」とは書かず、「最大値はない」と答えます。

端点を含む区間L≦x≦Rなら、まずx=Lとx=Rでの値を計算します。さらにL≦p≦Rなら頂点も候補に入れます。この候補の値を比べれば最大・最小が決まります。一方、0<x<1でのy=x²には最大値も最小値もありません。0や1にいくらでも近づけますが、その値には達しないためです。端点の等号があるかどうかは、計算を始める前に見ておきましょう。

例題で解き方を確かめる

例題1　平方完成してグラフの特徴を読む

y=2x²-8x+5の頂点と軸を求め、y=2x²をどのように平行移動したグラフか答えてください。また、y軸との交点を求めてください。

1. xを含む項から2をくくり、y=2(x²-4x)+5とします。二乗を作る前にx²の係数を1にそろえると、補う数が見つけやすくなります。
2. x²-4x=(x-2)²-4より、y=2{(x-2)²-4}+5=2(x-2)²-3とします。外側の2を定数にもかけ、式全体の値を変えないようにします。
3. 二乗の部分が0になるx=2を読み取ります。そのときy=-3なので頂点は(2, -3)、軸はx=2です。a=2のままなので、もとの放物線を右へ2、下へ3移したとわかります。
4. y軸上ではx=0なので、もとの式に0を代入します。y=5となり、交点は(0, 5)です。移動後の式でも2(0-2)²-3=5となり、結果が一致します。

答え：頂点(2, -3)、軸x=2、右へ2・下へ3の平行移動、y軸との交点(0, 5)です。

例題2　定義域のある最大値・最小値

y=x²-4x+1について、-1≦x≦4のときの最大値と最小値を、それぞれの値をとるxとともに求めてください。

1. y=(x-2)²-3と平方完成します。a=1>0なので下に凸であり、軸に近い点ほど低いと判断できます。
2. 軸はx=2で、-1≦2≦4が成り立ちます。頂点が定義域に入るため、x=2で最小値-3をとります。
3. 両端を調べます。x=-1ではy=1+4+1=6、x=4ではy=16-16+1=1です。区間の中で軸から最も遠い点は端点のどちらかなので、6と1を比べます。
4. 6>1より最大値は6です。図2のように、左端から軸までの距離は3、右端から軸までの距離は2なので、左端のほうが高いことも説明できます。

図2の太い紺色の曲線が、今回使ってよい部分です。頂点の赤い点と両端の緑の点を比べると、値域も-3≦y≦6と読めます。グラフ全体には最大値がなくても、使う範囲を区切れば最大値ができる点に注目してください。

答え：x=-1のとき最大値6、x=2のとき最小値-3です。

例題3　軸が動くときに場合分けする

tを実数とします。y=(x-t)²+1について、0≦x≦4のときの最小値と最大値を、tの値によって場合分けして求めてください。

1. tを1つ固定すると軸はx=t、頂点は(t, 1)です。xは区間内を動く変数、tはその都度グラフの位置を決める数、と役割を分けます。a=1>0なので、最小値は軸に最も近い点でとります。
2. 最小値を考え、軸が区間の左にあるt<0、区間に入る0≦t≦4、右にあるt>4の3つに分けます。t<0なら区間全体が軸の右側にあり、最も近いx=0で最小値t²+1です。0≦t≦4ならx=tで最小値1です。t>4なら最も近いx=4で最小値(4-t)²+1です。
3. 最大値は、軸から遠いほうの端点でとります。左端ではt²+1、右端では(4-t)²+1です。右端の値から左端の値を引くと、(4-t)²-t²=16-8t=8(2-t)となります。差の符号を調べれば、図の見た目に頼らず大小を決められます。
4. t<2なら差が正で右端が高く、t>2なら左端が高くなります。t=2なら両端の値が等しく5です。最小値の境目が0と4なのに対し、最大値の境目は区間の中央2になります。

答え：最小値はt<0でt²+1（x=0）、0≦t≦4で1（x=t）、t>4で(4-t)²+1（x=4）です。最大値はt<2で(4-t)²+1（x=4）、t=2で5（x=0, 4）、t>2でt²+1（x=0）です。

境目で答えが食い違わないことも確認します。t=0では左側の式t²+1も1になり、t=4では右側の式(4-t)²+1も1です。最大値の2つの式はt=2でどちらも5になります。等号をどちら側に含める書き方もできますが、境目を重ねたり抜かしたりせず、同じtで矛盾する値が出ないようにします。

例題4　条件から2次関数を決める

頂点が(1, -2)で、点(3, 6)を通る2次関数を求めてください。

1. 頂点がわかっているため、y=a(x-1)²-2と置きます。最初からy=ax²+bx+cと置く方法でも解けますが、頂点の形なら未知数はaだけになります。
2. 点(3, 6)を通るという条件から、x=3とy=6を同時に代入します。6=a(3-1)²-2=4a-2となり、8=4aよりa=2です。
3. y=2(x-1)²-2を得ます。展開するとy=2x²-4xです。頂点を確かめるには前の形、係数を確かめるには後の形が便利です。
4. x=3を戻すとy=8-2=6、x=1を戻すとy=-2になります。さらにa=2≠0なので、求めた式は2次関数という条件も満たします。

答え：y=2(x-1)²-2、すなわちy=2x²-4xです。

頂点がなく、軸x=pと2点がわかる場合にはy=a(x-p)²+qと置き、aとqを求めます。3点だけがわかる場合にはy=ax²+bx+cに各点を代入し、a、b、cについての連立方程式を解きます。たとえば(0, 1)、(1, 0)、(2, 3)を通るなら、c=1、a+b+c=0、4a+2b+c=3です。cを代入してa+b=-1、2a+b=1を得るので、a=2、b=-3、c=1です。求める式はy=2x²-3x+1となります。条件を代入した結果a=0になる場合は、条件に合う2次関数はないと判断します。

つまずきやすいところと直し方

二乗を補った分と、外側の係数を混同する

誤った書き方は「2x²-8x+5=2(x-2)²+1」です。x²-4xを(x-2)²に置き換えるために補った4を、そのまま全体から4だけ引いています。しかし、かっこの外には2があるので、全体では8増えています。

正しい書き方は「2x²-8x+5=2{(x-2)²-4}+5=2(x-2)²-3」です。暗算で定数だけを処理しようとせず、途中で波かっこを1行残すと、どこまで2をかけるかが見えます。誤った式へx=0を代入すると9となり、もとの式の5と違うので、代入でも誤りを見つけられます。ただし、1つのxで値が一致するだけでは恒等的に同じ式とはいえません。最後の確かめは展開して行いましょう。

定義域の外にある頂点を答えに使う

誤った書き方は「y=(x-3)²+2は、0≦x≦2で最小値2」です。確かに放物線全体の頂点は(3, 2)ですが、x=3は指定された範囲に入りません。使えない点の高さを答えにしているところが違います。

正しい書き方は「0≦x≦2では軸x=3に最も近いx=2のとき、最小値3」です。最大値は軸から最も遠いx=0で11になります。候補の点を計算した後ではなく、頂点を候補に加える時点で定義域を確かめると、不要な値を比較せずに済みます。

端点を含まない範囲にも注意が必要です。同じ式で0<x<2なら、yは3より大きく11より小さい範囲を動きます。3にも11にも達しないため、最大値・最小値はどちらもありません。「近づく値」と「実際にとる値」を分けて読む練習になります。

最大値も、軸が区間へ入るときに切り替える

誤った書き方は「例題3の最大値は、t<0、0≦t≦4、t>4の3つに分ければ、中央の範囲では常にx=4でとる」です。最小値の場合分けを、そのまま最大値にも当てはめています。ところがt=3なら、左端の値は10、右端の値は2です。軸が区間の中にあっても、どちらの端点が高いかは変わります。

正しい書き方は「最大値はt=2を境に分け、t<2では右端、t>2では左端、t=2では両端でとる」です。図3のように、区間の中央を軸が通るとき、両端が軸から等距離になります。図ではt=1、2、3の3つを並べて比べています。

図3の赤い点が最大値をとる端点です。t=1では右端、t=2では両端、t=3では左端に付きます。最小値を考えるときの問いは「頂点が使えるか」、最大値を考えるときの問いは「どちらの端点が軸から遠いか」です。問いが違うため、場合分けの境目も違います。

一般に、L≦x≦Rでa>0の放物線を考えると、最小値の切り替わりは軸がLとRを通るときに起こります。最大値をとる端点の切り替わりは、軸が(L+R)/2を通るときに起こります。a<0なら近い点ほど高くなるため、この最大・最小の役割が逆になります。係数の符号を確認せず、端点や頂点の選び方だけを覚えないようにしてください。

練習問題

どの問題でも、まず開く向き、軸、定義域をノートに書いてから計算してください。最大値と最小値を求める問題では、値だけでなく、その値をとるxも答えに含めます。図がなくても、横線に区間の両端と軸の位置を記すだけで、候補の選び方を確認できます。

練習1

y=-x²+6x-5を平方完成し、頂点と軸を求めてください。また、定義域が実数全体のときの最大値・最小値を答えてください。

練習2

y=-x²+2x+3について、-1≦x≦4のときの最大値と最小値を求めてください。

練習3

tを実数とします。y=(x-t)²-2について、1≦x≦3のときの最小値と最大値を、tによって場合分けして求めてください。

練習4

軸がx=-1で、点(0, 1)と点(1, 7)を通る2次関数を求めてください。

答えと解説

練習1：y=-(x-3)²+4です。頂点は(3, 4)、軸はx=3で、x=3のとき最大値4をとり、最小値はありません。計算は-(x²-6x)-5=-{(x-3)²-9}-5と進めます。外側が負なので、-9に-1をかけた結果は+9です。上に凸のグラフは軸から離れるほど低くなるため、実数全体では最小値を決められません。

練習2：x=1のとき最大値4、x=4のとき最小値-5です。y=-(x-1)²+4と直すと、頂点のx=1が定義域に入っています。両端ではx=-1でy=0、x=4でy=-5です。上に凸なので頂点が最も高く、軸から遠い右端が最も低くなります。値域は-5≦y≦4です。

練習3：最小値は、t<1のとき(1-t)²-2（x=1）、1≦t≦3のとき-2（x=t）、t>3のとき(3-t)²-2（x=3）です。最大値は、t<2のとき(3-t)²-2（x=3）、t=2のとき-1（x=1, 3）、t>2のとき(1-t)²-2（x=1）です。最小値は区間の両端1と3、最大値は中央2が境目です。右端の値から左端の値を引くと、(3-t)²-(1-t)²=8-4t=4(2-t)になり、t=2で大小が入れ替わることを計算でも確かめられます。

練習4：y=2(x+1)²-1、すなわちy=2x²+4x+1です。軸の条件からy=a(x+1)²+qと置き、2点を代入すると1=a+q、7=4a+qです。後の式から前の式を引けば6=3aなのでa=2、続いてq=-1です。頂点は(-1, -1)となり、軸と頂点の関係も条件に合っています。

次の単元へのつながりと家庭での確かめ方

2次関数のグラフを読めると、2次方程式は「グラフとx軸が交わるx」、2次不等式は「グラフがx軸より上または下にあるxの範囲」として考えられます。さらに数学IIで学ぶ微分法でも、増減を調べて最大・最小を求めます。今の段階で、値を計算することと、その値をとる点を選ぶことを分けておくと、扱う関数が変わっても考え方をつなげられます。

家で5分ほど確かめるなら、次の2つが取り組みやすい方法です。ノートを閉じてから説明し、言葉に詰まった場所だけを開き直してください。

• y=(x-2)²-3について、頂点、軸、左右に1離れた2点を描きます。頂点(2, -3)、軸x=2、2点(1, -2)と(3, -2)を式への代入と照らし合わせます。かっこの符号と頂点の位置が結びついているかを確認できます。
• 同じ式で、定義域を0≦x≦1から0≦x≦3へ変えます。前者の最小値はx=1で-2、後者はx=2で-3です。なぜ候補が変わったかを「頂点が範囲に入ったから」と説明できれば、定義域の役割を捉えられています。

保護者の方がお子さまのノートを見るときも、答えの数値だけでなく「そのxを選んだ理由」を聞くと、理解の場所が見えます。個別指導で確かめる際は、平方完成で止まるなら展開と分配法則まで戻り、点の選択で止まるなら数直線上に軸と区間を置くところまで戻って、原因を分けて確認します。

まとめ

最大・最小の答案で説明したいのは、計算できた数の一覧ではなく、その数が指定された範囲で一番高い、または低いといえる理由です。答えが違ったときも、平方完成、頂点を使えるかの判断、端点の比較のどこに戻るべきかが見えれば、直す作業は具体的になります。

軸が動く問題の長い場合分けも、1本の数直線の上では「端を通った」「中央を通った」という位置の変化です。場合分けの境目は覚える数字ではなく、答えをとる点が切り替わる場所です。

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