【小5算数】角柱と円柱を図解で総まとめ—底面・側面と展開図｜武蔵野個別指導塾

三角柱の面・辺・頂点の数から、円柱に巻く紙の長さまで、見取図と展開図で確かめます。底面を見つける手順と、直径から側面の長方形の横を求める例題を、親子で組み立てながら理解できます。

よくあるのは、工作用の箱を並べた居間の床で、三角柱を横に倒したとたん「底面は、床についている長方形ですか」と手が止まる場面です。「底」という言葉から、いちばん下の面を探したくなるのですね。けれども、算数でいう底面は、置いたときの下側だけを指す言葉ではありません。

立体を調べるときは、まず形と大きさが同じで、平行に向かい合っている面を探します。そこが決まると、立体の名前も、側面の数も見えてきます。さらに、箱を切り開いた図を考えると、紙のどの辺とどの辺がぴったり合うのかも説明できます。

角柱と円柱は、多くの教科書では5年生で学びます。ここでは立体の見方から始め、最後は円柱に巻く紙の長さまで求めます。絵を見た印象だけで答えず、面や辺を指しながら理由をたどっていきましょう。

この単元で身につけること

• 底面と側面を見分けます。平行な2つの合同な面を底面とし、その間を取り囲む面を側面として調べます。
• 底面の形から名前を決めます。底面が三角形なら三角柱、五角形なら五角柱、円なら円柱です。
• 角柱の頂点・辺・面を数えます。手前に見える部分だけでなく、奥に隠れた部分も、底面と側面に分けて数えます。
• 見取図と展開図を読み分けます。立体の様子を表す図と、面を平面に開いた図では、確かめやすいことが違います。
• 展開図で辺の長さをつなげます。側面を帯のように開いたときの長さは、底面の周りの長さと結びついています。

これまでに学んだ直方体・立方体や、平面図形の合同、円周の長さが、この単元の土台になります。特に「同じ形に見える」だけでなく「重ねるとぴったり合う」という合同の意味を思い出しておくと、底面を正しく探せます。

基本の考え方

底面を決めると名前が決まる

ここで扱う角柱は、平行な2つの合同な多角形を底面とし、それらを長方形の側面でつないだ立体です。三角形の底面が2つあるものを三角柱、四角形なら四角柱といいます。「三角」は、見える面の数ではなく底面の形を表しています。底面が正三角形でなくても、三角形なら三角柱です。

円柱では、底面は平行な2つの合同な円です。側面は、缶の周りのように曲がった面で、曲面といいます。底面どうしの間の垂直な距離を、角柱でも円柱でも高さといいます。横に寝かせても底面の組は変わらず、その組に対する高さも変わりません。

図1のように底面を同じ色にすると、側面と区別しやすくなります。立体を紙に描いた図では、円がつぶれて見えたり、長方形が斜めの四角形に見えたりしますが、実際の面の形とは分けて読みます。

図1の三角柱は、上下の三角形が底面です。右の円柱も上下の円が底面で、その間の曲面が側面です。直方体と立方体も四角柱の仲間ですが、底面にできる向かい合った面の組が複数あります。問題で底面が示されたら、その面に合わせて高さを決めます。

頂点・辺・面は場所を分けて数える

角柱では、平らな面と面の境目の線分が辺、辺が集まる角の点が頂点です。三角柱の頂点は、片方の底面に3個、もう片方に3個あるので、3×2=6個です。辺は、底面の周りに3本ずつあり、さらに底面どうしをつなぐ辺が3本あるので、3×2+3=9本です。

面は、2つの底面と3つの側面を合わせて、2+3=5つです。底面の三角形の1辺につき、側面の長方形が1つつきます。この対応がわかると、五角柱や六角柱でも、見えない線を探し回らずに数えられます。五角柱なら側面は5つ、六角柱なら側面は6つです。

円柱には、角柱のような頂点や直線の辺はありません。底面と側面の境目は円になっています。曲がった境目を、三角柱の辺と同じ線分として数えないようにしましょう。円柱を囲む面は、平らな底面が2つと、曲がった側面が1つです。

見取図は立体の様子、展開図は面のつながり

立体の形がわかるように描いた図を見取図といいます。見えない辺はふつう点線で描きます。見取図は奥行きを表すため、実物で同じ長さの辺が、紙の上では違う長さになることがあります。定規で絵を測るより、書かれた長さや面の関係を読み取ります。

一方、立体の面を切り開いて平面に広げた図が展開図です。角柱の側面をつなげて開くと、長方形が横に並んだ帯になります。帯の縦は角柱の高さ、横の合計は底面の周りの長さです。底面がどの長方形につくかは、切り開く場所によって変わります。

円柱の側面も、まっすぐ切って開くと長方形になります。底面の円は曲面ではなく平らな面なので、展開図でも円です。側面の長方形の横は円の直径ではなく円周に等しくなります。底面の周りを1周して、切り口どうしが出会う長さだからです。

例題で解き方を確かめる

例題1　五角柱の頂点・辺・面を数える

底面が五角形の角柱があります。頂点、辺、面は、それぞれいくつありますか。見取図がなくても、底面を2つに分けて考えると答えられます。

1. 頂点を数えます。五角形の頂点は5個で、底面が2つあるので、5×2=10個です。つなぐ途中には新しい頂点はできません。
2. 辺を数えます。底面の辺が5×2=10本、底面どうしをつなぐ辺が5本なので、10+5=15本です。底面の辺だけで終えないようにします。
3. 面を数えます。底面は2つ、側面は底面の辺に1つずつついて5つです。したがって、2+5=7つです。

答え：頂点は10個、辺は15本、面は7つです。

「面は5つ」と答えてしまったら、側面だけを数えていないか調べます。名前の五角柱の「五」は、底面の角の数を表し、面全体の数ではありません。

例題2　三角柱の側面を開く

底面の三角形の辺が3cm、4cm、5cmで、高さが6cmの三角柱があります。側面だけをひと続きの長方形に開いたとき、縦と横は何cmですか。縦を三角柱の高さに当たる向きとします。

1. 底面の辺と側面の対応を調べます。側面は、横が3cm、4cm、5cmの長方形が1つずつです。どれも縦は高さに等しい6cmです。
2. 横の長さを足します。3つの側面は横につながるので、3+4+5=12cmになります。底面の周りをひと回りした長さと同じです。
3. 縦と横を区別して書きます。縦は6cmのままで、横だけが12cmです。つなげる向きにある辺の長さを足すのが理由です。

答え：縦6cm、横12cmです。

図2のように、側面の長方形をそれぞれ底面の辺の長さに合わせて並べます。上下の三角形は合同で、底面になります。赤い線は折り目で、実際に組み立てると立体の辺になる線です。

図2では、三角形の3cmの辺が、横3cmの長方形につながっています。3cmの辺の右の端からのびる4cmの辺は横4cmの側面に、残りの5cmの辺は横5cmの側面に、折り上げるとぴったり合います。底面を足すために、帯の横の長さへ三角形の辺をもう一度足す必要はありません。

例題3　円柱に巻く紙の長さを求める

直径8cm、高さ10cmの円柱の側面を、長方形の紙でちょうど1周包みます。上下にはみ出さず、重なる部分もすき間も作らないとき、紙の縦と横は何cmですか。縦を円柱の高さに当たる向きとし、円周率は3.14とします。

1. 縦を決めます。紙の上端と下端を底面の位置に合わせるので、縦は高さと同じ10cmです。ここでは円の直径を使いません。
2. 横を決めます。紙は底面の周りを1周するので、横は円周と同じです。直径×円周率で、8×3.14=25.12cmと求めます。
3. 条件を確認します。重なる部分がないので、25.12cmに余分な長さを足しません。また、側面だけを包むので円形の紙は必要ありません。

答え：縦10cm、横25.12cmです。

もし「のりしろを横に1cmつける」という条件があれば、横は25.12+1=26.12cmです。ただし、この例題ではのりしろをつけません。文章題では、どこを包むのか、余分な部分があるのかを最後に読み直すと、計算した長さを正しく使えます。

つまずきやすいところと直し方

床についている面を底面にする

間違った書き方は「三角柱を寝かせたので、底面は長方形」です。置き方で名前まで変わると考えているところが違います。三角柱を回しても、向かい合う2つの三角形は合同で平行なままです。

正しい書き方は「底面は2つの三角形で、長方形は側面」です。床をいったん気にせず、向かい合う同じ形の面を探してください。実物を回しながら同じ2面を指すと、位置と役割の違いを確かめられます。

見えている辺だけを数える

間違った書き方は「三角柱の辺は、見える線を数えて8本」です。奥の見えない辺も立体の辺なので、絵の実線だけを数えると足りなくなります。点線があっても、それは辺が途切れているという意味ではありません。

正しい書き方は「底面の辺が3本ずつ、つなぐ辺が3本で、3+3+3=9本」です。数えた辺を底面の周りと、底面どうしをつなぐ部分に分けて印をつけると、数え落としと二重に数える間違いを防げます。面の数と辺の数も、別々に書いておきましょう。

円柱の側面の横を直径にする

間違った書き方は「直径8cmだから、側面の長方形の横は8cm」です。直径は円の中をまっすぐ横切る長さで、紙が巻きつく道のりではありません。図3のように、側面の長方形の横は、円の周りに対応しています。

正しい書き方は「横は底面の円周なので、8×3.14=25.12cm」です。図3の赤い上辺を、上の円の周りに沿わせると考えてみましょう。円は長方形の横いっぱいに広がるのではなく、円周の長さが横に等しいのです。半径が示された問題なら、先に半径×2で直径に直してから3.14をかけます。

練習問題

円周率は3.14とします。先に底面の形を言ってから、式と答えを書いてみましょう。

練習1

六角柱の頂点、辺、面の数を求めましょう。

練習2

底面が1辺4cmの正方形、高さが7cmの四角柱があります。側面をひと続きに開いた長方形の縦と横は何cmですか。縦は高さに当たる向きです。

練習3

底面の半径が3cm、高さが9cmの円柱に紙を1周巻きます。側面だけを包み、重なる部分がないとき、紙の縦と横は何cmですか。縦は高さに当たる向きです。

答えと解説

練習1：頂点12個、辺18本、面8つです。頂点は6×2=12個、辺は6×2+6=18本、面は底面2つと側面6つで2+6=8つです。

練習2：縦7cm、横16cmです。横は底面の周りの長さなので、4×4=16cmです。高さの7cmは、4枚の側面に共通する縦の長さです。

練習3：縦9cm、横18.84cmです。直径は3×2=6cm、円周は6×3.14=18.84cmです。半径の3cmをそのまま3.14倍すると、必要な横の長さの半分になります。

次の単元へのつながりと家庭での確かめ方

底面を決めて高さを読む力は、6年生で角柱や円柱の体積を考えるときにも使います。また、展開図でどの辺が重なるかを追う練習は、面の広さを調べる学習につながります。

家では5分ほどで、次の2つを試せます。まず空き箱を回し、底面として選んだ2面を交互に指します。次に円柱形の容器に紙帯を巻き、1周の位置に印をつけて開きます。直径と紙帯の長さを比べると、横が直径より長いことを実感できます。

お子さまが長さで迷ったら、個別指導では式の前に「どこを1周するか」まで戻って確かめます。底面の判断で迷う場合は、平面図形の合同や、平行な面の見方から確認します。

まとめ

立体の問題では、計算を急ぐ前のひと手間が役に立ちます。底面を2つ指し、つながる辺をたどり、開いたときにどこへ動くかを考えるのです。答えが合っていても、使った長さを図の上で指せるか、もう一度確かめてみましょう。

箱の向きが変わっても、展開図の並び方が変わっても、つながる辺の長さは変わりません。「この辺は、組み立てるとここに重なる」と説明できたとき、平らな図と立体がつながります。側面の横の長さを決めるのは、見た目の幅ではなく底面を1周する道のりです。