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高校物理電磁誘導—磁束の変化とレンツの法則から起電力と電流を決める｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.13更新 2026.11.13武蔵野個別指導塾の特徴高校の定期テスト物理単元別

動く導体棒の起電力から電流と外力を求め、外力の仕事と抵抗の発熱を照合します。磁場が反転する場合も、符号を付けた磁束の変化から電流の向きを判断できます。

よくあるのは、コイルを貫く磁場が強くなったとき、誘導電流も同じ向きの磁場をつくると考える場面です。変化に応じて現れる電流の向きは、元の磁場の向きだけでは決まりません。増えているのか減っているのかを先に調べ、変化を妨げる向きから電流を決めます。

磁石とコイルの問題でも、レール上の棒の問題でも、この順番を使えます。磁束の符号、大きさ、変化にかかった時間を分けて書き、最後に電流の向きとエネルギーの行き先を点検しましょう。

試験で拾いたい3種類の変化

1つ目は、面を貫く磁場の強さや向きが変わる問題です。磁束の変化量を求め、変化にかかった時間で割って平均の誘導起電力を出します。向きは、コイルがつくる磁場を介して決めます。巻数があるときは、1巻きあたりの磁束と巻数の積を忘れないようにします。

2つ目は、磁場中で導体棒を動かす問題です。回路の面積が変わるため、一定の磁場でも磁束は変化します。起電力から電流を出した後、棒に働く磁力と外力のする仕事を調べることもあります。棒が等速かどうかが力のつり合いを使う分かれ目です。

3つ目は、コイル自身の電流が変わる自己誘導や、近くの別のコイルに起電力が生じる相互誘導です。どちらも磁束の変化によりますが、変化の原因となる電流がどちらのコイルを流れるかを区別します。交流回路の位相や変圧器の詳しい計算には立ち入りません。

磁束の向きと変化を別々に見る

面を貫く磁束は、磁場が一様で、平らな面の全体に同じようにかかるとき、面積を S、磁束密度を B、磁場と面の法線との角を θ として Φ = BS cos θ です。法線は面に垂直な向きで、2方向から正とする側を選びます。磁束の単位は Wb、磁束密度の単位は T、面積の単位は m² です。角度を面そのものから測ると、式に入れる角度が変わるので注意します。

図1のように、紙面の奥向きを正の法線とし、磁場が奥向きに強くなっているとします。面積が一定なら正の磁束は増加します。その変化を妨げるため、誘導電流は手前向きの磁場をつくります。右手の指を電流の向きに曲げたとき親指が手前を指すので、紙面から見た電流は反時計回りです。

図1では、元の磁場と誘導磁場の向きが逆です。ところが、元の奥向き磁場が弱まる場合は、奥向き磁束の減少を妨げるため誘導磁場も奥向きになります。「元の磁場に逆らう」と覚えると後者で誤ります。磁束が一定なら、磁場が存在していても誘導起電力は生じません。

N 巻きのコイルで各巻きの磁束が同じように変わる場合、平均の誘導起電力の大きさは N × |ΔΦ| / Δt です。ΔΦ は終わりの磁束から初めの磁束を引いた符号つきの変化量、Δt はその時間です。符号まで扱う式は、選んだ法線と右ねじで対応させた回路の周回方向を正にすると、平均起電力 = -NΔΦ / Δt です。負号は変化を妨げる向きを表します。

絶対値の式で求まるのは大きさです。電流の向きは別にレンツの法則で決め、回路が閉じていれば抵抗を使って求めます。回路が切れている場合にも起電力は生じますが、切れ目を通る定常電流は流れません。磁束が曲がり角を含む時間変化をするときは、区間ごとの平均と、その瞬間の変化の速さを区別します。

動く棒の起電力を力と発熱までつなぐ

例題です。図2のように水平面上の平行な2本のレールを左端の抵抗でつなぎ、右側を導体棒で閉じます。レール間隔と棒の長さは 0.40 m、回路全体の抵抗は 0.60 Ω です。紙面の奥向きに一様な磁束密度 0.50 T の磁場があり、棒を右向きに 3.0 m/s の一定の速さで動かします。棒はレールに垂直で接触を保ち、レールと棒の抵抗および摩擦は無視します。棒が磁場内にある間の起電力と電流の大きさ、電流の向き、必要な水平外力の大きさと向き、抵抗での発熱の電力を求めます。答えは小数で示し、単位と向きを付けてください。

図2のように棒が右へ進むと、閉じた面の面積が増えます。奥向きの磁束が増えるため、誘導磁場は手前向き、電流は反時計回りです。棒では下から上へ流れ、抵抗では上から下へ流れます。

棒が時間 Δt の間に進む距離は 3.0Δt m です。面積の増加は 0.40 × 3.0Δt = 1.2Δt m² なので、磁束の増加は 0.50 × 1.2Δt = 0.60Δt Wb です。1周の回路ですから、起電力の大きさは次のようになります。

起電力 = 0.60Δt / Δt = 0.60 V

棒の長さ、速さ、磁場が互いに垂直なこの条件では、同じ結果を Bℓv = 0.50 × 0.40 × 3.0 = 0.60 V とも書けます。回路の抵抗で割ると、電流は 0.60 / 0.60 = 1.0 A です。1周の電位変化を棒で 0.60 V 上昇、抵抗で 1.0 × 0.60 = 0.60 V 下降として足すと 0 になり、閉回路の条件に合います。

棒を流れる電流は上向き、磁場は奥向きです。電流が磁場から受ける力は左向きで、大きさは B I ℓ = 0.50 × 1.0 × 0.40 = 0.20 N です。等速なので水平の合力は 0 です。したがって外力は右向きに 0.20 N 必要です。誘導電流が棒の運動を妨げる向きにもなっています。

抵抗での発熱の電力は I²R = 1.0² × 0.60 = 0.60 W です。外力のする仕事の割合は Fv = 0.20 × 3.0 = 0.60 W となり、発熱と一致します。電流を得るためのエネルギーは、棒を動かす外力の仕事から供給されます。速さを一定に保つという条件がないと、外力を単純に磁力と等しいと置けません。

磁場が反転するときと誘導の分かれ目

次は向きの反転を含む例題です。面積 0.030 m² の平面コイルが 20 巻きあり、全抵抗は 7.0 Ω です。面の正の法線を紙面の奥向きとし、一様な磁場は面に垂直です。磁束密度が奥向きの 0.40 T から手前向きの 0.10 T まで、0.20 s の間に一定の割合で変化します。コイルは閉じて静止し、自己誘導の影響は無視します。この間の誘導起電力と電流の大きさを小数で、電流は小数第2位まで、向きは紙面から見た時計回りまたは反時計回りで答えてください。

正の法線に対し、初めの磁束密度は +0.40 T、終わりは -0.10 T です。1巻きあたりの磁束は初め 0.030 × 0.40 = 0.012 Wb、終わり 0.030 × (-0.10) = -0.0030 Wb です。よって変化量は -0.0030 − 0.012 = -0.015 Wb です。向きが逆になった磁場の大きさをそのまま引くと、途中の反転を落としてしまいます。

起電力の大きさは 20 × 0.015 / 0.20 = 1.5 V、電流の大きさは 1.5 / 7.0 = 1.5/7.0 A、すなわち約 0.21 A です。電流は小数第2位までに丸めます。奥向きを正とした磁束は一定の割合で減るので、減少を妨げる誘導磁場は奥向きです。紙面から見た電流は時計回りです。

答えを元の変化に戻します。1巻きの磁束変化は -0.015 Wb、20巻きでは -0.30 Wb です。0.20 s で割ると符号つきの変化率は -1.5 Wb/s です。正の周回方向を時計回りに選ぶと、起電力は +1.5 V で、求めた時計回りと一致します。丸める前の電流 1.5/7.0 A では抵抗の電圧降下が 1.5 V となります。

磁場が 0 になる瞬間でも、この例では磁束の変化が続いているため起電力は 0 ではありません。一方、磁場が強くても一定なら起電力は 0 です。瞬間の磁束の値と変化の速さは異なる量です。一定の割合という条件がない場合、両端の値から求まるのは平均の起電力で、各瞬間の値は決められません。

自己誘導では、コイル自身の電流がつくる磁束の変化を妨げる起電力が同じコイルに現れます。自己インダクタンスを L、電流の変化量を ΔI とすると、平均起電力の大きさは L × |ΔI| / Δt です。電流が増えると増加を抑える向き、減ると減少を抑える向きです。電流そのものに常に逆向きとは限りません。

相互誘導では、片方のコイルの電流変化がもう片方を貫く磁束を変えます。結合の状態を一定とし、相互インダクタンスを M とすると、もう片方に生じる平均起電力の大きさは M × |ΔI| / Δt です。向きは巻き方と配置を使い、変化する磁束を妨げる向きに決めます。L と M の単位は H で、電流が一定なら、一定の結合の下でこれらの誘導起電力は 0 です。

誤答を磁束の変化まで戻して直す

「奥向きの磁場が弱くなるので、誘導磁場は手前向き」という答えを考えます。図3の左側のように、元の磁場と逆向きにすればよいと判断すると、奥向き磁束の減少をさらに進めてしまいます。レンツの法則が妨げるのは、磁場の存在そのものではなく磁束の変化です。

図3の右側では、弱まる奥向き磁場を補うように誘導磁場を奥向きにします。電流は紙面から見て時計回りです。答案には「奥向きの磁束が減少するため、誘導磁場は奥向き」と理由を1行書くと、矢印が正しくなった理由を確かめられます。

別の失敗は、角度を見ずに磁束を BS とすることです。磁場が面に平行なら面を貫かず、法線との角は 90 度なので磁束は 0 です。斜めなら法線方向の成分 B cos θ を使います。また、巻数を落とすと起電力は1巻き分になり、単位の換算を落とすと面積の誤りが2乗に広がります。cm で与えられた長さは m に直してから面積を求めます。

棒の問題では、電流を求めて終えると、向きの誤りが残ることがあります。磁力が運動を助ける向きになったら、磁束の増減と右ねじの向きを再確認します。外力の仕事と発熱が合わないときは、回路全体の抵抗、棒に働く力、速さを一定とする条件を順に調べます。回路が開いている問題に抵抗で割る手順をそのまま適用することも避けます。

練習問題

各問の磁場は指定された面に一様で、時間変化は各区間で一定の割合とします。求める数値は小数で表し、問3で指定された丸めを除いて、与えた数値から計算できる桁を示してください。

面積 0.020 m² のコイルが 50 巻きあり、全抵抗は 3.0 Ω です。紙面の奥向きに垂直な磁束密度が 0.10 T から 0.40 T に 0.50 s で増えます。閉回路で自己誘導を無視し、平均起電力と電流の大きさ、紙面から見た電流の向きを求めてください。
平行レールと抵抗、棒で閉じた水平な回路があり、棒の長さは 0.25 m、全抵抗は 2.0 Ω です。紙面の奥向きの一様な磁束密度は 0.80 T、棒はレールに垂直のまま右へ 2.0 m/s で等速移動します。棒とレールの抵抗、摩擦は無視します。起電力、電流、水平外力の大きさと向き、発熱の電力を求めてください。棒は磁場内にあり、右へ動くと回路の面積が増えます。
自己インダクタンス 0.40 H のコイルで、ある向きの電流が 3.0 A から同じ向きの 1.0 A に 0.20 s で減ります。他の効果を無視し、平均の自己誘導起電力の大きさと、電流を増やそうとする向きか減らそうとする向きかを答えてください。小数第1位まで示してください。
固定した2つのコイルの相互インダクタンスは 0.060 H です。1次コイルの電流が 0 A から 2.0 A に 0.30 s で増え、この電流による2次コイルを貫く磁場は紙面の奥向きに増えます。2次コイルは閉じており、自己誘導は無視します。2次コイルの平均誘導起電力の大きさと、紙面から見た電流の向きを答えてください。

練習の答えと途中式

奥向きを正の法線とすると、1巻きの磁束の増加は 0.020 × (0.40 − 0.10) = 0.0060 Wb です。起電力は 50 × 0.0060 / 0.50 = 0.60 V、電流は 0.60 / 3.0 = 0.20 A です。増える奥向き磁束を妨げる手前向き磁場をつくるので、電流は反時計回りです。電流による抵抗の電圧降下は 0.20 × 3.0 = 0.60 V で、起電力とつり合います。巻数を含めた磁束変化 0.30 Wb を 0.50 s で割っても 0.60 V です。
起電力は 0.80 × 0.25 × 2.0 = 0.40 V、電流は 0.40 / 2.0 = 0.20 A です。奥向き磁束が増えるため、電流は反時計回りで、棒では上向きです。棒への磁力は左向きに 0.80 × 0.20 × 0.25 = 0.040 N です。等速を保つ外力は右向きに 0.040 N です。発熱の電力は 0.20² × 2.0 = 0.080 W、外力の仕事の割合も 0.040 × 2.0 = 0.080 W です。抵抗の電圧降下 0.20 × 2.0 = 0.40 V も起電力に一致します。
電流の変化量は 1.0 − 3.0 = -2.0 A です。平均起電力の大きさは 0.40 × 2.0 / 0.20 = 4.0 V です。減少を妨げるので、元の電流を増やそうとする向きです。逆に電流が同じ割合で増えていれば、起電力の大きさは同じでも、向きは増加を抑える向きになります。4.0 / 0.40 = 10 A/s と戻すと、2.0 A を 0.20 s で減らす割合に合います。
1次電流の変化は 2.0 A です。2次の平均起電力は 0.060 × 2.0 / 0.30 = 0.40 V です。2次コイルを貫く奥向き磁束が増えるので、手前向き磁場をつくる反時計回りの電流が流れます。起電力 0.40 V に 0.30 s を掛けると、2次コイルの巻数を含めた磁束変化の大きさ 0.12 Wb です。これは 0.060 × 2.0 = 0.12 Wb と一致します。2次の抵抗は与えられていないので、電流の大きさは決められません。