高校物理 ローレンツ力—電荷の符号を確かめて磁場内の円軌道と半径を求める｜武蔵野個別指導塾

電子の曲がる向きや速度選別を、力の図と円軌道の式で読み解く鍵がローレンツ力です。

よくあるのは、高校生が磁場へ入る電子に、同じ速度の正電荷と同じ向きの磁力を描くという場面です。力の大きさの式には電荷の大きさを使うため、計算が合っていても軌道は反対側に曲がりえます。まず磁場と速度の向きから正電荷の場合を決め、電子では反転するという順番を答案に残しましょう。

問題の入り口を見分ける

1つ目の型は、一様な磁場に垂直に入った粒子の曲がる向き、円の半径、周期を求める問題です。向きを調べてから、磁力を円の中心向きの合力として運動方程式に入れます。円の中心は入射点そのものではなく、入射点から力の向きに半径だけ離れた位置です。

2つ目は電場と磁場を重ね、粒子が曲がらずに進む条件を求める問題です。電気力と磁力の向きが反対になっているかを図で確かめ、大きさを等しくします。大きさだけが等しくても、同じ向きの2つの力は打ち消し合いません。

3つ目は、磁場と速度のなす角が変わる場合や、磁場が仕事をするかを問う問題です。磁場に平行な速度成分は磁力を受けず、垂直な成分が曲がる運動に関係します。ここでは垂直入射の円運動を中心に扱い、らせんの詳しい軌道計算は行いません。

磁力の向きと大きさを分ける

磁束密度の大きさを B、粒子の電荷を q、速度の大きさを v、速度と磁場のなす角を θ とします。磁力の大きさ F は F = |q|vB sin θ です。|q| は電荷の符号を除いた大きさです。速度が磁場に垂直なら sin θ = 1、平行または反平行なら sin θ = 0 です。斜めの場合は、速度のうち磁場に垂直な成分 v sin θ を使います。

図1のように、紙面の奥向きの磁場は丸に十字、手前向きは丸に点で表します。右向きに進む正電荷に対し、紙面の奥向きの磁場は上向きの磁力を及ぼします。同じ速度の電子は負電荷なので磁力が下向きです。丸と点は矢の先がこちらに見える様子、十字は矢の羽を背後から見る様子として区別できます。

図1の矢印は入射した瞬間の向きです。正電荷については、右手の指を速度から磁場へ回すと親指が力の向きを示します。電子にはその逆向きを描きます。学校でフレミングの左手を用いる場合も、電流の向きには正電荷の移動方向を対応させ、電子の速度とは逆向きにしてください。

磁力はその瞬間の速度に垂直です。進路を曲げますが、進む方向に力の成分を持たないため、磁力のする仕事は0です。磁力以外に仕事をする力がなければ運動エネルギーと速さは変わりません。一方、速度の向きは変わり続けるので、速度が一定とはいえません。

電場の大きさを E とすると電気力の大きさは |q|E です。正電荷は電場と同じ向き、負電荷は逆向きに力を受けます。静止している粒子にも電気力は働きますが、静止している粒子への磁力は0です。電気力は進行方向の成分を持つことがあり、磁力と違って速さを変える場合があります。

磁力の式を使う前には、場の向きと粒子の速度が同じ平面にあるかも確認します。紙面に描かれた矢印と、紙面を貫く磁場の記号を混同すると、直角なのか平行なのかが変わってしまいます。B の単位 T はテスラ、電荷の C はクーロンです。計算では問題に与えられた量を SI 単位に直してから代入します。

円運動の半径は、速さが0でなく、垂直な磁力が他の力によって打ち消されない場合に考えます。粒子が静止しているなら磁力は0で、円を回る周期をこの式から求める場面ではありません。電場が同時にある場合も、磁力だけを中心向きの合力と決めつけず、まず力を合成します。

基本例題：円の中心と半径

質量 4 kg、電荷 +2 C の粒子が、紙面に垂直で奥向きの一様な磁場に、紙面内を右向きに速さ 3 m/s で入ります。磁束密度は 0.5 T とし、磁力以外の力は無視します。磁場は十分広く、粒子は磁場内にとどまります。入射点での力の向き、軌道の半径を m、周期を s で求め、数値は整数または π を残す形で答えてください。これらは計算用に設けた条件です。

図2のように、正電荷に働く入射直後の磁力は上向きです。磁場は紙面の奥向きなので、右向きの速度との関係から力は上を向きます。円の中心は入射点の真上にあり、粒子はそこへ向かって曲がり始めます。力は移動する粒子の各点で中心向きに変わります。

速度と磁場は垂直なので、入射時の磁力の大きさは

F = |q|vB = 2 × 3 × 0.5 = 3 N

です。この力が円運動に必要な中心向きの合力です。向心力という別の力を磁力に足すのではありません。半径を r として運動方程式を立てると

mv² / r = |q|vB

4 × 3² / r = 3

r = 12 m

となります。速さが0でないので、両辺を v で割って r = mv / (|q|B) としても同じです。質量や速さが大きいほど曲がりにくく、電荷の大きさや磁場が大きいほど半径は小さくなります。この比較は他の量を固定したときに成り立ちます。

1周の道のりは 2πr なので、周期 T は

T = 2πr / v = 2π × 12 / 3 = 8π s

です。式に半径を代入すれば T = 2πm / (|q|B) です。同じ質量・電荷の大きさ・磁場なら速さが変わっても周期は変わりません。速くなると円周も同じ割合で長くなるためです。

答えを条件に戻すと、半径 12 m の円を速さ 3 m/s で回るのに必要な合力は 4 × 3² / 12 = 3 N です。これは与えた磁場での磁力と一致します。1周後に進んだ距離も 3 × 8π = 24π m で、円周 2π × 12 m と合います。磁力は各点で速度に垂直なので、速さ 3 m/s のまま進むという条件とも矛盾しません。

電場を加えるときの分かれ目

質量 2 kg、電荷 -1 C の粒子が、紙面内を右向きに進みます。磁束密度 2 T の一様な磁場は紙面の奥向き、電場は紙面内で下向き、その大きさは 6 N/C です。両方の場は十分広く一様で、他の力は無視します。粒子が曲がらず等速で進む速さを m/s で求め、直進中に電場を取り除いた後の円の半径を m で求めてください。答えは整数とし、問題の値は計算用の条件とします。

電子と同じ負の電荷ですから、電気力は下向きの電場とは逆の上向きです。右向きの速度と奥向きの磁場がつくる正電荷への磁力は上向きなので、この粒子への磁力は下向きです。2つの力が反対向きになっているため、大きさを等しくすれば直進できます。速さを u と置くと

|q|E = |q|uB

1 × 6 = 1 × u × 2

u = 3 m/s

です。電場を取り除く瞬間には速度がまだ右向きで、速さも 3 m/s です。その後は下向きの磁力が円の中心を示し、半径 R は

R = mu / (|q|B) = 2 × 3 / (1 × 2) = 3 m

となります。直進中は電気力と磁力がともに 6 N で反対向きです。電場を除いた後に必要な中心向きの力も 2 × 3² / 3 = 6 N となり、磁力の大きさに戻ります。

この条件で速さが 3 m/s より大きければ、下向きの磁力が上向きの電気力を上回るので、入射直後は下に曲がります。3 m/s より小さい正の速さなら電気力が勝ち、初めは上に曲がります。これは入射直後の判断です。曲がった後は速度の向きが変わるので、磁力の向きをその都度考えます。

もし電場が上向きなら、負電荷への電気力は下向きで、入射時の磁力も下向きです。両者の大きさを等しくしても合力は0にならず、右向きの正の速さで直進する条件は得られません。速度選別では E / B を計算する前に、力が向かい合う配置か調べることが欠かせません。

逆向きに曲げてしまった答案を直す

例えば図3の条件で、電子の力を上向きと答えたとします。右向きの速度と奥向きの磁場から正電荷への力を求めたところまでは合っていますが、その結果を負電荷にもそのまま使ったことが原因です。電荷の符号を見て、正電荷の向きから反転させると下向きに直せます。

図3では曲がり始める向きも下です。電子の進行方向に沿って力を描くと、速さが変わるという別の誤りにつながります。磁力の矢印が速度と直角か、円の中心へ向いているかを最後に見直してください。

もう1つの誤答は、負電荷の q をそのまま半径の式に入れ、負の半径を答えることです。r = mv / (|q|B) の |q| は正の大きさなので、半径も正です。負の符号が担うのは曲がる向きの判定であり、長さの符号ではありません。向きと大きさを別々に書くと、どこで符号を使ったか追いやすくなります。

磁場に平行に入る場合にも、機械的に r = mv / (|q|B) を当てはめてはいけません。この式は垂直入射で、磁力が円の中心向きに働く場合に導いたものです。平行入射なら磁力は0で、他の力がなければ直進します。磁力が0という条件を先に調べれば、存在しない円の半径を求めずに済みます。

練習問題

いずれも重力など記載のない力を無視し、場は一様で十分広いものとします。数値は計算用の条件です。方向は紙面を正面から見て答え、数値は整数または π を残す形で、指定の単位を付けてください。

1. 質量 6 kg、電荷 +3 C の粒子が、紙面の手前向きの磁場 2 T に、紙面内を右向きの速さ 4 m/s で垂直に入ります。入射直後の磁力の向き、円の半径 m、周期 s を求めてください。
2. 電荷 +2 C、質量 3 kg の粒子が紙面内を右に進みます。紙面の奥向きに 3 T の磁場、紙面内の下向きに 12 N/C の電場があります。直進する速さを m/s で求め、その後、電場を除いたときの半径を m で求めてください。
3. 電荷 -2 C の粒子が、右向きの一様な磁場 4 T の中を、右向きの速さ 5 m/s で進みます。磁力の大きさを N で求め、他の力がないときの進路を答えてください。
4. 電荷 +1 C の粒子が紙面内を右に速さ 2 m/s で進みます。磁場は紙面の奥向きに 5 T、電場は紙面内の上向きに 10 N/C です。入射直後の合力の向きと大きさを N で答え、この速度で直進するか判定してください。

答えと解き方

1. 正電荷で、磁場が紙面の手前向きですから、右向きの速度に対する磁力は下向きです。大きさは 3 × 4 × 2 = 24 N です。中心は入射点の下にあり、半径 r と周期 T は

r = mv / (|q|B) = 6 × 4 / (3 × 2) = 4 m

T = 2πr / v = 2π × 4 / 4 = 2π s

です。必要な中心向きの力は 6 × 4² / 4 = 24 N で磁力と一致します。1周に進む距離 4 × 2π = 8π m も円周に戻ります。

2. 右向きの正電荷が奥向きの磁場から受ける力は上向きで、電気力は下向きです。直進の条件は 2 × 12 = 2 × v × 3 なので、v = 4 m/s です。電場を除いた後は磁力が上向きとなり、半径は

r = 3 × 4 / (2 × 3) = 2 m

です。直進中の2つの力はそれぞれ 24 N です。電場を除いた後も 3 × 4² / 2 = 24 N の中心向きの力が必要で、磁力と一致します。

3. 速度と磁場が平行なので sin θ = 0 です。磁力は |q|vB sin θ = 0 N となり、他に力がなければ右向きに等速直線運動を続けます。負電荷でも0を反転して別の力にはなりません。進路に戻して考えると、速度の向きは磁場に平行なままで、磁力0の条件が保たれます。

4. 正電荷への磁力は上向きで、1 × 2 × 5 = 10 N です。電気力も電場と同じ上向きで、1 × 10 = 10 N です。合力は上向きに 20 N となり、この速度のまま直進しません。大きさが等しいことだけを使って0 Nとすると、2つの矢印が同じ向きである条件を見落とします。

手元に残す要点

• 磁力の大きさは |q|vB sin θ、負電荷の向きは正電荷と逆です。
• 垂直入射では磁力が中心向きとなり、r = mv / (|q|B) です。
• 磁力の仕事は0で、磁力以外に仕事をする力がなければ速さは一定です。
• 速度選別は電気力と磁力が反対向きの配置で、両者の大きさを等しくします。

答案を見直すときは、まず速度、磁場、電気力、磁力を別の矢印で描けるかを確かめましょう。向きは合っているのに半径が違う場合は、速度が磁場に垂直か、電荷の大きさを使ったか、単位をそろえたかを順に追います。直進条件で止まった場合は、2つの力が反対向きになる配置を自分の言葉で説明できるかが手掛かりです。

個別指導で答案を確認するときも、最初に間違った矢印と、その根拠になった電荷の符号を並べて見ます。式が合っている場合は求めた半径から必要な中心向きの力を計算し、元の磁力に戻るかを確かめます。力の向きと大きさがつながれば、初めて見る磁場の図でも軌道の出発点を決められます。