高校数学III 無限級数と無限等比級数—部分和を作って収束条件と和を求める｜武蔵野個別指導塾

負の公比を持つ級数の部分和を求め、項が0に近づいても和が定まらない反例と比べながら収束条件を確かめます。

よくあるのは、定期テスト前の演習で、一般項が0に近づけば和も求まると考える場面です。足す数が小さくなることと、途中までの合計が一定の数に近づくことは別の条件です。項を眺めるだけで答えを決めず、どこまで足した合計を考えているかを式にしましょう。

無限級数は、数学IIIの極限に含まれる内容です。ここでは部分和と無限等比級数を扱い、一般の数列の極限の計算は必要な範囲で使います。

問題文から選ぶ3つの道筋

1つ目は、一般項から第n項までの和を求め、その極限を調べる型です。途中の和がきれいに消える場合には、何が残るかを書いてから極限を取ります。無限に足す操作を最初から実行するのではなく、有限個の和を順に見るのが出発点です。

2つ目は、初項と公比が読み取れる等比級数の型です。和の公式に数を入れる前に、公比の絶対値が1より小さいか確認します。公比が負でも、絶対値が1より小さければ収束します。一方、公式の分母が0にならないことだけでは、公式を無限の和に使えるとは限りません。

3つ目は、文字を含む公比や、収束するための条件を問う型です。条件の不等式を解く際は端の値も調べます。初項が0になる場合には、どの公比でも各項が0なので、一般の判定をそのまま当てはめる前に分ける必要があります。

答えには、収束するかどうかと、収束する場合の和を区別して書きます。発散する場合に有限の和を記すことはできません。部分和が大きくなり続ける場合だけでなく、異なる値の間を行き来して極限を持たない場合も発散です。

項と部分和は別の数列

a₁, a₂, a₃, … を順に足すとき、無限級数を a₁ + a₂ + a₃ + … と表します。第n項までの有限の合計を部分和 Sₙ とすると、Sₙ = a₁ + a₂ + … + aₙ です。級数が収束するとは、この部分和の数列 Sₙ が有限の値に近づくことをいいます。その極限値を級数の和と呼びます。

図1のように、項を1つずつ足して作るのが部分和です。矢印の右側には、足される項ではなく、それまでの合計が並びます。部分和が近づく先を調べるため、項の極限と部分和の極限を同じものとして扱わないようにします。

たとえば初項 a、公比 r の等比級数では、第n項は a rⁿ⁻¹ です。r ≠ 1 なら、有限の等比数列の和から Sₙ = a(1 − rⁿ)/(1 − r) となります。これは有限個の項についての式なので、r の絶対値が1以上でも成り立ちます。ただし、その後で n を大きくしたときに rⁿ が0に近づくのは、絶対値が1より小さい場合です。

したがって、|r| < 1 のとき無限等比級数は収束し、和は a/(1 − r) です。r = 1 では Sₙ = na です。a ≠ 0 なら有限の極限を持ちません。r = -1 では部分和が a と0の間を交互に動くため、a ≠ 0 なら発散します。|r| > 1 で a ≠ 0 のときは項 a rⁿ⁻¹ が0に近づかず、級数は発散します。

最後の判定の根拠も確かめましょう。級数が収束して Sₙ → S なら、n ≥ 2 で aₙ = Sₙ − Sₙ₋₁ です。両方の部分和が同じ S に近づくので aₙ → 0 です。つまり項が0に近づくことは収束に必要です。しかし、それだけで部分和が収束するとは限りません。後の誤答の節で、必要条件が十分条件ではない例を見ます。

基本例題：負の公比でも和を出す

次の無限級数が収束するかを調べ、収束するなら和を分数で求めてください。

6 − 2 + (2)/(3) − (2)/(9) + …

隣り合う項の比を順に見ると、-2 を6で割った比は -1/3、(2)/(3) を -2 で割った比も -1/3 です。以後もこの比で続く等比級数として、初項 a = 6、公比 r = -1/3 と読み取ります。符号が交互になることと、公比の絶対値が1より小さいことを別々に確認します。

図2のように、第1項から第3項までの合計は順に6、4、(14)/(3) です。増え続けるわけではありませんが、それだけで発散とは決まりません。部分和が交互に動きながら同じ値に近づく可能性を、式で調べます。

第n項までの部分和は、有限の和の公式より

Sₙ = 6{1 − (-1/3)ⁿ}/(1 − (-1/3))

= 6{1 − (-1/3)ⁿ}/(4/3)

= (9/2){1 − (-1/3)ⁿ} です。

ここで |-1/3| < 1 なので、n → ∞ のとき (-1/3)ⁿ → 0 です。よって Sₙ → 9/2 となり、級数は収束し、和は 9/2 です。有限の和の式から極限を取ることで、公式の分母がなぜ 1 − r なのかも追えます。

答えを元の並びに戻して確かめます。和を 9/2 とすると、初項6を取り除いた残りは -3/2 です。一方、残りの級数は全体の各項に -1/3 を掛けた並びなので、その和も (-1/3) × (9/2) = -3/2 です。両者が一致します。この確認は収束を示した後に使い、収束そのものの証明とは区別します。

部分和の式に n = 1、2 を入れても、それぞれ6、4になります。最初の項から足したという条件に式が合っているかを、このように戻して点検できます。第n項の指数を n としてしまうと、初項が6にならず、この点検で誤りに気づけます。

文字を含むときの分かれ目

実数 x について、次の無限級数が収束する x の範囲を求め、収束するときの和を x の式で表してください。

2 + 2(x − 1) + 2(x − 1)² + …

初項は2、公比は x − 1 です。初項は0ではないので、無限等比級数の収束条件をそのまま使えます。まず

|x − 1| < 1

-1 < x − 1 < 1

0 < x < 2

を得ます。収束する範囲で 1 − (x − 1) = 2 − x は正であり、分母は0になりません。和は

2/{1 − (x − 1)} = 2/(2 − x)

です。答えは 0 < x < 2、和は 2/(2 − x) です。

端を代入しても確かめます。x = 0 では公比が -1 で、部分和は2と0を交互に取ります。x = 2 では公比が1で、部分和は 2n です。いずれも有限の極限を持たないため、端は含みません。範囲の外では公比の絶対値が1より大きく、項が0に近づかないので発散します。

x = 1 を元の級数に戻すと、公比が0なので初項2の後は0が続きます。和の式も 2/(2 − 1) = 2 となり、並びと一致します。公比0を見落とさず、最初の項を残すことが大切です。

もし初項自体も文字を含む問題なら、先にその初項が0となる値を調べます。その値では各項が0かどうか元の式に戻して判断し、残りの値で公比の条件を使います。式をまとめる途中で初項を割ると、その値を消してしまうことがあるためです。

誤答を途中から直す

「aₙ → 0 だから a₁ + a₂ + … は収束する」という判断は誤りです。具体的に aₙ = 1/n とすると、確かに項は0に近づきます。しかし、部分和は有限の値に近づきません。図3のように、項の小ささと部分和の振る舞いを別々に調べます。

理由は、項が小さくなっても、それらが積み重なる量が小さいとは限らないからです。実際に第2項から、項の個数が2倍ずつになるようにまとめます。第2項は 1/2、第3項から第4項の和は 1/3 + 1/4 ≥ 2 × (1/4) = 1/2 です。第5項から第8項の和も4項それぞれが 1/8 以上なので、合計は 1/2 以上です。

同じように、2ᵏ + 1 項目から 2ᵏ⁺¹ 項目までの 2ᵏ 個の項は、それぞれ 1/2ᵏ⁺¹ 以上です。このまとまりの和は 1/2 以上になります。まとまりを増やすたびに少なくとも 1/2 が加わるため、部分和はどこまでも大きくなります。項の値をいくつか表に並べるだけでは、この発散の理由にはなりません。

もう1つの誤答は、公比が負なら必ず発散するとするものです。基本例題では公比が負でも絶対値が1より小さく、部分和は収束しました。修正するときは符号だけでなく絶対値を調べ、境界の -1 と1を別に確認します。

また、和の式 a/(1 − r) に r = 2 を代入して答えを出すのも誤りです。有限の和の式は書けますが、2ⁿ が0に近づかないので、その極限から無限の和の式は得られません。分母が0でないことと、収束条件を満たすことの両方を確認してください。

部分和を書くときの点検

有限の和を作る際は、どの項から何項を足すかが重要です。初項から第n項までなら項数はnですが、第2項から第n項までなら項数は n − 1 です。たとえば等比級数の第2項以降を取り出したとき、新しい初項は ar になります。元の初項 a のまま公式へ入れると、取り除いた項をもう一度足してしまいます。まず最初の項と次の項を書き出し、比と項数を照合してください。

また、部分和の公式に n を入れて初めの合計に戻ることは、式の取り違えを見つける手がかりです。ただし数個の一致だけで一般の式が証明されたことにはなりません。有限の等比数列の和の公式や、項を並べたときの消去を用いて、任意の n に対して式を作ります。その後で極限を取れば、計算の根拠と答えの確認を分けて書けます。

和を求める設問で部分和が振動するとわかった場合も、途中式を省かずに奇数番目と偶数番目の値を書きます。2つの値が異なれば、部分和全体が同じ有限の値へ近づくことはありません。単に「負の公比だから」と書くより、どの数列が収束しないのかが伝わります。

手を動かして確認する問題

次の問題では、和は指定された形で求め、収束しない場合はその理由も書いてください。各問題の項は、示した規則で続くものとします。

1. 4 + 1 + 1/4 + … の収束を調べ、収束するなら和を分数で求めてください。
2. 3 − 3 + 3 − 3 + … の収束を、部分和を使って判定してください。
3. 第n項が 1/{n(n + 1)} である級数の部分和と和を、分数を用いて求めてください。
4. 実数 t に対し、(t − 3) + (t − 3) × 2 + (t − 3) × 2² + … が収束する t と、そのときの和を整数で求めてください。

確認問題の解き方

1. 初項は4、公比は 1/4 です。|1/4| < 1 なので収束し、和は 4/(1 − 1/4) = 16/3 です。有限の部分和は Sₙ = (16/3){1 − (1/4)ⁿ} となります。n = 1 で4、n = 2 で5となり、元の初めの2項の合計に戻ります。

2. 奇数番目の部分和は3、偶数番目の部分和は0です。どれほど先へ進んでも、この2つの値が交互に現れます。したがって部分和は1つの有限の値へ近づかず、級数は発散します。元の項を交互に加えると、3の次に -3 を足して0に戻ることからも、2種類の部分和を確かめられます。

3. 各項を 1/{n(n + 1)} = 1/n − 1/(n + 1) と分けます。右辺を通分すると、分子は (n + 1) − n = 1 となり、元の項に戻ります。第n項まで足すと

Sₙ = (1 − 1/2) + (1/2 − 1/3) + … + {1/n − 1/(n + 1)}

= 1 − 1/(n + 1) = n/(n + 1) です。途中の正負の項が消え、最初の1と最後の負の項が残ります。n → ∞ で 1/(n + 1) → 0 なので、和は1です。n = 1 の部分和は 1/2 で、元の第1項 1/(1 × 2) に一致します。

4. 初項 t − 3 が0となる t = 3 では、元の各項が0です。そのため部分和も常に0で、和は整数0です。t ≠ 3 では初項が0でなく、公比は2です。一般項は (t − 3) × 2ⁿ⁻¹ で0に近づかないので発散します。したがって、収束するのは t = 3 で、その和は0です。初項が0の分岐を先に調べると、|2| < 1 を満たさないことだけから全て発散とする誤りを避けられます。

最後に残す要点

• 無限級数の収束は、部分和 Sₙ の極限で決まります。
• 初項が0でない等比級数は |r| < 1 のとき収束し、和は a/(1 − r) です。
• 項が0に近づくことは必要条件ですが、それだけでは収束を保証しません。
• 公比の境界と初項0を、元の並びに戻して調べます。

答えにたどり着けないときは

式が止まったら、まず「第n項」と「第n項までの合計」を別の行に書けるかを見ます。前者が書けても後者が作れない場合は、最初の数項を足して、有限和の公式の初項と項数を照合します。逆に部分和は出せても収束の判定が曖昧なら、残った rⁿ がどの条件で0に近づくかを言葉で説明します。

個別指導で確かめるなら、生徒本人が書いた部分和の式に n = 1 と2を代入し、元の並びと一致するかを一緒に追います。文字を含む場合は、初項0と公比の境界を本人が元の式に戻して判断できるかも見ます。部分和の行き先を示せれば、無限に続く和の判定は筋道を持ちます。