高校地理 地形断面図の縮尺—縦横の倍率から斜面の見え方と勾配を確かめる｜武蔵野個別指導塾

水平距離と標高差をそろえて勾配を求め、縦横の縮尺の違いから見かけの斜面を読み直す地形断面図の縮尺。

よくあるのは、縦方向を拡大した地形断面図を見て、紙の上の斜面の角度をそのまま実際の傾斜だと答える場面です。断面の線が急に見えることは、実際にも同じ角度である証拠にはなりません。横に表した距離と縦に表した高さが、それぞれ何分の1に縮められているかを先に調べます。縮尺が違えば、同じ斜面でも紙の上で別の傾きに見えます。

どこを判断する問題か

断面図の問題には、まず縦と横の縮尺から縦の誇張率を求める型があります。縮尺の分母を見て大きい数をそのまま大きな図と判断すると逆になります。分母が小さい方が、同じ実際の長さを紙の上に長く表します。誇張率は、同じ実際の長さについて縦の図上長が横の図上長の何倍かを表します。

次に、2地点の標高と水平距離から勾配を求める型があります。高い地点の標高そのものを距離で割るのではなく、2地点の標高差を使います。横の距離は斜面に沿った道の長さではありません。水平距離と標高差を同じ単位に直してから割り、指定された分数や百分率で表します。

さらに、同じ断面を異なる縦横比で描いた図を比較する型があります。線の急さが違っても、元の高さと水平距離が同じなら実際の勾配は同じです。反対に、図上で同じ急さでも縦横比が異なれば、実際の勾配が同じとは限りません。見た目の比較だけで結論を出せるかを、縮尺の条件に戻って判断します。

縦と横の縮尺を分ける

地形断面図は、ある線に沿って地表の高さの変化を縦の面に表したものです。横軸はその線に沿う水平距離、縦軸は標高を表します。標高は基準となる面からの高さであり、2地点の傾きを考えるときには両者の差が必要です。図の下端が標高0 mでない場合も、目盛りから各点の標高を読んで差を取ります。

縮尺が横1万分の1なら、図上の1 cmは実際の水平距離1万 cmに対応します。縦が2千分の1なら、図上の1 cmは実際の高さ2千 cmに対応します。図1のように同じ実際の長さを比べると、縦の図上長は横の5倍です。これが縦の誇張率5倍という意味です。縦の分母を横の分母で割るのではなく、横の分母を縦の分母で割ります。

図1では実際の100 mを例にしています。横では1 cm、縦では5 cmです。図上の縦の長さを横の長さで割ると5になります。横と縦が同じ縮尺なら誇張率は1倍です。縦の分母が横より大きければ1倍より小さく、縦が相対的に縮められます。倍率には単位を付けず、どの方向を基準にした比かを明らかにします。

勾配は、ここでは標高差を水平距離で割った比として扱います。例えば水平距離100 mで20 m上がれば、勾配は20/100、つまり1/5です。百分率なら20%です。距離を斜面上で測った長さに替えると、この定義とは分母が変わります。水平距離が0なら割り算はできないため、この方法で勾配を数値化しません。

図上の縦の変化を横の変化で割った比は、実際の勾配に誇張率を掛けたものです。したがって誇張率が5倍なら、図上の傾きの比も実際の5倍です。ただし角度そのものが5倍になるという意味ではありません。角度と縦横の長さの比は同じ量ではないからです。図上の角度を直接測って実際の角度とするには、少なくとも縦横の縮尺が等しいことが必要です。

基本例題：高さの差から戻す

次の数値は作図のために与えた条件です。水平距離400 mの区間で、左端の標高は120 m、右端は160 mです。断面図の横の縮尺は1万分の1、縦の縮尺は2千分の1です。縦の誇張率を倍率で、左から右への平均勾配を最も簡単な分数と百分率で求めてください。また図上の水平距離と標高差をそれぞれcmで答えてください。

与件：水平距離400 m、標高差は160 mと120 mの差です。横と縦の縮尺はそれぞれ1万分の1、2千分の1です。

単位：400 mは40000 cm、標高差40 mは4000 cmです。同じ単位にそろえてから縮尺を使います。

根拠：図上長は実際の長さを縮尺の分母で割ります。勾配は標高差を水平距離で割った比です。

操作：誇張率は10000 ÷ 2000で5倍です。図上の水平距離は40000 ÷ 10000で4 cm、図上の標高差は4000 ÷ 2000で2 cmです。実際の平均勾配は40 ÷ 400で1/10、百分率では10%です。

答案：縦の誇張率は5倍、平均勾配は1/10または10%、図上では横4 cm、縦の差2 cmです。図2のように、図上の縦横比は2/4で1/2となり、実際の1/10の5倍に見えます。

場面への戻し：図上の4 cmに10000を掛ければ40000 cm、すなわち400 mです。2 cmに2000を掛ければ4000 cm、すなわち40 mです。120 mに40 mを加えると右端の160 mに戻ります。図上の直角三角形は変化量を示す補助線であり、斜面の途中の細かな起伏を示すものではありません。

両端を結ぶ平均勾配は区間全体の高さの差を距離で割ります。途中に小さな上り下りがあっても、両端と水平距離が同じならこの平均値は変わりません。逆に、平均値だけから途中のすべての場所で同じ傾きだとは言えません。線が直線で描かれているという条件がない限り、局所の斜面の急さと区間全体の平均を分けます。

条件を変えた2題

標準：見かけの比から実際へ

ある自作の断面図は横の縮尺が2万分の1、縦が5千分の1です。左から右への水平距離は600 mで、図上では右端が左端より3 cm高く描かれています。縦の誇張率、標高差をm、平均勾配を既約分数と百分率で求めてください。

縦の誇張率は20000 ÷ 5000で4倍です。図上の縦3 cmは実際の15000 cm、つまり150 mの標高差を表します。水平距離600 mを分母にすると、平均勾配は150/600で1/4、25%です。図上の水平距離は60000 ÷ 20000で3 cmなので、図上の縦横比は3/3で1です。実際の1/4を4倍した比と一致します。

確かめとして、600 mに1/4を掛けると150 mに戻り、15000 cmを縦の分母5000で割ると図上の3 cmに戻ります。図上の縦横が同じ長さでも、実際の縦横が同じ長さとは限りません。なお、この条件から左右それぞれの標高は決まりません。標高差が150 mという関係は決まっても、左端の標高が与えられていないからです。

発展：同じ線の急さを比べる

自作の断面AとBは、どちらも左から右へ上り、図上の水平変化4 cmに対する縦の変化が2 cmです。Aの横の縮尺は1万分の1、縦は5千分の1、Bの横は1万分の1、縦は2千分の1です。それぞれの実際の平均勾配を既約分数で求め、どちらが急か理由とともに答えてください。

Aの誇張率は2倍、Bは5倍です。図上の縦横比はどちらも1/2ですが、実際の比はこれを誇張率で割ります。Aは1/4、Bは1/10です。したがって実際にはAの方が急です。横4 cmはどちらも400 mですが、縦2 cmはAでは100 m、Bでは40 mに当たります。100/400と40/400をそれぞれ約分しても同じ答えになります。

戻して確かめると、400 mにAの1/4を掛ければ100 m、Bの1/10を掛ければ40 mです。各高さをそれぞれの縦縮尺で図上に直すと、どちらも2 cmです。同じ形に見える図でも縦の物差しが違うため、実際の斜面を比較するには図の形だけでなく縮尺が要ります。断面の方向が異なる場合にも、その線に沿う平均勾配の比較であり、別方向の傾きを示すものではありません。

誤答をほどいて修正する

基本例題で「図上の縦横比が1/2だから、実際の平均勾配も1/2」と答えたとします。原因は、図上で縦2 cmと横4 cmを比べる際、同じ1 cmが表す実際の長さを同じだと扱ったことです。縦の1 cmは20 m、横の1 cmは100 mを表します。数値を比べる前に、どちらの物差しを使ったかを確認します。

図3のように、図上の比を誇張率5で割ると実際の比1/10に戻ります。別の道筋として、それぞれの図上長を実際の長さに換算してから40 m ÷ 400 mと計算しても同じです。2通りが一致しないときは、縦横の分母を取り違えたか、mとcmを混ぜたかを調べます。

もう一つの誤りは、右端の標高160 mをそのまま400 mで割ることです。左端は標高0 mではないので、160 mは区間の上昇量ではありません。両端の差40 mを使うと、出発点からの高さの変化になります。左端が右端より高い場合は下りであることも文章に添え、急さを比較するなら標高差の大きさを使います。上り下りの向きを指定された問題では、符号や言葉を落とさないことが必要です。

図の角度を測ってから誇張率で割る方法も避けます。割る対象は長さの比で、角度ではありません。角度を答える必要があるときは、実際の水平距離と標高差から対応する角度を求める条件や方法が別に必要です。目盛りが欠けていたり、画像の縦横が別々の倍率で変形されていたりすると、元の縮尺をそのまま画像上の長さに適用できません。条件が不足している場合は値を作らず、必要な縮尺や変形の有無を確かめます。

練習：まず5問を解く

いずれも実測値ではなく問題の与件です。勾配は標高差を水平距離で割った比とし、上り下りは左から右への向きで答えてください。

1. 横の縮尺が3万分の1、縦が1万分の1の断面図があります。縦の誇張率を倍率で答え、同じ実際の長さに対する図上長がどちらの方向で何倍かを1文で述べてください。
2. 水平距離800 mの区間で左端の標高が90 m、右端が150 mです。平均勾配を既約分数と百分率で答え、上りか下りかも示してください。
3. 横の縮尺が2万分の1、縦が1万分の1の図で、水平距離600 m、標高差30 mの上りを描きます。図上の横の長さと縦の差をcmで答え、図上の縦横比を既約分数で示してください。
4. 図上の縦横比が3/5の上りを描いた断面図の誇張率は3倍です。実際の平均勾配を既約分数と百分率で答えてください。水平距離が500 mなら標高差は何mですか。
5. 左端の標高が200 m、右端が140 mで、水平距離は300 mです。平均勾配の大きさを既約分数で答え、方向を述べてください。途中の各地点の勾配が同じと言えるか、両端という語を使って理由を1文で答えてください。

解答と見直し

1. 3倍です。同じ実際の長さは、図上で縦方向が横方向の3倍になります。横の分母30000を縦の分母10000で割ります。例えば実際の300 mは横で1 cm、縦で3 cmとなり、両方をそれぞれの分母で実際の長さに戻すと300 mです。分母の大小と図上長の大小が逆になる点が採点の焦点です。

2. 標高差は150 − 90で60 mです。平均勾配は60/800で3/40、7.5%の上りです。800 mに3/40を掛けると60 m、これを90 mに加えると150 mに戻ります。150 mを直接割る答えは、出発点の標高を差し引いていません。

3. 60000 cm ÷ 20000で横3 cm、3000 cm ÷ 10000で縦の差0.3 cmです。図上の縦横比は0.3/3で1/10です。誇張率は2倍、実際の勾配30/600は1/20なので、図上の比はその2倍です。図上の各長さに対応する分母を掛けると600 mと30 mに戻ります。

4. 実際の平均勾配は3/5 ÷ 3で1/5、20%です。水平距離500 mに1/5を掛け、標高差は100 mです。100/500は1/5で、3倍すると図上の比3/5に戻ります。比を割ることと角度を割ることの違いを確認してください。

5. 標高差の大きさは60 m、平均勾配の大きさは60/300で1/5、左から右へ下りです。途中の各地点が同じ勾配とは言えません。両端の標高と距離は区間全体の差を示すだけで、途中の起伏を決めないためです。300 mに1/5を掛けると60 m、200 mから60 m下がると140 mに戻ります。理由には両端の情報と途中の不確定さの対応が必要です。

手元に残す要点

• 勾配は標高差を水平距離で割り、単位をそろえます。
• 縦の誇張率は横の縮尺の分母を縦の分母で割ります。
• 図上の縦横比は実際の勾配に誇張率を掛けた比です。
• 図上の角度を倍率で割って実際の角度にはできません。
• 答えを元の長さや標高に戻し、途中の起伏は別に考えます。

つまずいた場所を見つける

個別指導で確かめるときは、まず水平距離と標高の目盛りを指し、それぞれの1目盛りが表す量を本人に言葉で示してもらいます。目盛りは読めるのに答えが合わない場合は、標高そのものと標高差、図上の長さと実際の長さをどこで入れ替えたかを立式に戻って調べます。計算が合っていても、途中の起伏まで断定していないかを答案の根拠と照らします。

縦横の縮尺をそれぞれの物差しとして扱えば、断面の見かけの急さから実際の勾配へ戻れます。図の線の傾きは、その物差しを確かめて初めて地形の説明に使えます。