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素数の一覧—1000までの素数表と見分け方、素因数分解の使い方｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.06更新 2026.11.06武蔵野個別指導塾の特徴数学の公式集

51 も 91 も素数ではありません。1000 までの 168 個を 100 ごとの表で見渡し、√n まで割れば足りる理由と、360 の約数が 24 個とすぐ数えられる素因数分解の手順まで身につけられます。

1000 までの素数は全部で 168 個あり、いちばん大きいものは 997 です。素数とは、1 とその数自身のほかに約数を持たない、2 以上の自然数のことです。

範囲	素数	個数
1〜100	2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97	25
101〜200	101、103、107、109、113、127、131、137、139、149、151、157、163、167、173、179、181、191、193、197、199	21
201〜300	211、223、227、229、233、239、241、251、257、263、269、271、277、281、283、293	16
301〜400	307、311、313、317、331、337、347、349、353、359、367、373、379、383、389、397	16
401〜500	401、409、419、421、431、433、439、443、449、457、461、463、467、479、487、491、499	17
501〜600	503、509、521、523、541、547、557、563、569、571、577、587、593、599	14
601〜700	601、607、613、617、619、631、641、643、647、653、659、661、673、677、683、691	16
701〜800	701、709、719、727、733、739、743、751、757、761、769、773、787、797	14
801〜900	809、811、821、823、827、829、839、853、857、859、863、877、881、883、887	15
901〜1000	907、911、919、929、937、941、947、953、967、971、977、983、991、997	14

見分け方は 1 行です。調べたい自然数を n として、√n 以下の素数で順に割り、どれでも割り切れなければ n は素数です。1 は素数に入りません。2 は偶数の中でただ一つの素数です。

よくあるのは、中1の春、教室のいちばん後ろの席で鉛筆が止まる場面です。プリントの問いは「次の数から素数を選びなさい」で、並んでいるのは 47、51、57、59。どれも奇数で、九九の答えにも出てきません。51 に丸をつけかけて、手が止まる。休み時間にスマートフォンで「素数一覧」と打つのは、この迷いを片づけるためです。上の表に 51 と 57 はありません。51 は 3 × 17、57 は 3 × 19 です。

公式の一覧

素数を順に生み出す便利な式は、中学や高校の数学には出てきません。使うのは、見分ける手順と、素因数分解から先の決まりです。中1で素数と素因数分解を学び、数学Aで約数の個数や倍数の判定を整理します。次の表の文字は、n が調べる自然数、p、q、r が異なる素数、a、b、c がそれぞれの素数をかけた回数（指数）です。A、B は 2 つの自然数を表します。

名前	形	使う場面
素数の判定	√n 以下の素数で順に割る	ある数が素数かどうかを決めるとき
素因数分解	n = pᵃ × qᵇ × rᶜ	約数、倍数、平方数の問題の出発点
約数の個数	(a + 1)(b + 1)(c + 1) 個	約数を書き出さずに数えるとき
平方数の条件	a、b、c がすべて偶数	「かけて平方数にする」問題
最大公約数 G	共通の素因数を、指数の小さいほうでかける	約分、同じ大きさに分ける問題
最小公倍数 L	出てくる素因数すべてを、指数の大きいほうでかける	通分、周期がそろう問題
2 数の積	A × B = G × L	G と L の計算の確かめ

倍数の判定

割り算の前に、目で落とせる数は落とします。次の表は、実際に割らずに倍数かどうかを決める目印です。

割る数	見るところ	例
2	一の位が偶数	1358
3	各位の数の和が 3 の倍数	1074 は 1 + 0 + 7 + 4 = 12
4	下 2 桁が 4 の倍数か 00	1316 は 16 を見る
5	一の位が 0 か 5	2045
6	2 の倍数で、かつ 3 の倍数	1314
8	下 3 桁が 8 の倍数か 000	5128 は 128 を見る
9	各位の数の和が 9 の倍数	2907 は 2 + 9 + 0 + 7 = 18
11	一の位から交互に足し引きした値が 0 か 11 の倍数	5082 は 2 − 8 + 0 − 5 = -11

7 だけは覚えやすい目印がないので、割ってしまうほうが早いです。

エラトステネスのふるい

一覧そのものは、次の手順で自分の手で作れます。古代ギリシアのエラトステネスの名がついた方法で、小さいほうから倍数を消していき、残った数を素数とします。

1 を消します。素数の条件を満たさないからです。
2 を残して、2 の倍数をすべて消します。
残った中でいちばん小さい 3 を残して、3 の倍数を消します。
5、7 と同じことを続けます。次に残す数の 2 乗が上限を超えたら、そこで止めます。

図1のように、25 までなら 5 の倍数を消したところで終わります。5 の番で新しく消えるのは 25 だけです。5 × 5 より小さい 5 の倍数は、2 か 3 の番ですでに消えているからです。残った 2、3、5、7、11、13、17、19、23 の 9 個が、25 までの素数です。1000 までなら √1000 が約 31.6 なので、2 から 31 までの素数 11 個で消せば、表の 168 個が残ります。

100 ごとの個数を表で追うと、25、21、16、16、17、14、16、14、15、14 と、ならして減っていきます。大きな数ほど、どれかの素数の倍数に当たる機会が増えるからです。887 の次の素数は 907 で、その間の 19 個は 1 つも素数ではありません。

なぜこの形になるのか

1 を素数に入れない理由

1 を外す理由は、素因数分解を 1 通りに決めるためです。図2のように、60 を 6 × 10 から割り始めても、4 × 15 から割り始めても、最後は同じ 2² × 3 × 5 に行き着きます。どの順で割っても素因数の組が変わらないので、解く人によって答えが割れません。

もし 1 を素数に入れると、60 = 1 × 2² × 3 × 5 も 60 = 1 × 1 × 2² × 3 × 5 も素因数分解になり、書き方がいくらでも増えます。約数の個数の式も最大公約数の作り方も「分解は 1 通り」を土台にしているので、土台が崩れると全部に例外がつきます。約数の数で並べると、1 の約数は 1 個、素数の約数はちょうど 2 個、それ以外の数（合成数）は 3 個以上です。1 は素数でも合成数でもありません。

√n まで割れば足りる理由

n = a × b と 2 つの自然数の積に書けて、a が b 以下だとします。すると a × a は a × b 以下なので、a × a は n 以下、つまり a は √n 以下です。約数のペアの小さいほうは、必ず √n 以下にいます。

図3は 36 の約数を小さい順に並べたものです。1 と 36、2 と 18、3 と 12、4 と 9 が向かい合い、真ん中の 6 は √36 そのものです。だから √n 以下に 1 以外の約数が 1 つも見つからなければ、√n より上にも相手は残っていません。割る数を素数だけにしてよいのは、4 で割り切れる数はその前に 2 で割り切れているからです。

3 と 9、11 の判定が成り立つ理由

2907 が 9 の倍数である理由は、数を位ごとにばらすと見えます。2907 = 2 × 999 + 9 × 99 + 0 × 9 + (2 + 9 + 0 + 7) です。999、99、9 はどれも 9 の倍数なので、残る (2 + 9 + 0 + 7) = 18 だけで決まります。これらは 3 の倍数でもあるので、3 の判定も同じ形です。11 は、1000 = 1001 − 1、100 = 99 + 1、10 = 11 − 1 と見ます。1001 = 11 × 91 と 99 = 11 × 9 は 11 の倍数なので、符号が交互になった和だけが残ります。

素数は 1000 で終わらない

2 × 3 × 5 × 7 + 1 = 211 という数は、2、3、5、7 のどれで割っても 1 余ります。つまり 211 を割り切る素数は、211 自身を含めて、この 4 個の外にいます。どれだけ素数を集めても、全部かけて 1 を足せば同じことが起こるので、素数の列に終わりはありません。ただし、できた数がいつも素数とは限りません。2 × 3 × 5 × 7 × 11 × 13 + 1 = 30031 は 59 × 509 で、外にいたのは 59 と 509 です。

例題で使い方を確かめる

易しい順に 4 問です。どの問題も、割り始める前に何を落とせるかを先に考えます。

例題1　91 と 97 は素数ですか

調べる上限を決めます。9² = 81、10² = 100 なので、√91 も √97 も 10 より小さく、割る数は 2、3、5、7 だけで足ります。先に上限を決めると、要らない割り算をしなくて済むからです。
2 と 5 は一の位で落とします。一の位が 1 と 7 なので、どちらでも割り切れません。割らなくても目で決まるところから片づけます。
3 は各位の和で落とします。9 + 1 = 10、9 + 7 = 16 で、どちらも 3 の倍数ではありません。
最後に残った 7 で実際に割ります。7 には目印がないので、ここだけは筆算です。91 ÷ 7 = 13 で割り切れ、97 ÷ 7 = 13 あまり 6 で割り切れません。

答え: 91 は 7 × 13 なので素数ではなく、97 は素数です。

例題2　1683 を素因数分解しなさい

一の位を見ます。3 なので、2 と 5 の倍数ではありません。大きな数ほど、割り始める前に候補を減らす効果が大きいからです。
各位の和を出します。1 + 6 + 8 + 3 = 18 なので 9 の倍数です。3 で 2 回割る代わりに 9 でまとめて割ると、筆算が 1 回で済みます。1683 ÷ 9 = 187 です。
187 を調べます。1 + 8 + 7 = 16 なので 3 の倍数ではなく、187 ÷ 7 = 26 あまり 5 なので 7 の倍数でもありません。11 の判定は 7 − 8 + 1 = 0 で当たり、187 ÷ 11 = 17 です。
17 は素数なので止めます。かけ戻して確かめます。9 × 11 × 17 = 99 × 17 = 1683 で合います。分解の検算は、かけ戻すのがいちばん確実です。

答え: 1683 = 3² × 11 × 17

例題3　360 を素因数分解し、約数の個数と、かけて平方数にする最小の自然数を求めなさい

小さい素数から順に割ります。図4のように、はしごを下りながら 2、2、2、3、3 で割ると、最後に 5 が残ります。小さい順に割れば、素因数の取りこぼしが起きません。
指数で書きます。360 = 2³ × 3² × 5 です。同じ素数をまとめると、次の手順で指数をそのまま使えます。
約数の個数を出します。約数は、2 を 0〜3 個、3 を 0〜2 個、5 を 0〜1 個選んでかけた数なので、選び方は 4 × 3 × 2 = 24 通りです。指数に 1 を足すのは、「0 個選ぶ」という選び方が増えるからです。
平方数にします。平方数は指数がすべて偶数の数です。360 では 2 の指数 3 と 5 の指数 1 が奇数なので、2 × 5 = 10 をかけます。360 × 10 = 3600 = 60² で、確かに平方数です。

答え: 360 = 2³ × 3² × 5、約数は 24 個、かける最小の自然数は 10 です。

例題4　84 と 126 の最大公約数と最小公倍数を求めなさい

それぞれ分解します。84 = 2² × 3 × 7、126 = 2 × 3² × 7 です。素因数がそろって見えると、比べるだけで答えが出ます。
最大公約数は、共通の素因数を指数の小さいほうでかけます。2 は 1 乗、3 は 1 乗、7 は 1 乗を取り、2 × 3 × 7 = 42 です。両方に入っている分だけを集めるからです。
最小公倍数は、出てくる素因数を指数の大きいほうでかけます。2² × 3² × 7 = 252 です。どちらの数も丸ごと含むのに必要な最小の量だからです。
2 数の積で確かめます。84 × 126 = 10584、42 × 252 = 10584 で一致します。同じ 42 を使えば約分も一度で済み、84 / 126 = (42 × 2) / (42 × 3) = 2 / 3 です。

答え: 最大公約数は 42、最小公倍数は 252 です。

まちがえやすいところ

1 を入れて 2 を外す

誤った書き方は「10 以下の素数は 1、3、5、7」です。

どこが違うかというと、1 の約数は 1 個だけなので素数の条件を満たしません。2 の約数は 1 と 2 のちょうど 2 個で、偶数であることは関係がありません。

正しい書き方は「10 以下の素数は 2、3、5、7 の 4 個」です。

一の位だけで素数と決める

誤った書き方は「51、57、87、91 は一の位が 1 か 7 だから素数」です。

どこが違うかというと、「2 と 5 を除く素数の一の位は 1、3、7、9 のどれか」は正しくても、逆は成り立ちません。一の位は、素数でない数をふるい落とす目印にしかなりません。

正しい書き方は「51 = 3 × 17、57 = 3 × 19、87 = 3 × 29、91 = 7 × 13 で、どれも素数ではない」です。さらに、200 までの数で、2、3、5 のどれでも割れないのに素数でないものは、1 を除くと 49、77、91、119、121、133、143、161、169、187 の 10 個です。目で素数に見えてしまう数は、ここに集まっています。

素数でない数を残したまま止める

誤った書き方は「72 = 8 × 9」や「72 = 2³ × 9」です。

どこが違うかというと、8 も 9 も素数ではありません。かけ算の形になっただけでは素因数分解は終わらず、かけている数が全部素数になって初めて終わります。

正しい書き方は「72 = 2³ × 3²」です。

覚え方と忘れたときの戻り方

168 個を丸暗記する必要はありません。持っておくのは 100 までの 25 個で十分です。十の位ごとの個数は、1 桁が 4 個、10 台が 4 個、20 台から順に 2、2、3、2、2、3、2、1 個です。「4、4、2、2、3、2、2、3、2、1」を一緒に覚えると、書き出したときに足して 25 になるかで抜けを確かめられます。語呂はいくつも作られていますが、決まった一つはないので、唱えやすい区切りを自分で作ってかまいません。

忘れたときは、次の順に戻ります。

調べる数をはさむ 2 乗を探して、割る数の上限を決めます。目安は 11² = 121、13² = 169、17² = 289、19² = 361、23² = 529、29² = 841、31² = 961 です。
2、3、5 を目印で落とします。
7 から上限までの素数で順に割ります。どれでも割り切れなければ素数です。

一覧そのものを思い出せないときは、紙に 1 から 100 のます目を書いて、図1のふるいを 7 まで回します。10² が 100 なので、7 の次の 11 まで進む必要はありません。

練習問題

例題と同じ手順で解けます。答えを見る前に、割る数の上限や指数を紙に書いてから進めてください。

練習1　221 は素数ですか。
練習2　450 を素因数分解し、約数の個数を求めなさい。
練習3　252 と 396 の最大公約数と最小公倍数を求め、252 / 396 を約分しなさい。

答えと解説

練習1の答えは、素数ではない（221 = 13 × 17）です。14² = 196、15² = 225 なので、割る数の上限は 14 で、候補は 2、3、5、7、11、13 です。一の位が 1 なので 2 と 5 は落ち、2 + 2 + 1 = 5 なので 3 も落ちます。221 ÷ 7 = 31 あまり 4 で、11 の判定は 1 − 2 + 2 = 1 なので、どちらも割り切れません。最後の 13 で 221 ÷ 13 = 17 と割り切れます。上限の直前まで粘る問題です。

練習2の答えは、450 = 2 × 3² × 5²、約数は 18 個です。450 = 2 × 225 で、225 は 15² なので 3² × 5² になります。指数は 1、2、2 なので、(1 + 1)(2 + 1)(2 + 1) = 2 × 3 × 3 = 18 です。2 の指数を書き忘れて 1 を足し損ねると 9 個と答えてしまうので、指数が 1 の素数も数えます。

練習3の答えは、最大公約数 36、最小公倍数 2772、約分すると 7 / 11 です。252 = 2² × 3² × 7、396 = 2² × 3² × 11 と分解します。共通なのは 2² × 3² = 36 で、全部を集めると 2² × 3² × 7 × 11 = 2772 です。252 × 396 = 99792、36 × 2772 = 99792 で一致します。約分は 252 = 36 × 7、396 = 36 × 11 なので 7 / 11 です。

次に確かめる公式

平方根の簡単な形（中3）は、√72 = 6√2 のように、√ の中を素因数分解して 2 乗のかたまりを外へ出すときに使います。ユークリッドの互除法（数学A）は、数が大きくて素因数分解がつらいときの道具で、割り算の繰り返しだけで最大公約数が出ます。指数法則は、2³ × 2² = 2⁵ のように、分解した数どうしをかけたり割ったりする場面で出番が来ます。

個別指導で素因数分解につまずいたときは、九九の逆引きと、約数と倍数という言葉の意味まで戻って確かめます。

まとめ

表は開けば答えをくれますが、テストの机の上にはありません。そこへ持っていけるのは、√n で止まる割り算と、素因数分解は 1 通りに決まるという事実の 2 つです。168 個のうち 100 までの 25 個を手に入れれば、残りは自分で確かめられます。51 の前で止まった鉛筆は、3 で一度割れば動き出します。