方程式の解き方—「移項」の誤りを教材で可視化する｜武蔵野個別指導塾

移項の符号で迷ったら、両辺にした操作を一行戻って確かめましょう。紙のカードと途中式を対応させ、求めた値を代入すれば、移項の誤りを自分で点検する練習が始められます。

方程式の解き方—「移項」の誤りを教材で可視化する

符号を変えたつもりなのに、答えが合わない

よくあるのは、返却された成績表の封筒から答案を取り出し、3x + 5 = 17 を指さしながら「移項したのに、また違った」とつぶやく場面です。次の行には 3x = 17 + 5 とあります。「反対側へ行ったら符号を変える」と言い直すことはできても、自分の式のどこが違うのかは、まだ結びついていません。

ここで「符号に気をつけて」とだけ伝えると、次は合っても、引き算のある問題でまた止まることがあります。注意する場所が曖昧なまま、覚える決まりだけが増えるからです。お子さまが見失っているのは、数字の符号そのものなのか、等号の意味なのか、それとも省略された途中の操作なのか。まず、その違いを紙の上に出してみましょう。

方程式は、左右が等しくなる文字の値を探す式です。移項は、その値を変えずに式を整理するための書き方です。紙のカードと途中式を使えば、「どこへ動かすか」の手前にある「両側に何をしたか」が見えてきます。答えを直すだけでなく、自分で誤りを見つけて戻れる解き方を育てます。

移項で消えてしまう、両辺への操作

3x + 5 = 17 の左側を左辺、右側を右辺と呼びます。この等号は「ここから答えを書く」という印ではなく、左辺と右辺が等しいという関係を表します。x の値によって、この関係が成り立つかどうかが決まります。たとえば x = 4 なら左辺は 17 となり、右辺と一致します。x = 5 なら左辺は 20 となり、一致しません。この違いが、方程式の解を確かめる出発点です。

左辺の +5 をなくしたいときは、両辺から 5 を引きます。省略せずに書くと 3x + 5 – 5 = 17 – 5、整理すると 3x = 12 です。元の等式が成り立つ x について、等しい量から同じ量を引けば、残った量も等しくなります。続いて両辺を 3 で割ると x = 4 です。このように、同じ操作を両辺に行うことが式の変形を支えています。

移項では、真ん中の 3x + 5 – 5 = 17 – 5 を省いて、3x = 17 – 5 と書きます。見た目では +5 が右辺で -5 に変わっていますが、実際には両辺から 5 を引いています。この一行を知らないまま「向こうへ行くと符号が変わる」だけを覚えると、足す項と、掛けている数や割っている数との違いが曖昧になります。

たとえば 3x = 12 の 3 は、x に掛けている数です。これを右辺に -3 と書いて x = 12 – 3 にすることはできません。x を 1 個分にするには、両辺を 3 で割ります。また、x/3 = 4 なら、両辺に 3 を掛けて x = 12 とします。いずれも「反対側に移した」とまとめず、「足している」「掛けている」「割っている」を見分ける必要があります。

具体物を使う意味も、ここにあります。Namkung と Bricko は、具体物を用いて手順や意味を明確に示す指導によって、方程式の概念と手続きが大きく改善したと報告しています（Namkung & Bricko・2020）。今回参照する研究を含め、この分野には海外の小中学生を対象とする研究が多く、この研究も米国の 6 年生 48 名を対象に週 3 回・各 30 分の指導を 5 週間行った無作為化比較試験なので、ここで取り組む短い家庭練習に同じ成果をそのまま見込むことはできません。それでも、記号の操作を具体物と結びつけて教えるという方向は、移項を見直す手がかりになります。

ただし、カードを動かせば自動的に理解できるわけではありません。何を表すカードなのか、左右から何を取り除いたのか、動かした後の状態をどの式で書くのかを対応させます。手の動き、短い説明、途中式が一致しているかを確かめることが、教材を使う目的です。

つまずきを見るときも、最後の答えだけでは足りません。3x = 12 まで合っていて 12 ÷ 3 を間違えたなら、移項の理解と計算の誤りは分けて扱います。3x = 17 + 5 と書いたなら、その一つ前へ戻ります。全部を最初からやり直すのではなく、等しい関係を保てなくなった最初の行を探すと、練習すべきところが絞れます。

紙のカードから始める、自分で戻れる練習

最初に、教科書や学校で使っている問題集から、3x + 5 = 17 のように文字が片側だけにある方程式を選びます。最初の練習では、負の数、括弧、分数を一度に入れません。準備するのはノート、筆記具、小さく切った紙です。紙には x と書いたカードと、1 と書いたカードを用意します。時間の区切りは作業を小さくするために使い、終わらなかった分を急いで埋める必要はありません。

最初の 3 分で、式とカードを対応させる

ノートの中央に縦線を引き、左辺と右辺の場所を分けます。左には x のカードを 3 枚と、1 のカードを 5 枚、右には 1 のカードを 17 枚並べます。x のカードは、値がまだわからない同じ量を表します。紙の大きさや重さを比べる道具ではありません。「左は x が 3 個分と 5、右は 17」と、まず式を言葉にします。

次に、左右から 1 のカードを 5 枚ずつ取り除きます。左だけから取らないように、両側の取る枚数を声に出して確かめます。左には x が 3 枚、右には 1 が 12 枚残ります。その状態を 3x = 12 と書き、右の 12 枚を同じ枚数の 3 組に分けます。1 組は 4 枚なので、x = 4 です。カードを操作した後は、必ずその状態を式にして残します。

最初の自己確認は、元の式に答えを入れることです。3 × 4 + 5 = 17 となるかを計算します。ここで左右が合えば、カードから得た値が元の条件を満たすと確かめられます。カードの枚数が多くて扱いにくければ、同じ構造で数が小さい問題に替えて構いません。細かい紙を整えることより、両辺で同じ操作をしたと見えることを優先します。

次の 4 分で、省略された一行を書く

カードを片づけ、同じ問題を記号だけで解きます。3x + 5 = 17 の下に 3x + 5 – 5 = 17 – 5、その下に 3x = 12 と書きます。横には「両辺から 5 を引く」と添えます。続いて 3x/3 = 12/3、x = 4 と書き、「両辺を 3 で割る」と添えます。言葉は短くてよく、数式を読み上げるだけでなく、何をしたかを残します。

2 つ目の自己確認は、前の行から次の行へ進むときに、左右に同じことをしたかを見る方法です。右辺だけに -5 が突然現れていないか、左辺の 3 だけを消していないかを確認します。移項した形だけでは判断しにくければ、省略した一行を書き足します。判断に必要な行を自分で復元できれば、毎回すべての操作を長く書く段階から少しずつ進めます。

教科書の解答例は、答えを隠して使います。まず最初の式だけを見て、次に行う操作を余白に書いてから、解答の次の行を見ます。自分と違っていても、直ちに誤りと決めず、同じ操作が両辺に行われているかを調べます。解答例を一度に写す使い方から、一行ずつ自分の判断と照らす使い方へ変えてみましょう。

続く 4 分で、誤った行を見つけて直す

次は、誤りを含む短い式を検討します。「誤りを探す」と明記して、2x – 3 = 9 の次に 2x = 9 – 3 と書きます。最初の行は正しい問題で、次の行に誤りがあります。左辺の -3 をなくすには両辺に 3 を足すので、必要な一行は 2x – 3 + 3 = 9 + 3 です。したがって 2x = 12、x = 6 になります。

ここでは誤った行を消し切らず、線を引いて横に直した式を残します。「符号を間違えた」だけで終えず、「-3 をなくす操作は +3」と書きます。誤った式から得られる x = 3 を元の式に入れると、左辺は 3、右辺は 9 です。正しい x = 6 なら左辺も 9 になります。元の式への代入は、正解を確認するだけでなく、その変形がおかしいと気づく手がかりにもなります。

3 つ目の自己確認として、今の問題を見ずに「何をなくしたかったか」「両辺に何をしたか」を言います。説明しにくければ、途中式を指さしながらで構いません。誤りの例をいくつも続けると混ざる場合は、正しい解き方を一度確かめ、最後に自力で正しく解き直して終えます。間違った式を覚える練習にしないよう、紙面では正しい流れをはっきり区別します。

最後の 3 分で、数を替えた問題を解く

問題集から 4x + 2 = 18 のような問題を選び、解答を隠して取り組みます。両辺から 2 を引いて 4x = 16、両辺を 4 で割って x = 4 です。前の問題の数値だけを写さず、消したい項を丸で囲み、操作を選びます。最後は 4 × 4 + 2 = 18 と代入して終えます。問題集は、多く解くためだけでなく、同じ構造で数の違う問題を探すためにも使えます。

翌日は最初の 2 分で、前日の解答を見ずに 2x – 5 = 7 を解いてみます。止まったら、すぐに答えを開く前に「-5 をなくすには」と考えます。そこで戻れたか、途中式を見れば戻れたかを、ノートに短く残します。解答を見た直後に解けた状態と、時間を置いて自分で始められた状態を分けると、次に必要な練習が選びやすくなります。

慣れたら、文字が両側にある 5x + 2 = 2x + 11 に進みます。まず両辺から 2x を引くと 3x + 2 = 11、両辺から 2 を引くと 3x = 9、両辺を 3 で割ると x = 3 です。両辺から同じ文字式を引いても、同じ x の値について等しい関係は保たれます。答えを代入すると左辺は 17、右辺も 17 になります。

この段階では、先に両辺から 2 を引いても構いません。操作の順序が解答例と違っても、各行で等しい関係が保たれているかを見ます。一方、両辺を文字 x で割る操作は、x が 0 の可能性を考える必要があるため、ここで練習する解き方には使いません。「両辺に同じことをする」だけでなく、割る数は 0 でないという条件も押さえておきます。

もう一つ、項のまとまりにも注目します。5x + 2 = 2x + 11 で左辺の 5x を消すなら、両辺から引くのは 5x 全体です。5 だけを引いても 5x はなくなりません。ノートでは符号も含めて項を囲み、「どのまとまりをなくすか」を先に決めます。等号をまたぐ矢印だけで済ませず、その下に両辺から引く式をそろえて書くと、操作の対象が明確になります。

負の数が現れる問題では、操作と計算を別々に確認します。2x + 7 = 3 なら、両辺から 7 を引いて 2x = 3 – 7 です。この行まで正しく書けたら、次は 3 – 7 = -4 という数の計算を確かめます。x = -2 を代入すると 2 × (-2) + 7 = 3 です。「答えが負だから間違い」と決めず、元の式が成り立つかで判断します。カードで表しにくい負の数まで無理に同じ並べ方で扱わず、ここでは途中式と代入を確認の中心にします。

逆向きにたどることも確認になります。3x = 12 から x = 4 に進んだなら、x = 4 の両辺に 3 を掛けると前の行に戻ります。3x + 5 = 17 から 3x = 12 へ進んだ場合も、両辺に 5 を足せば戻れます。前後の行がつながると確かめる方法なので、答えがまだ出ていない途中でも使えます。全部を逆に書き直す必要はなく、不安な一か所で試してみましょう。

学習の記録には、日付、問題、迷った行、確かめ方を書きます。「移項が苦手」という大きな言葉だけでは、次に開くページを選べません。「-5 を消すときに引きそうになったが、両辺に +5 と書いて戻れた」なら、直す動きまで見えます。解けた問題にも確認の印をつけ、自分で確かめた経験を残しましょう。

個別指導では、止まった一行と支えの量を記録する

個別指導で最初に確かめたいのは、移項の規則を言えるかだけではありません。3x + 5 = 17 を見て、等号の意味を説明できるか、+5 をなくす操作を選べるか、その操作を両辺に書けるか、3x = 12 から x を求められるかを分けて見ます。同じ誤答でも、説明を聞き直す必要があるところは異なります。

診断用の問題には、足し算の項がある式、引き算の項がある式、文字に数だけが掛かっている式を用意します。たとえば x + 4 = 9、x – 4 = 9、4x = 12 です。この並びなら、4 の見た目は似ていても役割が違うことを確かめられます。速く続けて解かせるよりも、「この 4 は x とどうつながっているか」と一度尋ね、本人の判断を聞きます。

教材の調整は塾が担います。両辺の意味が曖昧なら、カードと式が同時に見える紙面を使います。操作は選べるのに途中で取り違えるなら、両辺に加える数を書く欄を設けます。毎回一行目は書けるが、整理の段階で符号を落とすなら、操作の説明を繰り返すより、変形前後を上下にそろえる練習へ移します。問題数を増やす前に、何が見えると自分で進めるかを調整します。

支えを減らす順番も決めます。最初は操作まで書いた解答例を読み、次は「両辺に何をするか」の欄だけを自分で埋め、最後は白いノートに式を書きます。前の段階で正解できても、次で止まれば、必要な支えを戻します。カードを卒業できたかという見方だけでなく、カードがなくてもその操作を説明できるかを見ます。

塾で残す記録は、「正解」「不正解」の横に、使った支えを添える形にします。たとえば「操作の欄があれば自力」「声かけ後に両辺へ書けた」「手がかりなしで代入まで実施」と書き分けます。同じ正解でも、自力で始めたのか、講師の言葉に沿って進めたのかが異なるからです。支えの量が見えれば、宿題で一人に任せられる範囲も判断できます。

講師の問いかけも、記録しておきたい支えの一つです。「ここは足すよ」と操作を伝えれば書ける状態と、「何をなくしたいか」と聞けば操作から選べる状態は違います。授業では答えに近い言葉を重ねる前に、本人がどこまで判断したかを待ちます。沈黙の間に項を囲んだり、前の行を指で追ったりしているなら、その動きも見ます。自分で考えている時間を、何もできていない時間と取り違えないためです。

次回の授業の入り口では、前回の問題を少し変えて、手がかりを出す前に取り組んでもらいます。前は加える数の欄が必要だったお子さまが、白紙に両辺への操作を書ければ、その変化を本人にも伝えます。まだ止まる場合も、すぐに難易度全体を下げず、操作を書く欄だけを戻して確かめます。何を戻すと再開できたかがわかれば、次の教材には必要な支えだけを残せます。

保護者への連絡も、単に「方程式を学習しました」で終わらせず、題材に合わせて具体化します。連絡文には、扱った式の形、止まった操作、授業中に戻れた方法、家庭で行う範囲を載せます。たとえば「引き算の項をなくす場面で迷いがあり、両辺に同じ数を足す一行を書くと再開できました。家庭では同じ形の問題を解き、最後に元の式へ代入するところまでを確かめます」と伝える形です。

家庭が持つ役割は、教材の診断や解き方の採点をすべて引き受けることではありません。取り組む時間と紙面を確保し、どこで止まったかを残せるようにすることです。「何回言ったら覚えるの」と問う代わりに、「最後に自分で進めたのはどの行かな」と尋ねると、次の授業へ渡す情報になります。保護者が数学の説明に自信を持てなくても、止まった行を一緒に見つける支えはできます。

宿題で同じ誤りが続いた場合は、解答を何度も写す課題に替えず、迷った式をそのまま持ち帰れるようにします。誤りを消して整えたノートだけでは、本人が最初に選んだ操作が見えません。途中の跡を残すことを、手抜きではなく学習の記録として扱います。家庭で説明が長くなり始めたら、質問を余白に書いて区切り、塾がその続きを受け持つ形にします。

進み具合は、扱える式の種類と、自分で確かめる動きの両方から見ます。足し算のある式が解けた次は引き算、次は文字が両辺にある式というように、変える条件を絞ります。同時に、操作を言えたか、誤りを見つけたか、元の式に戻って確かめたかを記録します。難しい式へ進むことだけが前進ではなく、同じ式で講師の助けが減ることも前進です。

括弧や分数を含む式に進むときは、どの処理が加わったのかを明確にします。2(x + 3) = 14 なら、まず両辺を 2 で割って x + 3 = 7 としても、括弧を外しても解けます。どちらの道筋を選んだかを説明できれば、移項の練習が解法の選択につながります。新しい形で誤答が出たときも、移項まで戻すべきか、その前の計算を扱うべきかを切り分けます。

方程式の練習でよくある 3 つの疑問

Q1. 移項という言葉は使わない方がよいのでしょうか

使って構いません。移項は、両辺に同じ数や式を足したり引いたりした結果を、短く表す便利な書き方です。ただ、符号の変化に迷ったときには、その前の操作へ戻れることが必要です。x – 7 = 2 なら「-7 を移項して +7」だけでなく、「両辺に 7 を足す」と言えるかを確かめます。意味を理解した後まで長い途中式を一律に求める必要はありませんが、誤りが出た箇所では省略をほどいてみましょう。短く書けることと、説明できることを一緒に育てます。

Q2. 答えを代入して合えば、途中式は見なくてもよいですか

代入は、その値が元の方程式を満たすかを確かめる方法です。一方、正しい値が出ていても、途中に誤った変形があり、別の計算間違いで偶然帳尻が合っている場合があります。したがって、答えを代入する確認と、各行で等しい関係を保っているかの確認を組み合わせます。また、代入は答えの候補が正しいと確かめられても、誤りの場所を直接教えてはくれません。合わなければ最初の式から一行ずつ見比べ、初めて操作が崩れたところを探します。

Q3. カードで解けても、テストでは使えないのではありませんか

カードは考え方を見えるようにするための入口です。カードだけで答えを出して終えず、動かした直後に対応する式を書くことで、記号だけの解き方へつなげます。慣れたらカードの代わりに簡単な印を描き、次は操作を言葉で添え、最後に途中式だけで解きます。どの支えを減らすかは、お子さまが自分で説明できる範囲に合わせます。手が止まったときに一度カードへ戻っても構いません。その後、同じ問題を記号だけで解き直し、戻った意味を確かめます。

消さずに残した一行が、次の解き方を変える

移項の誤りを直す入口は、「符号に気をつける」という気持ちだけに頼らず、両辺への操作を目に見える形にすることです。カードを動かし、途中式を書き、求めた値を元の式へ戻す。それぞれの確かめ方を持つと、答えが合わないときにも次の行動を選べます。

今日取り組むなら、解けなかった方程式を一つ選び、間違えた行の前に省略されていた操作を書いてみてください。「両辺から何を引いたか」「両辺に何を足したか」を指させれば、見直す場所が具体的になります。保護者は、その一行をお子さま自身が見つけたことに目を向けてみましょう。武蔵野個別指導塾の教材選びにも、両辺のどちらで操作が崩れたかという記録を使えます。省略をほどいた一行から、等号を保つ意味が見えてきます。

参考文献

Namkung & Bricko（2020）, Journal of Learning Disabilities. 具体物を用いる明示的な方程式指導に関する研究。 https://consensus.app/papers/details/df91dc7c52b55564969281f9d12de085/