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中学受験の算数同じあまりの整数—余りを取り除いて共通する倍数の列に戻す｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.15更新 2026.11.15武蔵野個別指導塾の特徴中学受験の算数数の性質・規則性・場合の数

6 で割っても 9 で割っても 4 があまる数を例に、先に 4 を引くと 18 の倍数が残ることを表で追い、範囲の中の候補を書き出します。二つの割り算に共通して出るのは、4 という同じあまりです。

同じあまりが出る整数の見分け方

よくあるのは、ノートのすみに「8 で割っても 12 で割っても 5 あまる数」と書き、8 と 12 の公倍数を探し始めたものの、そこに 5 をどう扱うかで手が止まるという場面です。わり算の式を二つ並べたときに同じ数字があまりの位置に出てくるのに、その一つを消してよいのかどうかがつかめないのです。手が止まる場所は決まっていて、多くの場合は「あまりを足すのか引くのか」の一歩です。

この単元で扱うのは、二つ以上の割る数でわったときのあまりがそろっている整数だけです。あまりが違う場合や、不足のほうがそろう場合は扱いません。出方は大きく三つに分かれます。

第一の型は、条件に合う整数のうち、いちばん小さいものを求める問いです。第二の型は、範囲を決めて、条件に合う整数を全部書き出したり、その個数を数えたりする問いです。第三の型は、範囲の中でいちばん大きいものや、ある数にいちばん近いものを選ぶ問いです。どの型も、やることは同じです。まずあまりを引き、残った数が二つの割る数の共通の倍数になっていることを確かめ、最後にあまりを足し戻します。

見通しを先に言います。整数からあまりを引くと、二つの割る数のどちらでもわり切れる数になります。つまり、共通の倍数の列を作り、そこにあまりを足せば、条件に合う整数の列ができます。増えていく間隔は、二つの割る数の最小公倍数です。この一本の道すじを、数の大きさを変えながら何度も通ることが、この単元の練習になります。

あまりを引くと共通の倍数が残る

わり算には決まった形があります。割られる数を A、割る数を B、商を Q、あまりを R とすると、A = B × Q + R と書け、R は 0 以上で B より小さい数です。この R が B 以上になることはありません。もし R が B 以上なら、もう一つ商を増やせるからです。この「あまりは割る数より小さい」という決まりが、後の判定で効いてきます。

いま、ある整数 N を 6 で割っても 9 で割っても、あまりがどちらも 4 になったとします。このとき、次の二つの式が成り立ちます。

N = 6 × Q1 + 4
N = 9 × Q2 + 4

二つの式の右側は同じ N ですから、両方から 4 を引いた数も同じになります。

N - 4 = 6 × Q1
N - 4 = 9 × Q2

右側を見ると、N − 4 は 6 でわり切れ、9 でもわり切れます。つまり N − 4 は 6 と 9 の共通の倍数です。ここがこの単元の中心です。あまりは「その数がはみ出している分」なので、先に取り除けば、残りはきれいに割り切れる倍数だけになります。式の上でも、4 を引く操作は両方の式から同じ数を引くことになり、等しさが崩れません。

逆も成り立ちます。N − 4 が 6 と 9 の共通の倍数なら、N を 6 で割っても 9 で割っても、あまりは 4 になります。ただし、4 が 6 より小さく、9 よりも小さいことが条件です。もしあまりが 7 なら、6 で割ったときに商をもう一つ増やせるので、あまりが 7 のまま残ることはありません。同じあまりを扱う問題で「あまりは 4 です」と書かれていたら、まず 4 が二つの割る数の両方より小さいかを目で確かめます。ここが崩れている問題は、条件そのものが成り立たないので、計算に入る前に気づけます。

図1のように、数直線の上で「あまり 4」をそろえて眺めると、4 の後ろに 18 ずつ間をあけた点が並びます。18 は 6 と 9 の最小公倍数です。最小公倍数より小さい共通の倍数はありませんから、最初の点は 4 + 18 = 22 になります。

なぜ間隔が最小公倍数になるのかも、言葉で押さえておきます。6 と 9 の共通の倍数は、6 の倍数でもあり 9 の倍数でもある数です。そのような数は、最小公倍数の 18 を何倍かしたものだけです。18 の倍数でない数を共通の倍数にはできないので、共通の倍数の列は 18、36、54、… と 18 ずつ増えます。そこへ同じあまりの 4 を足せば、候補の列も 18 ずつ増えるというわけです。

図1の点は 4、22、40、58 と続きます。4 自身も 6 で割れば商 0 あまり 4、9 で割れば商 0 あまり 4 ですから、条件を満たします。ただし、問題で「二けたの整数」や「100 以上」と範囲が指定されたときは、4 を含めるかどうかを問題文に戻って確かめます。小さいほうの端を数に入れるかどうかは、答えの個数を変えるためです。

表にすると、候補が二つの割り算の両方で同じあまりになることが一度に見えます。

数	4	22	40	58	76
6 で割った式	6 × 0 + 4	6 × 3 + 4	6 × 6 + 4	6 × 9 + 4	6 × 12 + 4
9 で割った式	9 × 0 + 4	9 × 2 + 4	9 × 4 + 4	9 × 6 + 4	9 × 8 + 4

表の上段と中段で、あまりの列がどれも 4 でそろっています。商だけが 0、3、6、9、12 と 3 ずつ増え、下段では 0、2、4、6、8 と 2 ずつ増えます。商の増え方が違っても、あまりが同じなら候補の列は一つに決まる、ということがこの表の読みどころです。

ここで、あまりを足したまま共通の倍数を探すと、何が起きるかも確かめておきます。6 と 9 の代わりに、6 + 4 = 10 と 9 + 4 = 13 の共通の倍数を探すと、130 が見つかります。130 に 4 を足した 134 は、6 で割ると 22 あまり 2 で、あまりが 4 になりません。足した数は、もとの割り算のあまりではなくなってしまうのです。

もう一つ、間隔の決め方にも触れます。6 と 9 のように共通の約数を持つ組では、積の 54 をそのまま間隔にすると、候補を飛ばしてしまいます。54 ずつ増やした列は 4、58、112 となり、22 と 40 が抜けます。間隔は必ず最小公倍数の 18 です。共通の約数があるかどうかは、二つの数を小さい因数に分けてから見ると取り違えません。

基本例題 6 と 9 で 4 あまる数

基本例題です。6 で割っても 9 で割っても 4 あまる整数のうち、いちばん小さいものを求めます。答えは整数で、単位は付けません。

まず、6 と 9 の最小公倍数を求めます。6 の倍数は 6、12、18、24、…、9 の倍数は 9、18、27、… ですから、最初に共通して出てくる 18 が最小公倍数です。6 = 2 × 3、9 = 3 × 3 と分けて、共通する 3 を一回だけ数え、2 × 3 × 3 = 18 と確かめても同じです。

次に、条件からあまりの 4 を引いた数が、この 18 の倍数になることを使います。いちばん小さい正の共通の倍数は 18 ですから、18 に 4 を足し戻します。

18 + 4 = 22

答えは 22 です。確かめます。22 = 6 × 3 + 4 で、22 = 9 × 2 + 4 です。どちらもあまりが 4 で、4 は 6 よりも 9 よりも小さいので、条件に合います。図2のように、22 を二つの式に分けて、あまりの 4 がそろっていることを確かめます。

続けて、22 の次の数を出します。共通の倍数が 18 ずつ増えるので、次は 22 + 18 = 40 です。40 = 6 × 6 + 4、40 = 9 × 4 + 4 で、やはりあまりは 4 です。その次は 58 で、58 = 6 × 9 + 4、58 = 9 × 6 + 4 となります。一度最小公倍数が決まれば、あとは同じ間隔で並べるだけで、一つずつ割って試す必要はありません。

この単元の問いは、型が変わっても「引く、共通の倍数を作る、足す」の三手順に収まります。数の大きさが変わっても、この三手順の順番が入れ替わることはありません。この形が身につくと、はじめて見る数でも、まず何を引くかを考えれば手が動きます。反対に、順番を入れ替えて「足してから探す」と、あとの節で見るような答えに落ちます。

この「一つずつ試さない」ことが、この単元の速さの源です。1000 までの数を順に割って確かめると、時間がいくらあっても足りません。18 という間隔をつかめば、22 から先は足し算だけで候補が並びます。試験の場面でも、候補を三つ書いて間隔を確かめれば、その先の計算は一桁の足し算になります。

標準例題範囲を決めて個数を数える

標準例題です。5 で割っても 8 で割っても 2 あまる整数のうち、300 より小さいものはいくつありますか。個数を答える問題なので、答えは整数で、単位は付けません。

5 と 8 は共通の約数を持たないので、最小公倍数は 5 × 8 = 40 です。5 の倍数と 8 の倍数を並べても、最初に共通するのは 40 です。条件から 2 を引いた数が 40 の倍数になるので、候補は 40 × 1 + 2 = 42 から始まり、40 ずつ増えます。

300 より小さい範囲で、どこまで入るかを調べます。40 × 7 + 2 = 282 で、40 × 8 + 2 = 322 ですから、282 が最後です。個数は、40 × 1 から 40 × 7 までの 7 個になります。

42, 82, 122, 162, 202, 242, 282

書き出して数えると 7 個です。両端の確かめをします。42 = 5 × 8 + 2、42 = 8 × 5 + 2 で条件に合います。282 = 5 × 56 + 2、282 = 8 × 35 + 2 でも合います。最後の 282 に 40 を足した 322 は 300 を超えるので、これ以上は入りません。

同じ型の問いでも、聞き方が変われば数え方が変わります。「300 より小さいものはいくつか」と「300 以下のものはいくつか」では、300 自身が候補かどうかが違いを生みます。300 は 5 で割るとわり切れ、8 で割ると 4 あまりで、条件の 2 には合いません。それでも、端の数をその場で割ってみる手順を身につけておけば、範囲を表す言葉に迷わずに済みます。

ここで気をつけるのは、範囲の外にある小さい数を勝手に数に入れたり、逆に落としたりしないことです。2 は 5 で割れば商 0 あまり 2、8 で割れば商 0 あまり 2 で、条件を満たします。しかし問題が「300 より小さい整数」ではなく「二けたの整数」や「100 以上」と範囲を決めていれば、その範囲の端をそのまま使います。端を含むかどうかは、問題文の言葉をそのまま読むのが確実です。

別の数え方でも照合します。候補は 40 ずつ増えるので、範囲の幅を 40 で割った商で個数を見積もれます。300 より小さい最大の候補は 282 です。282 から 42 までを 40 ずつ区切ると、(282 − 42) ÷ 40 = 6 で、区切りが 6 回、点はその両端なので 6 + 1 = 7 個です。書き出した 7 個と一致します。この「区切りの回数に 1 を足す」数え方は、候補の間隔が一定のときにいつでも使えます。

発展例題三つ目の割り算へつなぐ

発展例題です。9 で割っても 15 で割っても 6 あまる整数のうち、1000 以下でいちばん大きいものを求め、その数を 7 で割ったときのあまりも求めます。

9 と 15 の最小公倍数を求めます。9 = 3 × 3、15 = 3 × 5 ですから、共通する 3 を一回だけ数えて 3 × 3 × 5 = 45 です。9 の倍数は 9、18、27、36、45、…、15 の倍数は 15、30、45、… で、確かに 45 が最初の共通点です。

条件から 6 を引いた数が 45 の倍数なので、候補は 45 × 1 + 6 = 51 から 45 ずつ増えます。1000 以下でいちばん大きい候補を探します。45 × 22 = 990 ですから、990 + 6 = 996 が入り、45 × 23 = 1035 に 6 を足した 1041 は 1000 を超えます。答えの一つ目は 996 です。

確かめます。996 = 9 × 110 + 6、996 = 15 × 66 + 6 で、どちらもあまりが 6 です。6 は 9 よりも 15 よりも小さいので条件に合います。商の 110 と 66 は、どちらも割り切れる部分が 990 で共通していることを示しています。

次に、996 を 7 で割ります。7 × 142 = 994 ですから、996 = 7 × 142 + 2 で、あまりは 2 です。答えは 996 と、7 で割ったときのあまり 2 です。戻り確かめとして、7 × 142 + 2 を計算すると 996 になります。

別の数え方でも照合します。あまりの 6 を引いた 994 を 45 で割ると、商が 22 で 4 あまります。つまり、45 の倍数の中で 994 を超えない最大のものは 45 × 22 = 990 で、これに 6 を戻した 996 が答えです。候補を一つずつ書き出さずに、範囲の端の数を割り算で確かめる道すじで、書き出した答えと同じ数に着きます。

この問題の分かれ目は、二つの条件で見つけた数を、そのまま三つ目の割り算へ持っていくところです。三つ目の 7 は、最初の二つの条件とは関係がありません。共通の倍数を作るための割る数と、最後に確かめるための割る数を混ぜないことが大切です。もし 7 も条件に加えるなら、45 と 7 の最小公倍数 315 を使い、315 ずつ増える列を作り直します。順番を変えると答えが変わるので、どの割る数が「あまりをそろえる相手」で、どれが「後から確かめる相手」かを、式を書いて分けておきます。

よくある誤り割る数にあまりを足してしまう

誤りの実例です。4 で割っても 6 で割っても 3 あまる整数のうち、いちばん小さいものを求める問題で、4 + 3 = 7 と 6 + 3 = 9 の共通の倍数を探し、7 × 9 = 63 に 3 を足して 66 と答えた子がいました。

66 を確かめると、66 = 4 × 16 + 2 で、あまりが 2 です。6 で割ると 66 = 6 × 11 + 0 で、わり切れてしまいます。二つの割り算のどちらも、あまりが 3 になっていません。答えを出した本人も、確かめの式を書いたときに「あれ」と気づく場面です。

原因は、あまりを足す相手を間違えたことです。あまりの 3 は、割る数の 4 や 6 に足すものではありません。整数から取り除くものです。4 + 3 = 7 という数は、この問題のどこにも出てきません。足してしまったために、共通の倍数を探す相手そのものが変わってしまったのです。

正しくは、まず 4 と 6 の最小公倍数を求めます。4 = 2 × 2、6 = 2 × 3 で、共通する 2 を一回だけ数えて 2 × 2 × 3 = 12 です。次に、あまりの 3 を足し戻して 12 + 3 = 15 とします。15 = 4 × 3 + 3、15 = 6 × 2 + 3 で、どちらもあまりが 3 です。

同じ誤りは、数が変わっても同じ形で起きます。10 で割っても 15 で割っても 4 あまる数を同じ手順で探すと、10 + 4 = 14 と 15 + 4 = 19 の共通の倍数として 266 が見つかり、270 と答えてしまいます。270 は 10 でわり切れてしまい、あまりは 0 です。正しくは 10 と 15 の最小公倍数 30 に 4 を足した 34 で、34 = 10 × 3 + 4、34 = 15 × 2 + 4 となります。図3のように、二つの道すじを並べると、足す位置の違いがはっきりします。

この二つの例に共通するのは、誤りの答えにも「あまりらしい数」が現れることです。66 にも 270 にも、もとのあまりの 3 や 4 が混ざっています。数字だけを見ていると正しそうに見えるので、必ず二つの割り算の両方で確かめる習慣が必要です。片方だけ確かめて合っていると、もう片方のずれを見落とします。

練習問題

次の五問を解きます。答えは五問の後にまとめて載せます。どの問題も、答えの形は問題文に書いてあるとおりにしてください。

5 で割っても 7 で割っても 2 あまる整数のうち、いちばん小さいものを求めます。答えは整数で書きます。
8 で割っても 10 で割っても 6 あまる整数のうち、100 以下でいちばん大きいものを求めます。答えは整数で書きます。
6 で割っても 11 で割っても 3 あまる整数を、400 以上 500 以下から全部求めます。小さい順に書きます。
3 で割っても 7 で割っても 1 あまる整数のうち、100 以上 200 以下にあるものの個数を求めます。答えは個数で書きます。
12 で割っても 18 で割っても 5 あまる整数のうち、三けたの整数を小さい順に並べたとき、三番目の数を求めます。答えは整数で書きます。

練習問題の答えと解き方

1 の答え 37

5 と 7 は共通の約数を持たないので、最小公倍数は 5 × 7 = 35 です。35 に 2 を足して 37 です。37 = 5 × 7 + 2、37 = 7 × 5 + 2 で、どちらもあまりが 2 です。

2 の答え 86

8 = 2 × 2 × 2、10 = 2 × 5 で、共通する 2 を一回だけ数えると 2 × 2 × 2 × 5 = 40 が最小公倍数です。40 に 6 を足した 46 から 40 ずつ増やします。46、86、126 と並ぶので、100 以下でいちばん大きいのは 86 です。86 = 8 × 10 + 6、86 = 10 × 8 + 6 で確かめられます。

3 の答え 465

6 と 11 は共通の約数を持たないので、最小公倍数は 6 × 11 = 66 です。66 に 3 を足した 69 から 66 ずつ増やし、400 以上 500 以下に入るものを探します。66 × 6 + 3 = 399 は 400 より小さく、66 × 7 + 3 = 465 が範囲に入り、66 × 8 + 3 = 531 は 500 を超えます。範囲に入るのは 465 だけです。465 = 6 × 77 + 3、465 = 11 × 42 + 3 で確かめられます。

4 の答え 5 個

3 と 7 は共通の約数を持たないので、最小公倍数は 21 です。21 に 1 を足した 22 から 21 ずつ増やします。100 以上 200 以下で調べると、21 × 5 + 1 = 106、21 × 6 + 1 = 127、21 × 7 + 1 = 148、21 × 8 + 1 = 169、21 × 9 + 1 = 190 の 5 個です。21 × 10 + 1 = 211 は 200 を超えます。106 = 3 × 35 + 1、190 = 3 × 63 + 1 で、端の二つも確かめられます。

5 の答え 185

12 = 2 × 2 × 3、18 = 2 × 3 × 3 で、共通する 2 と 3 を一回ずつ数えると 2 × 2 × 3 × 3 = 36 が最小公倍数です。36 に 5 を足した 41 から 36 ずつ増やします。三けたになるのは 36 × 3 + 5 = 113 からです。小さい順に 113、149、185 と並ぶので、三番目は 185 です。185 = 12 × 15 + 5、185 = 18 × 10 + 5 で確かめられます。

覚えておくこと

二つの割り算で同じあまりが出たら、まずそのあまりを引く。
残った数は、二つの割る数の共通の倍数になっている。
共通の倍数の列に、あまりを足し戻せば候補が並ぶ。
増える間隔は、二つの割る数の最小公倍数。
あまりは、どの割る数よりも小さい数でなければならない。

つまずきの見分け方と確かめる場所

つまずきの見え方は三つに分かれます。一つ目は、答えの数が条件のどれかを満たしていない場合です。このときは、候補を作る前の式に戻り、割る数とあまりを足していないかを確かめます。足した跡があれば、正しい手順はまだ身についていません。答えの数字をもう一度見るのではなく、答えを作った式の形を見るのが早道です。

二つ目は、候補の数は合っているのに、個数や順番を間違える場合です。範囲の端の数を候補に入れたかどうか、最初の数を 0 番目と数えていないかを、書き出した列と問題文を並べて確かめます。端の確認は、範囲のすぐ外側の数を一つ計算して、それが入らないことを見るのが確実です。300 より小さいなら 322 を、500 以下なら 531 を計算して、確かに外れることを確かめます。

三つ目は、最小公倍数そのものを間違える場合です。二つの数の積をそのまま答えていると、共通の約数があるときに大きすぎる数になります。6 と 9 なら積は 54 ですが、最小公倍数は 18 です。割る数を素数の積に分けて書き、共通する因数を一回だけ数える練習を、短い数で何度か行います。4 と 6 なら 12、9 と 15 なら 45 と、声に出して確かめられる数から始めます。

もう一つ、確かめる場所として、答えを出したあとに問題文の条件を一行ずつ指で追う時間を取ります。割る数、あまり、範囲、答えの形の四つを指で確かめ、四つとも合っていれば答えです。計算が速い子ほどこの確認を飛ばすので、時間を決めて行うのが効きます。

個別指導では、次の三つを口に出して確かめてもらいます。「まず何を引くか」「残った数は何の倍数か」「足し戻すのはいくつか」。この三つが順に言えれば、計算の細部が崩れても自分で戻れます。逆に、式は書けるのにこの三つが言えないときは、手順を覚えているだけで理由が入っていません。数直線に候補を三つ書かせ、間隔が何の数かを指させる確認が有効です。

数字をにらむより、まず同じ数を引いてすっきりさせる。その一手間が、遠回りに見えて、いちばん速い近道です。