大学入試数学 一変数を固定する最大最小—内側の最適点が動く範囲を外側の条件と合わせる｜武蔵野個別指導塾

長方形の範囲で二変数の式を一方の文字でくくり、頂点が許容区間から出る境目を求めます。境目では両方の式が同じ値になるかを確かめ、答案では一変数だけを固定します

よくあるのは、長方形の範囲で二変数の式の最大を求める場面です。y を止めて x の二次関数とみなし、頂点の x 座標をそのまま答案に書いたところで、その点が範囲の外に出ていることに気づかない。頂点は y とともに動くので、動いた先が使えるかどうかを毎回確かめる必要があります。値は合っているのに点が違う、あるいは範囲外の点を平気で答えてしまう、という形で差がつきます。

一変数を固定すると何が見えるか

長方形の範囲で二変数の式の最大・最小を問われるとき、出方は大きく三つに分かれます。一つ目は、0≤x≤2、0≤y≤3 のような長方形が与えられ、式が x と y の二次式である型です。二つ目は、y を定数とみて x の関数にしたときの頂点が、y の値によって範囲の外へ出る型です。三つ目は、外側で得た最大・最小が頂点ではなく、辺の途中や場合分けの境目で起きる型です。

道具は平方完成と、閉区間での二次関数の軸・端点の比較だけです。微分や偏微分は使いません。式を一つの文字でくくると、二変数の問題が「固定した文字の値ごとの一変数の問題」に変わり、その答えを集めたものが元の答えになります。この読み替えが正しいのは、長方形を、固定した文字の値ごとの線分に分けて考えているからです。長方形は、y を一つ決めるごとに横一本の線分に分かれ、それらの線分が重なりなく全体を覆います。だから各線分での最適値を集め、その中の最大または最小を選べば、長方形全体での答えになります。

問題文を読んだら、まず固定する文字を決めます。x を固定しても y を固定しても答えは同じですが、軸の式が短くなる方を選ぶと計算量が減ります。どちらを選んだかは答案の最初に書いておくと、後の場合分けが読みやすくなります。

軸が動く範囲と切替の連続性

y=t と固定し、f(x,t) を x の二次関数とみます。x² の係数が 0 でなければ、平方完成によって f(x,t)=a(x-α(t))²+β(t) の形に書けます。この α(t) が軸の x 座標で、t の値に応じて動きます。固定した文字の値ごとに軸が違う、ということがこの型の中心です。

x の動ける範囲が 0≤x≤2 なら、軸がこの区間に入るかどうかで答え方が変わります。0≤α(t)≤2 のときは頂点の値 β(t) が最大または最小になり、α(t) が区間の外にあるときは、関数が区間の中で単調になるので、最大・最小はどちらも端点で起こります。どちらの端点になるかは、開き方と軸の位置で決まります。ここで「内側で選んだ点が動ける範囲」を忘れると、範囲外の点を答えにしてしまいます。図1のように、固定した y に対する軸は長方形の外へ出ることがあります。

軸が端点に一致する t の値を境目と呼びます。この境目では、頂点の式と端点の式が同じ点を指すので、値も一致します。したがって場合分けを二つに切ったら、必ず境目の値を両方の式で計算し、差が 0 になることを確かめます。連続性は暗記するものではなく、同じ点を二通りに書いた結果として出てきます。

外側の手順はもう一段あります。各 t に対する最適値 h(t) を求めたら、次は h(t) を t の区間で最大または最小にします。h(t) は区間ごとの二次関数なので、その軸が今度の区間に入るか、端点とどちらが大きいかを調べます。この二段目の場合分けを落とすと、答えが一つ手前で止まります。

最後に、外側で選んだ t から x を戻します。頂点の式を使った区間なら x=α(t)、端点の式を使った区間なら x=0 か x=2 です。ここを取り違えると、値は合っているのに点が違う答案になります。値と点を別々に確かめる習慣が、この型では特に効きます。

内側の関数が一次式になる場合は、軸がありません。そのときは各 t で最大・最小が端点のどちらかで起こるので、場合分けは固定した文字の範囲だけで済みます。x² の係数が 0 かどうかを最初に見るのは、この分岐のためです。係数が 0 でないことを確かめてから平方完成に入ります。

外側の最適点がちょうど境目に来ることもあります。そのときは頂点と端点が同じ点を指すので、どちらの枝で計算しても値も点も一致します。境目を答えに含めるか迷ったら、両方の式に同じ t を入れて確かめれば足ります。境目は特別な場合ではなく、二つの枝が重なる一点として扱います。

基本例題：長方形の上で最大を探す

例題1 (標準). 0≤x≤2、0≤y≤3 とする。f(x,y)=2x-(x-y)² の最大値と、最大値を与える点 (x,y) を求めよ。

解答. y=t と固定します。x の二次関数として平方完成します。

f(x,t) = 2x-(x-t)²
       = -x²+(2t+2)x-t²
       = -(x-(t+1))²+(t+1)²-t²
       = -(x-(t+1))²+2t+1

軸は x=t+1 です。x の範囲は 0≤x≤2 なので、t+1≤2 すなわち 0≤t≤1 のときは頂点が範囲に入り、最大値は 2t+1 です。t+1>2 すなわち 1<t≤3 のときは、軸が右隣の外にあるので、範囲の中では x が大きいほど値が大きく、最大は x=2 で起こります。このときの値は

f(2,t) = -(2-(t+1))²+2t+1
       = -(t-1)²+2t+1
       = -t²+4t
       = 4-(t-2)²

です。境目 t=1 では、2t+1=3 と 4-(1-2)²=3 が一致します。

外側では、0≤t≤1 で h(t)=2t+1 が増加するので最大は t=1 の 3、1≤t≤3 では h(t)=4-(t-2)² が t=2 で最大 4 をとります。したがって最大値は 4 です。二つの枝の最大を比べる順序を、答案でもそのまま書きます。

最大を与える点を戻します。t=2 は 1<t≤3 の側なので、x は頂点の t+1=3 ではなく、端点の x=2 です。よって (x,y)=(2,2) で、f(2,2)=4-(2-2)²=4 となります。図2は、この h(t) の形と最大の位置を示しています。

図2のように、t=1 で折れ目ができ、その先は下に開いた放物線になります。折れ目の値 3 より、t=2 の 4 が大きいので、答えは辺の途中の点で決まります。頂点が範囲に入る枝だけを見ていると、この 4 に届きません。四つの頂点だけを調べても、(0,0) と (2,0) が 0、(2,3) が 3、(0,3) が -9 で、最大は 3 に見えます。真の最大 4 は辺 x=2 の途中の (2,2) にあり、頂点を並べるだけでは取り逃がします。

標準例題：最小と最大を別の枝から拾う

例題2 (標準). 0≤x≤2、0≤y≤2 とする。f(x,y)=x²-2xy+3y²-2x+2y の最小値と最大値、およびそれぞれを与える点を求めよ。

解答. y=t と固定して平方完成します。

f(x,t) = x²-2tx+3t²-2x+2t
       = x²-(2t+2)x+3t²+2t
       = (x-(t+1))²+3t²+2t-(t+1)²
       = (x-(t+1))²+2t²-1

軸は x=t+1 です。0≤t≤1 のときは軸が 0≤x≤2 に入り、最小値は 2t²-1 です。1≤t≤2 のときは軸が 2 より右にあり、x の範囲では値が単調に減るので、最小は x=2 で起こります。その値は

f(2,t) = (2-(t+1))²+2t²-1
       = (1-t)²+2t²-1
       = 3t²-2t

です。境目 t=1 では 2-1=1 と 3-2=1 が一致します。

外側の最小は、0≤t≤1 で 2t²-1 が t=0 のとき -1、1≤t≤2 で 3t²-2t=3(t-1/3)²-1/3 が区間内で増加するので t=1 のとき 1 です。小さい方は -1 で、t=0 のとき x=t+1=1 なので (x,y)=(1,0) です。

最大は別の枝から出ます。x の二次関数は下に凸なので、x の範囲での最大は端点のどちらかで起こります。x=0 では 3t²+2t、x=2 では 3t²-2t で、t≥0 より前者が後者以上です。したがって h(t)=3t²+2t を 0≤t≤2 で最大化し、t=2 のとき 16、点は (0,2) です。最小と最大で、使う枝も点も違うことに注意します。

固定する文字を x に替えると、軸は y=(s-1)/3 になり、場合分けの境目は s=1 の一つにまとまります。それでも最小は (1,0) の -1、最大は (0,2) の 16 で、同じ答えに着きます。軸の式が短くなる方を選ぶと、場合分けの数を減らせます。

やや難例題：軸が区間の両端から外れる場合

例題3 (やや難). 0≤x≤2、0≤y≤4 とする。f(x,y)=x²+2xy+3y²-6x-12y の最小値と、最小値を与える点を求めよ。また、最小値を与える点が他にないことを説明せよ。

解答. y=t と固定します。

f(x,t) = x²+(2t-6)x+3t²-12t
       = (x-(3-t))²-(3-t)²+3t²-12t
       = (x-(3-t))²+2t²-6t-9

軸は x=3-t です。t が 0 から 4 まで動くと、軸は 3 から -1 まで動き、区間 0≤x≤2 の右外、中、左外と三通りに分かれます。境目は 3-t=2 すなわち t=1 と、3-t=0 すなわち t=3 です。

0≤t≤1 では軸が 2 以上なので、最小は x=2 で、値は 3t²-8t-8 です。1≤t≤3 では軸が区間内なので、最小は x=3-t で、値は 2t²-6t-9 です。3≤t≤4 では軸が 0 以下なので、最小は x=0 で、値は 3t²-12t です。境目の値は t=1 でどちらも -13、t=3 でどちらも -9 になり、連続しています。

三つの枝をそれぞれ最小にします。0≤t≤1 の 3t²-8t-8 は軸が 4/3 で区間の右にあるため減少し、最小は t=1 の -13 です。1≤t≤3 の 2t²-6t-9 は軸が 3/2 で区間に入り、最小は t=3/2 の -27/2 です。3≤t≤4 の 3t²-12t は軸が 2 で区間の左にあり増加するので、最小は t=3 の -9 です。三つを比べると最小は -27/2 です。

t=3/2 のとき x=3-3/2=3/2 なので、点は (3/2,3/2) です。f(3/2,3/2)=9/4+9/2+27/4-9-18=-27/2 となり、元の式に戻しても一致します。各枝で最小を与える t は一つずつで、その値は -13、-27/2、-9 と異なるため、-27/2 を与える点は (3/2,3/2) だけです。

難例題：辺の内部に最大が現れる

例題4 (難). 0≤x≤2、0≤y≤3 とする。f(x,y)=-2x²+4xy-3y²+4x+6y の最大値と、最大値を与える点をすべて求めよ。

解答. y=t と固定して平方完成します。

f(x,t) = -2x²+(4t+4)x-3t²+6t
       = -2(x-(t+1))²+2(t+1)²-3t²+6t
       = -2(x-(t+1))²-t²+10t+2

軸は x=t+1 です。0≤t≤1 では軸が 1 以上 2 以下で範囲に入り、最大値は -t²+10t+2 です。この式は 0≤t≤1 で増加するので、この枝の最大は t=1 の 11 です。

1≤t≤3 では軸が 2 より右にあり、上に凸の放物線が範囲では単調に増えるので、最大は x=2 で起こります。この値は

f(2,t) = -2(2-(t+1))²-t²+10t+2
       = -2(1-t)²-t²+10t+2
       = -3t²+14t

です。この枝は t=7/3 で最大となり、値は -3・49/9+14・7/3=-49/3+98/3=49/3 です。境目 t=1 では 11 と -3+14=11 が一致します。

二つの枝の最大を比べると、11 より 49/3 が大きいので、最大値は 49/3 です。t=7/3 は 1≤t≤3 の側なので x は端点の 2 で、点は (2,7/3) です。これは長方形の右の辺の内部にあり、四つの頂点のどれでもありません。

頂点だけを調べると、(0,0) で 0、(2,0) で 0、(0,3) で -9、(2,3) で 15 となり、最大は 15 に見えます。しかし (2,7/3) の 49/3 は 15 より大きく、辺の内部まで見ないと最大を取り逃がします。x=2 の辺では y の関数が -3y²+14y となり、その軸 y=7/3 が辺の内側にあることが理由です。

よくある誤り：許容範囲を忘れた軸

例題1で、すべての t に対して頂点 x=t+1 をそのまま採用してしまう誤りがあります。この進め方だと h(t)=2t+1 となり、0≤t≤3 の最大は t=3 の 7、点は (4,3) と答えてしまいます。

破綻するのは t>1 の範囲です。t=3 のとき軸は x=4 で、x の許容範囲 0≤x≤2 の外にあります。実際に x=2 で計算すると f(2,3)=4-(3-2)²=3 で、7 にはなりません。図3は、軸が長方形の外へ出た点と、実際に最大を与える点を並べたものです。

直し方は決まっています。まず軸の式を出し、軸が区間に入る条件を不等式で書きます。次にその条件で場合分けし、区間の外では端点の値を使います。最後に境目で両方の式を計算し、値が一致することを確かめてから外側の最大を比べます。図3のように、軸が外に出た点はどれだけ値が大きくても採用できません。

もう一つの誤りは、境目の値を片方の式でしか計算しないことです。t=1 で 2t+1=3、4-(t-2)²=3 と両方から同じ値が出ることを確かめれば、場合分けの付け忘れや式の写し間違いに気づけます。逆に、境目で値が食い違ったら、軸の式か平方完成のどちらかが誤っています。

境目を除いて場合分けする誤りもあります。0≤t<1 と 1<t≤3 のように書くと t=1 がどちらの枝にも入らず、最大や最小がその一点で起きていた場合に落とします。境目は両方の枝に含める形で書き、値を二度確かめるのが安全です。

練習問題

練習1. 0≤x≤1、0≤y≤3 とする。f(x,y)=x²-2xy+2y²+2x-4y の最小値と、最小値を与える点 (x,y) を求めよ。

練習2. 0≤x≤2、0≤y≤4 とする。f(x,y)=-y²+4xy-3x²+2y-2x の最大値と、最大値を与える点 (x,y) を求めよ。x を固定して y の関数とみると進めやすい。

練習3. 0≤x≤3、0≤y≤2 とする。f(x,y)=-x²+2xy-3y²+6x+4y の最大値と最小値、およびそれぞれを与える点を求めよ。

練習4. 0≤x≤3、0≤y≤3 とする。f(x,y)=(x+y-2)²+1 の最小値と最大値、およびそれぞれを与える点をすべて求めよ。

練習5. 1≤x≤3、0≤y≤2 とする。f(x,y)=x²-2xy+2y²-4x+2y の最小値と、最小値を与える点 (x,y) を求めよ。

練習問題の答えと解き方

練習1. y=t と固定すると f=x²+(2-2t)x+2t²-4t=(x-(t-1))²+t²-2t-1 です。軸は x=t-1 で、t の値によって 0 以下、区間内、1 以上と三通りに分かれます。

0≤t≤1: 最小は x=0 で 2t²-4t=2(t-1)²-2
1≤t≤2: 最小は x=t-1 で t²-2t-1=(t-1)²-2
2≤t≤3: 最小は x=1 で 2t²-6t+3=2(t-3/2)²-3/2

境目 t=1 ではどちらも -2、t=2 ではどちらも -1 です。三つの枝の最小は順に -2、-2、-1 なので、全体の最小は -2 です。t=1 のとき x=t-1=0 なので、点は (0,1) です。f(0,1)=-2 で、元の式に戻しても一致します。

練習2. x=s と固定すると f=-y²+(4s+2)y-3s²-2s=-(y-(2s+1))²+s²+2s+1 です。軸は y=2s+1 で、0≤s≤2 では 1 以上 5 以下です。y の範囲は 0≤y≤4 なので、2s+1≤4 すなわち 0≤s≤3/2 では頂点が範囲に入り、最大は s²+2s+1=(s+1)² です。3/2≤s≤2 では軸が 4 より右にあり、最大は y=4 で起こります。

0≤s≤3/2: 最大は y=2s+1 で s²+2s+1=(s+1)²
3/2≤s≤2: 最大は y=4 で -3s²+14s-8

境目 s=3/2 では 25/4 と -27/4+21-8=25/4 が一致します。前者は増加するので最大は s=3/2 の 25/4、後者は -3(s-7/3)²+25/3 で、軸が 2 より右なので s=2 のとき最大 8 です。大きい方は 8 で、s=2 のとき y=4 なので、点は (2,4) です。f(2,4)=-16+32-12+8-4=8 となり、一致します。

練習3. y=t と固定すると f=-x²+(2t+6)x-3t²+4t です。軸は x=t+3 で、0≤t≤2 では 3 以上です。したがって x の範囲 0≤x≤3 では値が単調に増え、最大は x=3 で起こります。

f(3,t) = -9+6t+18-3t²+4t
       = -3t²+10t+9
       = -3(t-5/3)²+52/3

外側の最大は t=5/3 の 52/3 で、点は (3,5/3) です。最小は、上に凸の放物線なので x の範囲の端点で起こります。x=0 では -3t²+4t、x=3 では -3t²+10t+9 で、後者が前者より大きいので、最小は x=0 の枝から出ます。0≤t≤2 で -3t²+4t を最小にすると、端の t=2 で -4 です。したがって最小値は -4、点は (0,2) です。

練習4. y=t と固定すると f=(x-(2-t))²+1 です。軸は x=2-t で、0≤t≤2 の間はつねに 0≤x≤2 に入ります。2≤t≤3 では軸が負になるので、最小は x=0 で (t-2)²+1 です。

0≤t≤2 では各 t で最小値が 1 で、x=2-t のときに限り達成されます。したがって最小値を与える点は、x+y=2 かつ 0≤x≤2 を満たす点の全体で、(0,2) と (2,0) を結ぶ線分上のすべての点です。最大は x+y の範囲が 0 以上 6 以下であることから、(x+y-2)² の最大が 16、f の最大が 17 です。達成するのは x+y=6 の (3,3) だけです。

練習5. y=t と固定すると f=x²-(2t+4)x+2t²+2t=(x-(t+2))²+t²-2t-4 です。軸は x=t+2 で、0≤t≤1 では 2 以上 3 以下、1≤t≤2 では 3 より右にあります。

0≤t≤1: 最小は x=t+2 で t²-2t-4=(t-1)²-5
1≤t≤2: 最小は x=3 で 2t²-4t-3=2(t-1)²-5

境目 t=1 ではどちらも -5 です。両方の枝で最小は t=1 の -5 になり、そのとき x=3 です。したがって最小値は -5、点は (3,1) です。f(3,1)=9-6+2-12+2=-5 で、元の式に戻しても一致します。

覚えておくこと

• 固定した文字で平方完成し、軸の座標を式で書く。
• 軸が区間に入る条件を不等式にして、入るときは頂点、外れるときは端点を使う。
• 境目では両方の式が同じ値になることを計算して確かめる。
• 外側では h(t) をもう一度、軸と端点で調べる。
• 答えの点は、使った枝の式から戻す。頂点の式と端点の式を混ぜない。

つまずきの見分け方と個別指導で確かめること

軸をそのまま答えにしている答案は、固定した文字の値から x の許容範囲へ戻る計算が抜けています。答案の横で軸の式に t の値を代入させ、0≤x≤2 に入るかを声に出して確かめてもらうと、どこで場合分けが必要かに気づけます。

境目の値が合わない答案は、平方完成か場合分けの条件のどちらかが誤っています。t=1 など境目の値を両方の式に入れて計算し、差が 0 になるかを見せると、誤りが式の変形にあるのか条件の書き方にあるのかを切り分けられます。

外側の最大・最小を忘れている答案は、h(t) の式は出せているのに、その先の処理が止まっています。h(t) のグラフを一本書かせ、区間ごとの軸と端点を指で示させると、二段目の場合分けが必要だとわかります。

説明を確かめるときは、軸、許容条件、場合分け、境目、外側、達成点の六つを順に言わせます。どれか一つが抜けたら、その段階だけを別の数値で練習します。答えの値だけでなく、その点が範囲に入っているかを最後に確認する習慣が、この型の得点を安定させます。

軸の位置を不等式で区切る一手間が、最大・最小の答えを最後まで決めます。