高校物理 力学 動滑車と拘束条件—糸の長さから加速度の関係を導いて運動方程式を立てる｜武蔵野個別指導塾

2本の糸で支える荷と自由端の変位を比べ、張力が正かを調べる鍵は動滑車の拘束条件です。

よくあるのは、動滑車につながる糸の両端について、加速度の大きさを等しく置く場面です。天井に固定した端は動かず、もう一方の端を引くと荷は動きます。糸のどの部分が長くなり、どの部分が短くなるかを数えれば、端と荷の動きが異なる理由が見えてきます。

ここでは伸びない軽い糸と理想的な滑車を使い、動く滑車が1個の装置を考えます。摩擦や滑車の質量が無視できない場合は、得た式をそのまま適用できません。糸が張っている区間と、緩んだ後の運動も分けます。

どの動きを先に結ぶか

問いの型は大きく3つあります。自由端の運動から荷の運動を求める型では、糸の長さの式が中心です。自由端におもりを付ける型では、長さの式に加え、それぞれの物体の運動方程式が必要です。自由端を外から引く型では、引く力を指定するか運動を指定するかで、既知量と未知量が入れ替わります。

まず動滑車が上下すると長さの変わる糸を数えます。次に各物体に働く力を図示し、選んだ正の向きに従って式を立てます。最後に張力が負でないか、動ける範囲を超えていないかを調べます。式から数値が出ても、糸が押す力を持つことはできないため、負の張力なら張った糸を前提にした解は採用できません。

糸の長さを座標で表す

図1の装置では、糸の一端を天井に固定し、糸を動滑車の下に回してから、天井の定滑車を経ておもりにつなぎます。動滑車と荷をまとめて質量 M、自由端のおもりを質量 m とします。動滑車は軽く、荷と一体に動きます。定滑車は糸の向きを変え、糸は滑らず常に張っているとします。

図1のように、動滑車の中心の下向き座標を y、自由端のおもりの下向き座標を x とします。糸が滑車に接する曲線部分と定滑車の位置は変わらないので、それらの長さをまとめて C と置けます。動滑車を支える2本の直線部分は、それぞれ y が増えると同じだけ長くなります。よって糸の全長 L は

L = 2y + x + C

です。初めの位置からの変位を Δy、Δx とすれば、L と C が一定なので 2Δy + Δx = 0 です。荷が下へ 1 cm 動くなら、自由端は上へ 2 cm 動きます。ここで固定端と自由端の両方が動くわけではありません。固定端の変位は 0 です。

同じ時間で割ると速度も 2vᵧ + vₓ = 0、さらに速度変化を同じ時間で割ると加速度も 2aᵧ + aₓ = 0 です。これは微分を使わず、どの時刻の組でも長さが一定であることから導けます。座標を逆向きに選んだ場合は符号が変わるので、数字の 2 だけを覚えるのではなく、長さの増減から作り直します。

軽い糸では微小な糸の部分に働く両側の張力の差が無視でき、摩擦のない軽い滑車では糸の両側の張力は同じ T です。動滑車を支える2本はそれぞれ上向きに T を及ぼします。したがって荷と動滑車を一体として見ると、上向きの力は 2T、下向きは Mg です。自由端のおもりには上向き T と下向き mg が働きます。重力加速度を g とすれば、両方で下向きを正に取った式は

Mg - 2T = Maᵧ
mg - T = maₓ
aₓ = -2aᵧ

です。ここでは地上に固定した基準で運動を記述し、各式の左辺はその物体に働く力の合計です。2T は荷の上向きの力であり、自由端のおもりに働く力ではありません。

一般にこれらを解くと、aᵧ = (M − 2m)g/(M + 4m)、T = 3Mm g/(M + 4m) です。質量が正なら T は正で、M = 2m では加速度が 0 です。加速度の式の分子は質量、分母も質量なので、全体の単位は g と同じ m/s² です。m が非常に小さければ荷の加速度は下向きに g に近づき、M が非常に小さければ荷は上向きに g/2 に近づきます。いずれも糸が張り、装置の可動範囲内であることを前提にした極限です。

基本例題：2つの重さをつなぐ

質量 6 kg の荷を軽い動滑車につけ、自由端に質量 2 kg のおもりをつなぎます。図1と同じ配置で静かに放し、糸は張ったまま十分に動けるものとします。g = 10 m/s² とし、加速度と張力を既約分数で単位と向きを添えて求めてください。計算用の値は有効数字を指定せず、条件に書いた値を正確な値として扱います。

図2のように荷は上向きに 2T、下向きに 60 N を受けます。おもりは上向き T、下向き 20 N を受けます。荷の下向き加速度を a とすれば、おもりの下向き加速度は -2a です。

60 - 2T = 6a
20 - T = -4a
T = 20 + 4a
60 - 2(20 + 4a) = 6a
a = 10/7
T = 180/7

したがって荷は下向き 10/7 m/s²、おもりは上向き 20/7 m/s²、張力は 180/7 N です。分数のまま表すことで、途中の丸めによる誤差を避けられます。

代入すると荷には 60 − 360/7 = 60/7 N の下向き合力があり、6 kg に 10/7 m/s² を与えます。おもりには 20 − 180/7 = -40/7 N の下向き合力があり、2 kg に -20/7 m/s² を与えます。張力は正です。静止から荷が下へ距離 d だけ動くとおもりは上へ 2d 動き、長さの変化は 2d − 2d = 0 となります。

標準例題：自由端に加える力

同じ配置で自由端におもりを付けず、質量 4 kg の荷を糸の自由端から下向きに一定の力 30 N で引きます。g = 10 m/s²、糸と滑車は理想的で、糸は張り可動範囲に余裕があります。荷の加速度と自由端の加速度を整数で、向きと単位を添えて求めてください。

軽い糸の自由端に与えた力の大きさは張力 T = 30 N です。荷の下向きを正にすると 40 − 2・30 = 4a なので a = -5 m/s² です。荷は上向き 5 m/s²、自由端は下向き 10 m/s² です。荷を押し上げる合力 60 − 40 = 20 N は 4・5 N と一致します。荷が上へ d 動くと支える2本は合計 2d 短くなり、自由端が下へ 2d 動いて糸の長さが保たれます。

引く力を指定する問題と、自由端の加速度を指定する問題を混同しないことが大切です。たとえば同じ荷に自由端を下向き加速度 b で動かすなら、荷の上向き加速度は b/2 です。荷の式から T = M(g + b/2)/2 と決まり、手の力が先に与えられているわけではありません。計算した T が負なら、その運動を張った糸だけで実現する仮定に問題があります。

発展例題：仕事でも照らす

質量 8 kg の荷と、自由端の質量 3 kg のおもりを図1のようにつなぎ、静止から放します。g = 10 m/s²、糸は張り続け、途中で滑車や床にぶつからないものとします。荷が下へ 0.70 m 動いたときの両物体の速さを小数で、有効数字2桁で求めてください。張力も分数で求めます。距離と g は問題の計算では正確な値として扱います。

荷の下向き加速度を a とすると、おもりの上向き加速度は 2a です。

80 - 2T = 8a
T - 30 = 6a
80 - 2(30 + 6a) = 8a
a = 1
T = 36

荷は下向き 1 m/s²、おもりは上向き 2 m/s² です。静止からの等加速度運動で v² = 2・1・0.70 = 1.4 です。荷の速さは √1.4 m/s、おもりはその2倍です。最後に丸めるとそれぞれ 1.2 m/s、2.4 m/s です。T は 36/1 N、すなわち 36 N です。

別解として、荷の下降距離を d、その速さを v とします。おもりは 2d 上昇し、速さは 2v です。重力による位置エネルギーの減少は 8g d − 3g・2d = 20d J です。荷とおもりの運動エネルギーの増加は (1/2)・8v² + (1/2)・3(2v)² = 10v² J です。糸の張力は荷に -2T d、おもりに T・2d の仕事をし、合計は 0 です。よって 20d = 10v² から v² = 2d となり、d = 0.70 m で先の結果に戻ります。

仕事の式は移動距離と速さを結びますが、これだけでは張力を直接決めません。張力が必要なら各物体の運動方程式に戻ります。また、動く向きは初めから決め打ちせず、重力の仕事の符号か加速度の符号で確かめます。ここでは 80 N − 72 N = 8 N、36 N − 30 N = 6 N がそれぞれの質量と加速度の積に一致し、張力も正です。移動後も支える2本の伸びの合計 1.40 m と自由端の短縮 1.40 m が打ち消し合います。

装置を観察し、ずれの原因を探る

学校の指導の下で、荷が落下しても受け止められるよう装置を固定し、荷と自由端の位置を同じ時刻に記録します。独立変数は経過時間、測定量は荷と自由端の位置です。糸の種類、滑車の配置、荷の質量、放す位置と初速度をそろえ、同じ条件で複数回測ります。動き始めと衝突直前は除き、張った状態を観察できる区間を使います。

位置の測定結果から初期位置を引き、横軸を荷の下向き変位 Δy（m）、縦軸を自由端の下向き変位 Δx（m）として描きます。理想モデルなら傾き -2 の直線です。例えば練習用に作ったデータが (0.02, -0.04)、(0.04, -0.08)、(0.06, -0.12) であれば、傾きは -2 です。これは実測値ではありません。切片が 0 からずれたら基準位置の読み取りや時刻のずれを調べます。傾きのずれは糸の伸び、滑車の揺れ、位置の投影の影響でも起こります。

ものさしの位置が毎回同じ方向にずれる誤差は系統的です。映像の読み取り位置が回ごとに散る誤差は偶然的です。反復は散らばりの把握に役立ちますが、基準のずれを自動的に消しません。滑車の回転摩擦があれば左右の張力が一致しないため、変位の比がほぼ -2 でも運動方程式の張力の仮定まで検証したことにはなりません。糸の長さの拘束と力のモデルは別々に調べます。

誤った式をどこから直すか

図3のように、自由端と荷の加速度の大きさを同じとしてしまうと、荷が下に動いた分だけ自由端を上に動かしても糸は余ります。荷の下降で2本とも長くなることを見落としているからです。図3では荷の下降を d としたとき、自由端の上昇を 2d に直しています。

もう1つの誤りは、荷の方程式に上向き T を1回だけ書くことです。力を受けるのは荷と一体の動滑車で、左右からそれぞれ T を受けます。荷だけを切り出すと動滑車から荷への力が必要になり、2T を直接書ける対象は荷と軽い動滑車を合わせたものです。

逆に糸全体を含む系で考えると、糸と荷の間の張力は内力です。系全体の力の式を使うときは、各部分の加速度が異なるので、全質量に単一の加速度を掛けることはできません。系を広げれば必ず式が簡単になるわけではなく、何が同じ加速度で動くかが選び方の条件です。

張力が負になった計算を絶対値に直すのも誤りです。例えば外力で自由端を過度に加速させ、計算上 T < 0 となるなら、糸が張り続ける仮定は実現しません。緩む時点以降は拘束式を外して、それぞれの物体に働く実際の力で運動を立て直します。緩んだ糸が再び張る際の衝撃は別の条件が必要です。

手を動かす5問

次の問題はいずれも図1と同じ配置で、特に断らなければ糸は軽く伸びず、滑車は理想的で、糸は張り、物体は衝突しません。g = 10 m/s² とし、数値は正確な値として計算してください。速さや加速度には単位と向きを添え、分数で指定されたものは既約分数で答えます。

1. 荷が下へ 0.15 m 動いたとき、自由端はどちらへ何 m 動きますか。小数で答えてください。
2. 荷が上向き 0.4 m/s² で加速するとき、自由端の加速度を小数で求めてください。
3. 質量 12 kg の荷と質量 2 kg のおもりをつなぎ、静止から放します。荷の加速度と張力を既約分数で求めてください。
4. 質量 3 kg の荷に、自由端から下向き 20 N の一定の力を加えます。荷の加速度を既約分数で求めてください。
5. 質量 10 kg の荷と質量 5 kg のおもりをつなぎ、静止から放します。荷の加速度と張力を整数で求め、静止が維持されるか答えてください。

答えと考え方

1. 2Δy + Δx = 0 に Δy = 0.15 m を入れると Δx = -0.30 m です。自由端は上へ 0.30 m 動きます。支える2本の増加 0.30 m と自由端側の減少 0.30 m が一致します。

2. 下向き座標で aᵧ = -0.4 m/s² です。aₓ = -2aᵧ = 0.8 m/s² なので、自由端は下向き 0.8 m/s² です。2aᵧ + aₓ = -0.8 + 0.8 = 0 となります。

3. 荷の下向き加速度を a とすると、120 − 2T = 12a、おもりの式は 20 − T = -4a です。T = 20 + 4a を代入して 80 = 20a、a = 4 m/s²、T = 36 N です。求める形では荷が下向き 4/1 m/s²、張力が 36/1 N です。おもりは上向き 8 m/s² で、荷の合力 120 − 72 = 48 N とおもりの合力 36 − 20 = 16 N はそれぞれ質量と加速度の積に一致します。

4. T = 20 N です。荷の上向きを正にして 2T − 30 = 3a より、a = 10/3 m/s² です。荷は上向き、自由端は下向きにその2倍で加速します。荷に働く上向き合力 40 − 30 = 10 N は 3・(10/3) N に戻り、張力は正です。

5. 100 − 2T = 10a、50 − T = -10a です。後者から T = 50 + 10a を前者へ入れると 0 = 30a なので a = 0、T = 50 N です。静止から放すため静止が維持されます。荷の 2T = 100 N とおもりの T = 50 N はそれぞれ重力と等しく、糸の長さも変わりません。

覚えておくこと

• 動滑車を支える糸の本数と、各部分の長さの増減を数えます。
• この配置の下向き座標では 2Δy + Δx = 0 です。
• 荷と軽い動滑車には上向きに 2T が働きます。
• 各物体の運動方程式と拘束式を連立し、張力と可動範囲を確かめます。
• 仕事の照合では2物体の変位と速さの比も使います。

自分の答案で係数 2 が消えたら、動滑車が少し下がった図を描き、長くなる部分に印を付けてみてください。符号に迷うときは、座標の矢印を両物体に書き、長さの式から速度と加速度へ進みます。個別指導では、図に書いた2本の変化と運動方程式の 2T がそれぞれ何を数えているか、言葉と式で確かめられます。糸の長さを数えることが、動滑車の運動を決める出発点です。