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高校物理力学静止摩擦と動摩擦—外力を増減するときの停止と滑走の境界を判定する｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.13更新 2026.11.13武蔵野個別指導塾の特徴物理を掘り下げる力学

水平面の箱を引く力を増減し、滑走中の減速と停止後のつり合いをたどります。鍵は静止摩擦と動摩擦。

よくあるのは、水平な机の上の箱が滑り始めた後も、高校生が最大静止摩擦力を引き続けるという場面です。動いている箱に働く摩擦力は、止まっている箱を動かそうとする力と同じ式で決められるとは限りません。さらに引く力を弱めた瞬間に箱が止まるとも限りません。速度が残っていれば、減速しながら進む時間があります。

ここでは床に対する箱の運動を水平1方向に限り、力の増減と摩擦の切り替わりを追います。床は動かず、箱は傾かずに接触を保つものとします。静止か滑走かという現在の状態と、そこから先に起こる変化を分けることが出発点です。

力の増減で問われる3つの場面

まず、静止した箱への水平の引く力をゆっくり増やし、いつ静止を保てなくなるかを考えます。静止摩擦力は一定値ではなく、つり合いに必要な大きさまで変わります。ただし、その大きさには上限があります。上限を超える力を静止摩擦で打ち消すことはできません。

次に、右へ滑っている箱への力を変え、加速するか減速するかを調べます。この区間の摩擦は左向きの動摩擦力です。引く力が動摩擦力より小さくなっても、速度がすぐにゼロになるわけではありません。加速度の向きと速度の向きは別々に判定します。

最後に、速度がゼロになった瞬間の外力を見ます。その力が最大静止摩擦力以下なら、静止摩擦力が外力とつり合って停止を保てます。停止できるかどうかは、滑走中の加速度だけでは決まりません。以下では重力加速度を各問題で指定し、摩擦係数はその問題の理想化された一定値とします。

接触面の力と切り替えの条件

箱の質量をm、重力加速度をg、床から受ける垂直抗力の大きさをNとします。引く力は水平で、鉛直方向の加速度はゼロですから、鉛直方向の運動方程式はN − mg = 0です。したがってN = mgとなり、Nは正です。鉛直方向にも外力があればこの式は変わるので、最初からN = mgと決めないことが必要です。

右向きを正にし、右向きの外力をF、床が箱に及ぼす摩擦力の水平成分をfとします。箱が静止していれば水平方向のつり合いからF + f = 0、つまりf = -Fです。静止摩擦係数をμₛとすると、静止摩擦力が取り得る範囲は -μₛN ≤ f ≤ μₛN です。したがって静止を保てる条件は |F| ≤ μₛN です。等号は限界状態を含みますが、そこを越えて力を増せば静止のつり合いは成立しません。

図1のように、静止中の摩擦は必要な分だけ外力と逆向きになり、右向きに滑走中の摩擦は速度と逆向きになります。右向きに滑っている間、動摩擦係数をμₖとしてf = -μₖNです。左向きに滑るなら符号は逆です。摩擦は外力と必ず逆向きなのではなく、接触面の相対運動、または静止を破ろうとする傾向を妨げます。

右向き滑走中の運動方程式はma = F − μₖNです。F = μₖNなら加速度はゼロで、すでに持つ速度で滑り続けます。Fがそれより小さければaは負ですが、右向きの速度が残る間は動摩擦の向きは変わりません。静止後はこの運動方程式に動摩擦をそのまま代入せず、静止の条件を調べ直します。

μₛとμₖはいずれも無次元です。Nに掛けると力の単位Nになり、係数がゼロなら摩擦の大きさもゼロです。以下の数値例ではμₛがμₖより大きい条件を明示します。実際の接触では表面や速さなどにより単純な一定係数のモデルからずれることがあるため、測定値との違いも後で考えます。

基本例題：引く力を一定にして滑らせる

質量2.0 kgの箱が粗い水平床上に静止しています。重力加速度を10 m/s²、静止摩擦係数を0.40、動摩擦係数を0.30とします。箱に右向きの水平力をゆっくり増やし、9.0 Nにして保ちます。最大静止摩擦力と、9.0 Nで滑走中の加速度を、いずれも有効数字2桁で求めてください。

図2のように力を箱に描きます。鉛直方向ではN = 2.0・10 = 20 Nです。最大静止摩擦力は0.40・20 = 8.0 Nなので、9.0 Nでは静止を保てません。右へ滑り始めた後の動摩擦力は左向きに0.30・20 = 6.0 Nです。

2.0a = 9.0 - 6.0
2.0a = 3.0
a = 1.5 m/s²

答えは最大静止摩擦力8.0 N、加速度は右向きに1.5 m/s²です。逆に2.0 kgにこの加速度を与える合力は3.0 Nで、9.0 Nから左向きの6.0 Nを差し引いた値に戻ります。N = 20 Nも重力とつり合い、接触を保つ条件に反しません。例えば力が5.0 Nの静止中なら摩擦力は左向き5.0 Nであり、8.0 Nではありません。

標準例題：弱めてもすぐには止まらない

質量1.0 kgの箱が粗い水平床上を右向きに2.0 m/sで滑っています。重力加速度は10 m/s²、静止摩擦係数は0.50、動摩擦係数は0.20です。この瞬間から水平右向きの力を1.0 Nに保ちます。停止までの時間と距離、その後に静止を保つための摩擦力を有効数字2桁で求めてください。

垂直抗力は10 N、右向き滑走中の動摩擦力は左向きに2.0 Nです。合力は左向き1.0 Nですから、右向きを正とするとa = -1.0 m/s²です。停止までの時間をtとすると、速度の式から0 = 2.0 − 1.0tとなり、t = 2.0 sです。正の時間なので開始後の停止を表します。

距離は平均速度を使うと(2.0 + 0)・2.0/2 = 2.0 mです。別に、速度と変位の関係0² − 2.0² = 2・(-1.0)・xからもx = 2.0 mとなります。いずれも加速度が一定で、停止まで右向きに滑る区間に使います。停止後にこの式を延長し、動摩擦がそのまま左向きに働くとして左向きに動き出す結論を出すことはできません。

停止後に必要な摩擦は左向き1.0 Nです。最大静止摩擦力5.0 N以下なので静止を保ちます。停止までの速度変化は-1.0・2.0 = -2.0 m/sで、初速をちょうど打ち消します。仕事で見ても、外力の仕事2.0 Jと摩擦の仕事-4.0 Jの和は-2.0 Jで、初めの運動エネルギー2.0 Jの減少に一致します。

発展例題：同じ力でも履歴で状態が違う

質量2.0 kgの箱を粗い水平床上で右向きに引きます。重力加速度は10 m/s²、静止摩擦係数は0.50、動摩擦係数は0.30です。最初は静止しており、力をゆっくり増やして12 Nに達した後、12 Nを保って箱を右向き2.0 m/sにします。その瞬間から力を一定の7.0 Nに下げます。7.0 Nに下げた後の加速度と、箱が停止するかを答えてください。また初めから静止した箱に7.0 Nを加えた場合の状態を答えてください。数値は有効数字2桁で表します。

垂直抗力は20 N、最大静止摩擦力は10 N、動摩擦力の大きさは6.0 Nです。力を増やすと10 Nの限界を越えたところで静止を保てず、12 Nでは右向きの合力が6.0 Nです。指定された2.0 m/sに達するという条件は、右向きに加速することと矛盾しません。

力を7.0 Nに下げても、箱はその瞬間に右向きの速度を持っています。滑走中の合力は7.0 − 6.0 = 1.0 Nで、加速度は右向き0.50 m/s²です。速度は増えるので、この力を保つ限り停止しません。一方、初めから静止していれば、必要な左向きの静止摩擦力7.0 Nは上限10 N以下です。したがって静止を保ちます。

同じ7.0 Nについて、一方では摩擦が6.0 N、もう一方では7.0 Nです。力の値だけでなく、そのときの速度が必要だとわかります。数直線で見る別解では、滑走中の加速度の符号の境界は6.0 N、静止を保つ上限は10 Nです。7.0 Nはこの2値の間にあるため、右向き滑走を続ける場合と静止を保つ場合の両方が成立します。この比較は右向き滑走と右向き外力についてのものです。

仮に力を5.0 Nに下げれば、滑走中は左向き1.0 Nの合力となり、2.0 m/sの速度が直ちに消えずに減っていきます。停止後は5.0 Nを静止摩擦で打ち消せます。力が動摩擦力より小さいことは減速の条件、最大静止摩擦力以下であることは停止後に静止を保つ条件です。両者を混ぜず、切り替わりの前後でそれぞれ検査します。

引く力の時間変化を測る

学校の指導の下で、水平な板に箱を置き、水平に引く力と箱の位置を時間に沿って記録する計画を立てます。独立に変える量は引く力で、測定する量は力と位置です。箱の質量、接触面、引く方向をそろえ、静止から力を徐々に増やす試行と、滑走中に力を減らす試行を分けます。箱が落ちない範囲で行い、手や器具を進路に置かないようにします。

力の時間グラフは横軸を時間t（s）、縦軸を右向きの力F（N）とします。力の記録だけでは停止か滑走かを決められないので、位置の記録から速度の向きも調べます。滑り出す直前の力の値を静止摩擦の限界の推定に使い、ほぼ一定速度で右向きに滑る区間では水平合力がほぼゼロなので、引く力を動摩擦力の推定に使えます。一定速度でなければmaを差し引く必要があります。

別の整理として箱に載せる質量を変え、横軸をN（N）、縦軸を限界の力（N）に取ります。一定係数のモデルなら原点を通る直線で、傾きが静止摩擦係数です。同様に一定速度の滑走時の力を並べれば、その傾きから動摩擦係数を見積もれます。実測点が直線から外れたら、無理に原点を通す前に、力のゼロ点や床の傾きを調べます。

センサーのゼロ点のずれは同じ向きに値を押し上げる系統誤差の例です。引く方向が毎回少し違うことや滑り出しの読み取り時刻のばらつきは、試行間の偶然誤差になり得ます。複数回の記録を比べ、範囲やばらつきも示します。速く力を増やしすぎると、測定間隔の間に滑り始めてピークを読み損なう場合があります。サンプリング間隔を短くすることと、変化をゆっくりにすることを比べ、得られた値をその装置と条件での推定として扱います。

誤答を力の図から直す

基本例題で、滑走中も8.0 Nを摩擦として引き、加速度を0.50 m/s²とする誤答を考えます。8.0 Nは静止摩擦が取り得る最大値であり、滑走中の摩擦の値ではありません。滑っているという状態を確認してから、動摩擦係数0.30と垂直抗力20 Nを掛けると6.0 Nです。

図3のように、左の8.0 Nは静止の限界、右の6.0 Nは右向き滑走中の摩擦です。矢印はいずれも箱が床から受ける力を示し、右向きの運動を妨げる向きです。9.0 Nを加える状況では、正しい合力3.0 Nを質量2.0 kgで割ります。力の種類を言葉で記し、単位と状態を式のそばに残せば、数字の取り違えを発見できます。

もう1つの誤りは、力を弱めて合力が左向きになった途端に箱が左へ動くとするものです。左向きの加速度は右向きの速度を減らしますが、速度の符号が変わるかどうかには時間が関わります。速度ゼロの時点で静止摩擦の範囲を確かめ、成立するならそこで停止します。成立しない場合は新たな滑走方向を考えて摩擦の向きを決め直します。

自分で判定する5問

各問で床は水平で静止し、箱は傾かず床に接触し続けます。重力加速度は10 m/s²、係数は一定とし、数値の答えは有効数字2桁で求めてください。力はすべて水平です。

質量3.0 kgの箱は静止しています。静止摩擦係数0.40、動摩擦係数0.20のとき、右向き9.0 Nの力を加えます。摩擦力の向きと大きさ、箱の状態を答えてください。
質量4.0 kgの箱を静止から右に引きます。静止摩擦係数0.30、動摩擦係数0.15です。力をゆっくり増やして16 Nに保つとき、静止の限界と滑走中の加速度を求めてください。
質量2.0 kgの箱が左へ3.0 m/sで滑っています。静止摩擦係数0.50、動摩擦係数0.20で、外力はゼロです。停止までの時間と距離、停止後の摩擦力を求めてください。
質量5.0 kgの箱が右へ滑っています。静止摩擦係数0.40、動摩擦係数0.10です。右向き8.0 Nの一定の力を加えるときの加速度と、同じ力を初めから静止した箱に加えたときの状態を答えてください。
質量1.5 kgの箱が右へ1.0 m/sで滑っています。静止摩擦係数0.40、動摩擦係数0.20です。左向き1.5 Nの一定の力を加えるとき、停止までの時間と距離、停止後の摩擦力を求めてください。

解答と場面への戻し方

N = 3.0・10 = 30 N、静止摩擦力の上限は0.40・30 = 12 Nです。9.0 Nは上限以下なので静止を保ち、摩擦力は左向き9.0 Nです。右向きの力と足せば合力はゼロで、静止という条件に戻ります。
N = 40 Nより静止の限界は0.30・40 = 12 Nです。16 Nはこれを越え、右へ滑ります。動摩擦力は左向き0.15・40 = 6.0 Nなので、4.0a = 16 − 6.0からa = 2.5 m/s²、右向きです。合力4.0・2.5 = 10 Nは16 Nと6.0 Nの差に戻ります。
N = 20 N、動摩擦力は左向きの速度に逆らう右向き4.0 Nです。右向きを正にするとa = 4.0/2.0 = 2.0 m/s²です。0 = -3.0 + 2.0tからt = 1.5 s、距離は(3.0 + 0)・1.5/2 = 2.25 mで、2桁に丸めて2.3 mです。停止後は外力がないので摩擦力は0 Nです。速度変化2.0・1.5 = 3.0 m/sは初めの左向き速度を打ち消します。
N = 50 N、右向き滑走中の動摩擦力は左向き5.0 Nです。5.0a = 8.0 − 5.0より右向き0.60 m/s²です。合力は5.0・0.60 = 3.0 Nで、与えた2力の差に一致します。静止からなら最大静止摩擦力は20 Nで、左向き8.0 Nの静止摩擦によって静止を保ちます。
N = 15 N、滑走中は動摩擦力が左向き3.0 Nです。左向き外力と合わせた合力は左向き4.5 Nなので、右向きを正にしてa = -4.5/1.5 = -3.0 m/s²です。0 = 1.0 − 3.0tからt = 1/3 s、距離は(1.0 + 0)・(1/3)/2 = 1/6 mです。2桁では0.33 s、0.17 mです。停止後は右向き1.5 Nの静止摩擦が外力を打ち消します。上限0.40・15 = 6.0 N以下なので静止を保てます。丸める前の値を用いれば、速度変化は-3.0・(1/3) = -1.0 m/sで初速に戻ります。