高校物理 力学 変わる力の仕事—力と位置のグラフの面積からエネルギー変化を導く｜武蔵野個別指導塾

力が直線的に変化する区間や逆向きになる区間を面積で読み、速さと結び付ける変わる力の仕事。

よくあるのは、引く力が移動につれて増える台車を見て、力の最大値に移動距離を掛けてしまう場面です。最後に大きな力が必要だったとしても、その力が初めから働いていたわけではありません。力と位置の記録を図にすると、実際に受けた仕事は長方形全体ではなく、その下の面積に対応します。

ただし、面積なら何でも足せばよいわけでもありません。力が移動方向と逆なら仕事は負です。軸の取り方、対象の物体、移動の向きをそろえたうえで、力の変化を小さな区間に分けて考えます。ここでは直線上を動く物体に働く、区分的に一定または位置に対して一次的に変わる力を扱います。

面積を使う問いの見分け方

第1の型は、力が区間ごとに一定の問題です。区切りごとに力と変位の積を求め、符号を付けて足します。第2の型は、力が位置に比例して増減する問題です。グラフが直線なので、長方形と三角形、または台形の面積を使えます。いずれも横軸は位置であり、時間ではありません。

第3の型は、求めた仕事から速さや到達できる位置を調べる問題です。仕事と運動エネルギーの変化を等しくするには、指定された力だけでなく、その物体に働く全ての力の仕事を合計します。水平面上で鉛直方向に移動しないなら、鉛直の重力と垂直抗力の仕事は0です。摩擦があるなら、摩擦の仕事を別に加える必要があります。

力の成分と移動をそろえる

対象を質量 m の物体とし、右向きに x 軸を取ります。力の x 成分を F とし、右向きなら正、左向きなら負です。右へ短い距離 Δx だけ進む間、F が一定なら仕事は FΔx です。力と変位が反対向きならこの積は負になり、力が物体の運動エネルギーを減らす向きに働いたことを示します。

図1のように、右へ進むときは、軸より上の部分を正、下を負として足します。横幅の単位は m、縦の単位は N なので、面積の単位は N・m、すなわち J です。図1は形を示す模式図で、面積は位置ごとに働く力の寄与を表します。グラフの傾きそのものが仕事なのではありません。

力が変わる区間を細かく区切ると、各区間の仕事は、その区間の力と幅の積で近似できます。区切りを細かくすると長方形の和はグラフと軸の間の符号付き面積に近づきます。一次的に変わる区間なら台形の面積が正確です。両端の力の平均に幅を掛けるのは、直線の高さが一様に変わるためです。曲線でも両端の平均がそのまま使えるとは限りません。

逆向きに移動するときには注意が必要です。同じ F が働いていても変位は負なので、右向きの移動で得た符号付き面積の符号を反転します。往復では、行きと帰りで力が同じ位置でも異なることがあります。その場合はそれぞれの経路のグラフを読み、別々の仕事を合計します。

次に、仕事と速さの関係を導きます。一定の合力 F が働く小区間で、加速度を a、区間の前後の速度を u、v、変位を Δx とします。運動方程式 F=ma と等加速度運動の関係 v²-u²=2aΔx から、次のようになります。

FΔx = maΔx
FΔx = m(v²-u²)/2
FΔx = mv²/2 - mu²/2

右辺は運動エネルギーの増加です。力が変化する場合も区間を細かくして各区間の式を足すと、途中の運動エネルギーが打ち消し合い、最初と最後の差が残ります。したがって合力の仕事 W は、終点の運動エネルギーから始点の運動エネルギーを引いた値です。力が負でもこの関係は成立します。質量が一定で、対象を質点として扱い、各区間の運動が問題の条件を満たすことが前提です。

式の次元は両辺とも J です。移動が0なら仕事もエネルギー変化も0で、合力が進行方向と逆なら、右向きに進む間の運動エネルギーは減ります。ただし負の仕事が初めの運動エネルギーを超える区間まで到達すると仮定すると、速さの二乗が負になることがあります。その場合はその途中で停止するので、指定位置までの面積をそのまま実際の仕事として使えません。

基本例題：直線的に増える引く力

滑らかな水平面上の質量 2 kg の台車を、右向きに静止状態から引きます。引く力の x 成分は x=0 m で 0 N、x=4 m で 6 N となり、その間は位置に対して直線的に増えます。x=4 m までの引く力の仕事と、その位置の速さを求めてください。仕事は整数 J、速さは根号を用いて m/s で示します。

図2のように、面積は底辺 4 m、高さ 6 N の三角形です。最大値を全区間に掛けると、実際に存在しない上側の三角形まで足します。図2の台車に働く重力と垂直抗力は移動に垂直なので仕事は0です。

W = 4・6/2
W = 12 J
2v²/2 - 0 = 12
v² = 12
v = 2√3 m/s

右向きに動き始める理想条件で、v は速さとして非負の根を取ります。速さを戻すと運動エネルギーは 2・(2√3)²/2=12 J で、引く力の仕事と一致します。途中の力は負にならず、静止後に右へ進む想定と矛盾しません。位置 x=0 で力が0でも、その後の動きは条件として与えられた力の変化に沿うものとします。

標準例題：軸を横切る力

滑らかな水平面上の質量 1 kg の小物体が x=0 m を右向きの速さ 4 m/s で通過します。水平な力は x=0 m で 4 N、x=4 m で -2 N となり、間では位置に対して直線的に変化します。x=4 m までの仕事を分数 J、到達時の速さを根号を用いて m/s で求めてください。

両端の力の平均を使うと、符号付き面積は次の通りです。

W = (4 + (-2))・4/2
W = 4 J
v²/2 - 4²/2 = 4
v² = 24
v = 2√6 m/s

別の方法では、力が0になる位置を求めます。直線の式は F=4-3x/2 なので、x=8/3 m です。そこまでの正の三角形の面積は 16/3 J、その後の負の三角形の面積は -4/3 J で、合計は 4 J です。台形の平均には負の部分がすでに含まれています。

x=8/3 m までは力が正で運動エネルギーが増え、その後は減ります。後半でも終点のエネルギーは 12 J と正なので、途中で停止せず終点へ到達します。答えの速さを代入すると終点の運動エネルギーは 12 J、始点の 8 J との差は 4 J です。

発展例題：停止する位置を先に調べる

水平面上の質量 2 kg の物体が、x=0 m を右向きの速さ 3 m/s で通過します。右向きを正とし、水平な合力は x=0 m で -2 N、x=3 m で -4 N、その間は直線的に変化します。物体は x=3 m に到達するでしょうか。到達しなければ最初の停止位置を根号を用いて m で求めてください。鉛直方向の運動はなく、力の条件は停止するまで成り立つとします。

まず x=3 m まで動くと仮定した仕事は (-2-4)・3/2=-9 J です。始点の運動エネルギーは 2・3²/2=9 J なので、終点でちょうど0になります。したがって物体は x=3 m に到達し、そこで停止します。途中の合力は常に負で、運動エネルギーは連続して減りますが、終点より前では0になりません。答えは到達し、停止位置は 3 m です。

別解として、位置 x での力を F=-2-2x/3 N と書きます。0 から x までの仕事は長方形と三角形に分けて -2x-x²/3 J です。停止条件を使います。

9 - 2x - x²/3 = 0
x² + 6x - 27 = 0
(x + 9)(x - 3) = 0

停止まで右向きに進むので x=-9 m は採用せず、x=3 m です。この別解は停止位置を未知数として求めるときにも使えますが、力の式を設定した区間内に解があることを確認します。面積を終点まで計算する方法は、終点に到達するかどうかを手早く判定できます。戻して確認すると、停止位置までの仕事は -9 J で、初めの 9 J と合わせて0です。

到達できない場合にも、実在しない先の位置までの面積を仕事に含めないことが大切です。また、停止の瞬間に速さが0でも、その後の力が左向きに残れば反転し得ます。停止後の運動については、その区間の力の条件を改めて指定し、向きを切り替えて考えます。

引く力を測るときの記録

学校の指導の下で、台車を水平なレールに置き、力センサーで引く力と台車の位置を対応させて記録する計画を立てます。独立に変える量は位置、測る量は引く方向の力です。同じ台車、レール、引く方向を保ち、位置を一定間隔で読みます。急に引くと値が揺れ、位置と力の対応も取りにくくなるため、引き方をそろえて反復します。強いばねや急な衝突を使わず、安全に観察できる範囲で比較します。

横軸を位置 x（m）、縦軸を力 F（N）として点を打ちます。たとえば自作の練習用データで、位置 0、1、2 m に対して力が 1、2、3 N なら、直線の傾きは 1 N/m、切片は 1 N です。0 から 2 m の面積は (1+3)・2/2=4 J です。傾きは力が位置とともにどれほど変わるかを示し、面積が仕事を表します。この数値は実測結果ではありません。

点が直線から外れたときは、隣の点を結ぶ台形の面積を足す近似ができます。測定間隔が粗いと途中の山や谷を見落とします。間隔を細かくして合計がどの程度変わるかを調べ、一定値に近づくか比べます。グラフが同じでも往路と復路を混ぜると、移動方向が失われるので記録を分けます。

センサーの零点がずれていれば、全ての力に同じ偏りが入り、面積にも移動距離に比例する偏りが出ます。測定前後の無負荷の値を確認することが系統誤差の点検です。目盛りの読み取りや小さな振動によるばらつきは偶然誤差の例で、同じ条件で繰り返して散らばりを見ます。複数回の平均でばらつきの影響を抑えられても、零点のずれは自動的には消えません。

引く力の面積は引く力の仕事です。レールに摩擦が残る場合、それを合力の仕事とみなして速さの変化に直接等置すると差が出ます。摩擦の測定や速度の記録を別に用意し、他の力の仕事を含めて収支を比較します。センサーの記録と位置の記録の時刻がずれても、対応しない点を組にする誤差が生じます。

誤答を面積に戻す

力が0から 6 N まで直線的に増える4 mの移動で、「6・4=24 J」とする誤答を考えます。原因は終点の力を全区間の力と見なしたことです。図3のように、最大値で作る長方形には、実際のグラフの上側の三角形も含まれます。正しい面積はその半分の 12 J です。

図3の修正では、まず横軸が位置であることを確かめます。次に力の値を両端に記入し、形が直線か一定かを判定します。最後に軸の上と下を分けて符号を付けます。逆向きの移動なら、区間の向きも書き添えます。

もう1つの誤答は、負の部分も正の面積として足すことです。たとえば右向きに進みながら左向きの力を受けた部分は、速さを増やす仕事ではありません。図の幾何学的な面積の大きさと、符号を持つ仕事を区別してください。また、引く力の仕事だけから速さを求めた場合は、他の力がした仕事を点検します。

練習：5つの力の記録

各問で右向きを正とし、力は指定区間で位置に対して直線的に変化するか、指定通り一定とします。仕事は分数または整数 J、速さは根号を用いて m/s、位置は整数または分数 m で答えてください。水平面で鉛直方向の仕事は0とします。

1. 小箱を右へ 3 m 動かす間、右向きの力は一定で 5 N です。この力の仕事を求めてください。
2. 荷を右へ 2 m 動かす間、力は 2 N から 8 N まで直線的に増えます。この力の仕事を求めてください。
3. 質量 4 kg の物体が滑らかな面上を右へ進み、速さ 1 m/s から 2 m/s に増えます。この間の合力の仕事を求めてください。
4. 質量 1 kg の物体が滑らかな面上を右向きの速さ 2 m/s で通過します。その後 2 m の間、右向きの合力は一定で 3 N です。2 m 後の速さを求めてください。
5. 滑らかな面上で質量 2 kg の物体が右向きの速さ 4 m/s で x=0 m を通過し、左向きの一定の合力 4 N を受けます。最初に停止する位置を求めてください。力は停止まで一定です。

練習の答えと道筋

1. 変位と力は同じ向きなので、仕事は 5・3=15 J です。一定の 5 N を 3 m にわたって作用させた長方形の面積も 15 J となり、与えられた力と距離に戻ります。

2. 直線の両端の力を平均し、幅を掛けます。仕事は (2+8)・2/2=10 J です。長方形 2・2=4 J と、高さ 6 N、底辺 2 m の三角形 6 J に分けても 10 J です。両端の値と距離を使い直して一致します。

3. 運動エネルギーの差は 4・2²/2 − 4・1²/2=8-2=6 J です。逆に初めの 2 J に仕事 6 J を加えると 8 J となり、指定された速さ 2 m/s に対応します。合力の仕事であるため、個々の力の仕事を求める追加条件は不要です。

4. 仕事は 3・2=6 J、初めの運動エネルギーは 1・2²/2=2 J です。終点で v²/2=8 より v²=16、v=4 m/s です。終点のエネルギー 8 J から始点の 2 J を引くと 6 J で、力と距離の積に戻ります。右向きの力が速さを増やすので途中停止もありません。

5. 初めの運動エネルギーは 2・4²/2=16 J です。右へ x m 進む間の仕事は -4x J なので、停止条件は 16-4x=0、x=4 m です。戻すと左向きの力の仕事は -4・4=-16 J となり、初めのエネルギーをちょうど減らします。停止前は右向きに進み、摩擦など別の力を勝手に追加する必要はありません。

手元に残す要点

• 力の位置グラフでは、仕事は移動方向を考慮した符号付き面積です。
• 一次変化なら両端の力の平均と変位の積を使えます。
• 速さの変化には、物体に働く合力の仕事を用います。
• 停止前に指定位置へ到達できるかを確かめます。
• 測定では力と位置の対応、零点、他の力を点検します。

つまずきを見分けるには

面積の計算が合わないときは、力が0になる位置を図に書き込み、正と負の三角形を別々に塗ってみてください。計算が合っていて速さが合わないときは、引く力と合力を区別し、初めの運動エネルギーを含めた式を確認します。個別指導で確かめるなら、図の1つの幅がどの変位に対応するか、負の面積がなぜ減速に結び付くかを、自分の言葉で説明してみます。面積の符号を運動の向きと結び付ければ、変わる力の仕事を見失いません。