高校物理 力学 垂直抗力と接触条件—押し付ける力が変わる場面で離れる境界を調べる｜武蔵野個別指導塾

下降する床の加速度から抗力を求め、負の値が出た後の物体と床の位置を比べて、離れる境界を探る垂直抗力と接触条件。

よくあるのは、下降する床の上の物体について、計算で負になった垂直抗力をそのまま式に残し、接触が続くと考える場面です。床が物体を押す力は床から物体へ向かいます。床が物体を引き寄せる仕組みがないなら、逆向きの抗力で接触を保つことはできません。

下降中か上昇中かという速度の向きと、抗力を決める加速度の向きは別です。まず接触を仮定して力を求め、その仮定が許されるか調べます。許されなければ、物体と床の運動を別々に書き直します。

接触を問う3つの型

床と物体が一体で動いている間の抗力を求める型では、物体の加速度を床の加速度に等しく置きます。上向きに加速する床では抗力が重力より大きく、下向きに加速する床では小さくなります。床が下降していても、減速中なら加速度は上向きです。

接触が保たれる範囲を求める型では、接触を仮定した式に N ≧ 0 を課します。N は床が物体を押す垂直抗力の大きさです。N = 0 は押す力が消える境界ですが、その瞬間以後に離れるかどうかは、その後の床と物体の運動を比べて決めます。

最後は、加速度が切り替わる床から離れた後の間隔を求める型です。切り替えの瞬間の位置と速度は直前から引き継ぎます。離脱後は、空気抵抗などを無視すれば物体に働く鉛直方向の力は重力だけです。床の加速度を物体にそのまま使うことはできません。

力の向きから境界を作る

床は水平で、物体は床に接着していないとします。床の変形や空気抵抗は無視し、地上に固定した座標の鉛直上向きを正にします。物体の質量を m、重力加速度の大きさを g、床の加速度の上向き成分を a とします。床が物体を押す力 N は上向き、重力 mg は下向きです。接触して一緒に動く間、物体の加速度は a ですから、運動方程式は次のようになります。

ma = N - mg
N = m(g + a)

図1のように、力の矢印は物体に作用する2本です。床に作用する反作用は別の物体に働くので、この物体の式には入れません。N と mg が同じ大きさなのは加速度が 0 の場合であり、物体が静止している場合に限りません。

図1の N は床が押す力なので、接触の仮定に必要な条件は N ≧ 0、すなわち a ≧ -g です。a > -g なら求めた抗力は正で、少なくともこの力の向きからは接触が可能です。a < -g なら式は負の N を要求します。これは床が物体を下向きに引くことを意味するため、接触の仮定を棄却します。

a = -g では N = 0 です。床と物体が同じ位置と速度からともに加速度 -g で動き続ければ、押し合わずに接したままです。直後に床がさらに大きな下向き加速度を持てば、床が先に下がって隙間ができます。逆に床の加速度が -g より大きければ正の抗力を持つ接触運動が可能です。境界の値と、境界を通過した後の状態を分けて考えます。

式の次元は m と加速度の積で力になり、a = 0 では N = mg に戻ります。a = -g では無重力ではなく、重力を受けた物体と床が同じ加速度で落ちるため、押し合う必要がありません。床の速度の値はこの瞬間の N の式に直接入りませんが、離れた後の位置を求めるときには初速度として必要です。

床が下向きに大きさ b の加速度を持つと書けば a = -b です。このとき N = m(g − b) となり、b ≦ g が接触の条件です。上向きを正にする方法と下向きを正にする方法のどちらでも結論は同じですが、重力と抗力の符号を途中で混ぜないことが必要です。以下の数値は計算用の条件で、重力加速度の大きさを各問題に示します。

基本例題：下降する床が減速するとき

質量 2.0 kg の小物体が水平な床に接しています。床は下向きに動いていますが、上向きに 3.0 m/s² の一定加速度を持ちます。g = 10 m/s² とし、物体に働く垂直抗力を有効数字2桁で求め、接触の仮定を判定してください。

図2のように速度は下向き、加速度は上向きです。接触中の物体の加速度も上向きに 3.0 m/s² なので、上向きを正として立式します。

2.0・3.0 = N - 2.0・10
N = 26 N

抗力は 26 N で正なので、接触の仮定は力の向きに矛盾しません。図2では、重力より長い抗力の矢印が上向きの合力を表します。答えを元の場面に戻すと、合力は 26 − 20 = 6.0 N で、2.0 kg の物体に上向き 3.0 m/s² を与えます。床の下降速度が小さくなる向きと一致します。

重力 20 N から加速度分を引く誤りは、下向きの速度を下向きの加速度と取り違えた結果です。床の速さが変わる向きまで言葉にしてから式を書けば、符号を点検できます。

標準例題：負の抗力が出た後

質量 0.50 kg の物体が、静止していた水平な床に接しています。時刻 0 から床は下向き 14 m/s² の一定加速度で動きます。g = 10 m/s² とし、0.50 s 後の物体と床の間隔を有効数字2桁で求めてください。床は物体を引かず、空気抵抗を無視します。

接触が続くと仮定すると、N = 0.50・(10 − 14) = -2.0 N です。下向きに引く力は床にないため、この値は抗力の答えではなく、仮定を棄却する根拠です。時刻 0 の直後から物体は重力だけで落ち、床より上に残ります。

上向きを正、初期位置を両者とも 0 とすると、時刻 t の物体の位置を y、床の位置を Y として、y = -5.0t²、Y = -7.0t² です。したがって間隔は y − Y = 2.0t²、0.50 s 後に 0.50 m です。物体は 1.25 m、床は 1.75 m 下降するので、差は確かに 0.50 m です。間隔が正であることも、離脱後という仮定と合います。

発展例題：動いていた床から離れる

質量 1.0 kg の物体を載せた床が、上向き 2.0 m/s の速さで動いています。時刻 0 に床の加速度が上向き 2.0 m/s² から下向き 18 m/s² に変わり、その後は一定です。物体は時刻 0 の直前まで接触していました。g = 10 m/s² とし、時刻 0 直後の状態と 1.0 s 後の間隔を、有効数字2桁で求めてください。床は物体を引かず、空気抵抗は無視します。

直前の抗力は 1.0・(10 + 2.0) = 12 N で、接触の条件を満たします。切り替え直後にも接触を仮定すると N = 1.0・(10 − 18) = -8.0 N です。この値は許されないので離れます。速度は加速度が急に変わる瞬間に飛び変わらず、物体も床も初速度は上向き 2.0 m/s です。

切り替え位置を原点とすると、その後の位置は次のとおりです。単位は位置が m、時刻が s です。

y = 2.0t - 5.0t²
Y = 2.0t - 9.0t²
y - Y = 4.0t²

1.0 s 後の間隔は 4.0 m です。その時刻には物体は原点より 3.0 m 下、床は 7.0 m 下にあり、差は 4.0 m です。両者とも最初は上昇しますが、床の方が速く上昇をやめて下降するため、上昇中から間隔が広がります。下降を始めた時刻を離脱の時刻とする必要はありません。

別解は床に対する相対位置です。離脱時の相対速度は 0、物体の床に対する加速度は上向きに -10 − (-18) = 8.0 m/s² です。よって間隔は (1/2)・8.0t² となり、同じ結果を得ます。相対運動では両者の初速度が同じことを使っています。初めから隙間や相対速度がある場合には、その初期値も加えなければなりません。また、後に床が追いついて再接触する場合は、この自由落下の式を衝突後まで延長できません。

測定で境界を調べる

学校の指導の下、上下に動く台と小物体を用いて安全な範囲で観察します。物体の下に力センサーを置き、床の位置を時間とともに記録します。台の加速度を独立に変え、接触中の抗力を測定量とします。物体の質量、取り付け方、センサーの向き、測定区間をそろえ、各条件を繰り返します。落下や急な動きを伴う装置には近づかず、装置を固定し指導者が操作します。

接触中の上向き加速度 a を横軸に m/s²、抗力 N を縦軸に N として点を打つと、理想化した式 N = ma + mg は直線です。傾きは質量 m、縦軸との交点は mg です。横軸との交点は -g ですが、負の N 側へ直線を延ばした部分は実際の接触力を表しません。測定値が 0 に近いとき、センサーの分解能や振動が離脱の判定に影響します。

ゼロ点のずれは抗力全体を同方向にずらす系統誤差です。位置の時間刻みが粗いと加速度の急変を見落とし、求めた横軸の値にも偏りが出ます。振動や読み取りのばらつきは繰り返しの点の散らばりとして調べられます。回数を増やしてもゼロ点のずれは自動的には消えないので、測定前後の無負荷の値も調べます。力が 0 付近になったことと、画像で隙間が見えることを照合し、画素の大きさより小さい隙間は判別できないと扱います。

誤答を力と位置に戻す

下向き加速度が g を超える床で、N = m(g − b) の負の結果を「床が下向きに引く力」とする答案を考えます。原因は、床が押せることと引けることを区別せず、接触中の加速度を離脱後にも使った点です。図3のように、負の抗力は力の向きの条件に合いません。

図3の右側では、離れた物体には重力が下向きに働き、床との間隔が開きます。修正は、まず負の N を得た接触の仮定を捨てることです。次に、離れる瞬間の位置と速度を初期値として物体と床を別々に追います。隙間が負になる計算結果は床を突き抜けることを意味するので、途中で再接触する時刻を探して区間を分けます。

一方、N = 0 という結果そのものを、必ず隙間ができた証拠にするのも誤りです。境界で同じ加速度が続く場合と、直後に床がさらに速く下向きに加速する場合を比べると違いが見えます。式の等号の後にある運動まで確認してください。

練習：床の動きと物体の応答

各問で床は水平で物体を引かず、空気抵抗を無視します。指定された値は計算用です。答えは指定どおり有効数字2桁で表してください。

1. 質量 3.0 kg の物体を載せた床が下向きに 4.0 m/s² の一定加速度で動きます。g = 10 m/s² として抗力を求め、接触の可否を判定してください。
2. 質量 1.5 kg の物体が床に接しています。床は上向き 4.0 m/s² の一定加速度を持ちます。g = 10 m/s² として抗力を求め、重力との差を確かめてください。
3. 床と接触した物体の質量は 0.80 kg、g = 10 m/s² です。床の下向き加速度の大きさを b とするとき、接触可能な b の範囲を m/s² で求め、b = 10 m/s² の状態を述べてください。b は 0 以上とします。
4. 静止して接していた物体と床が、時刻 0 からそれぞれ自由落下と下向き 16 m/s² の一定加速度の運動をします。g = 10 m/s² とし、0.20 s 後の間隔を求めてください。物体が離脱する理由も示してください。
5. 接触して上向き 3.0 m/s で動く物体と床が、時刻 0 からそれぞれ自由落下と下向き 12 m/s² の一定加速度の運動をします。g = 10 m/s² とし、0.50 s 後の両者の位置を時刻 0 の位置から上向きを正にして求め、間隔も求めてください。

練習の答えと道筋

1. 上向きを正にして 3.0・(-4.0) = N − 3.0・10 より、N = 18 N です。正の抗力なので接触可能です。重力 30 N との差は下向き 12 N であり、質量 3.0 kg に下向き 4.0 m/s² を与えます。

2. 1.5・4.0 = N − 1.5・10 より N = 21 N です。重力は 15 N で、その差 6.0 N が上向きの合力です。6.0 N を 1.5 kg で割ると、指定の上向き 4.0 m/s² に戻ります。

3. N = 0.80・(10 − b) ≧ 0 より、0 ≦ b ≦ 10 m/s² です。b = 10 m/s² では N = 0 N です。その後も床と物体が同じ加速度で同じ位置と速度を保つなら、押し合わずに接したままになれます。床がさらに強く下向きに加速するなら離れます。範囲の上端で N が 0、下端で 8.0 N となり、負にはなりません。

4. 接触を仮定すると N = m(10 − 16) < 0 なので、正の質量の物体は直後に離脱します。時刻 t の下向き移動距離は物体が 5.0t²、床が 8.0t² です。間隔は 3.0t² で、t = 0.20 s を代入すると 0.12 m です。各移動距離は 0.20 m と 0.32 m なので、その差も 0.12 m です。

5. 接触の仮定では N = m(10 − 12) < 0 なので離脱します。物体の位置は 3.0t − 5.0t²、床の位置は 3.0t − 6.0t² です。0.50 s 後は物体が 0.25 m、床が 0 m、間隔が 0.25 m です。物体は上向きに 1.5 m の初速度による変位から 1.25 m を引き、床は 1.5 m から 1.5 m を引きます。差が正なので、この時刻まで離脱後の配置と矛盾しません。

接触の判断を持ち帰る

• 接触中は物体と床の加速度を等しく置きます。
• 床が押す抗力は負にならず、N = 0 は境界です。
• 負の N が出たら接触の仮定を棄却します。
• 離脱後は初期位置と速度を引き継ぎ、両者の位置を比べます。

式が立たないときは、物体に働く力の矢印と床の加速度の矢印を別に描いてください。答えが負になったときに、その符号を力の向きとして読めるかが確認点です。個別指導で考え方を説明するなら、境界直後の床と物体の位置を図にし、なぜ隙間が正になるかまで言葉にすると、接触条件の使いどころが明確になります。