大学入試数学 二変数二次式の平方完成—交差項を整理し最小値と達成する組を求める｜武蔵野個別指導塾

xとyが同時に動く二次式では、2乗の項を別々に小さくしても正しい最小になりません。yを決めたときのxの最小を追い、二つの平方が同時に0になる組を探す順序を、途中式を省かずにたどります。鍵を握るのは交差項です。

x² + 4xy + 5y² − 6x − 14y + 10 の最小値を求めよ——自習中にこの形を前にして、手が止まる場面です。xの項だけを取り出してx² − 6xの最小を出し、yの項だけを取り出して5y² − 14yの最小を出し、二つを足して答えにした。ところが元の式に戻すと値が合わず、どこで崩れたのか分からない。崩れた原因は、4xyという交差項がxとyを結びつけているのに、二つの変数を別々に動かしてしまったことにあります。

二変数の二次式で問われる三つの型

二変数の二次式とは、x²、xy、y²、x、y、定数の和で書ける式です。係数は実数とし、x²の係数は0でないとします。x²の係数が負のときは、xを大きくするだけで式全体がいくらでも小さくなるため、最小値を問う場面ではx²の係数が正の場合を考えます。出題の形は、おおむね次の三つに分かれます。

第一は、制約のない最小値と、そのときのxとyの組を求める型です。平方完成で二つの平方の和に直し、両方が0になる連立方程式を解きます。第二は、係数に文字を含む型です。文字の値によって平方が二つ残る場合と一つに減る場合に分かれ、境目で答えの形が変わります。第三は、x ≥ 0のような条件が付く型です。平方完成から出た組が条件を満たすかを確かめ、満たさないときは条件の境界で改めて考えます。

どの型でも使う道具は、平方完成と「実数の二乗は0以上である」という性質だけです。等号が成り立つのが平方の中身の0のときだけ、という点が答えの組を決めます。新しい公式を覚える必要はなく、式をどの順に整理するかが勝負になります。

交差項を一つの平方の中へ移す

一般の形で手順を確かめます。x²の係数をa、xyの係数をb、y²の係数をc、xの係数をd、yの係数をe、定数をhとし、a > 0とします。まずxについてまとめ、xの一次の係数の半分を平方の中に入れます。

g = ax² + (by + d)x + cy² + ey + h
  = a(x + (by + d)/(2a))² - (by + d)²/(4a) + cy² + ey + h
  = a(x + (by + d)/(2a))² + (c - b²/(4a))y² + (e - bd/(2a))y + h - d²/(4a)

2行目は、ax² + (by + d)xをa(x + (by + d)/(2a))²から余分な(by + d)²/(4a)を引いて作ったものです。3行目はその余分な項を展開し、y²とyの係数をまとめた結果です。

a > 0なので、最初の平方は0以上です。したがってgの最小値を決めるのは、残ったyの二次式の係数A = c − b²/(4a) = (4ac − b²)/(4a)です。a > 0のもとでは、Aの符号は4ac − b²の符号と同じになります。

A > 0のときは、残りのyの二次式をもう一度平方完成すれば、gは二つの平方の和に定数を足した形になります。二つの平方を同時に0にする組が存在するので、そこが最小です。A = 0のときはy²の項が消え、yの一次式が残ります。一次の係数が0でなければ、yをどちらかへ動かすだけでgはいくらでも小さくなり、最小値はありません。一次の係数も0なら、残りは定数になり、二つの平方を0にする直線全体で最小値を取ります。A < 0のときはy²の係数が負なので、yを大きくするとgはいくらでも小さくなります。

この係数の符号は、式の形を図で見たときの等値線の種類にも対応します。A > 0なら等しい値の線は閉じた曲線になり、その中心が最小の点です。A = 0で一次の項も消えるなら等値線は平行な直線になり、一次の項が残るなら等値線は放物線になって値は下がり続けます。A < 0なら二本の曲線に分かれて値はどこまでも下がります。平方完成は、この中心の位置を式から取り出す操作だと見ることもできます。

等号を調べる場面では、二つの平方を同時に0に置きます。第一の平方からx + (by + d)/(2a) = 0、第二の平方からy = 求めた値という二つの一次方程式が出るので、これを連立してxを決めます。出た組を元の式へ代入し、値が一致するかを確かめてから答案を閉じます。

図1のように、交差項を含む式は、二つの平方の和に直すと「どちらも0になる場所」が最小の候補になります。二乗はどれも負にならないので、片方だけを0にしても、もう片方が残っていれば値は0より大きいままです。

二つの変数を別々に小さくしてはいけない理由も、この形から読めます。xだけを動かすと第一の平方だけが変わり、yだけを動かすと両方の平方が変わります。交差項はyの値を通してxの最適な位置をずらすので、xとyの最適な値を独立に決めることはできません。片方の変数を決めてから、もう片方を動かす順序で考えます。

条件が付く問題では、平方完成の結果に条件を重ねます。求めた組がx ≥ 0などを満たしていれば、それが答えです。満たしていなければ、その組は使えないので、条件の境界に候補を移して一変数の問題として解き直します。この確かめを省くと、条件の外にある点を平然と答えてしまいます。

基本例題（標準）—交差項を含む式の最小値

例題1　f(x,y) = x² + 4xy + 5y² − 6x − 14y + 10 の最小値と、最小になる実数の組を求めなさい。

まずxについて整理します。

f = x² + (4y - 6)x + 5y² - 14y + 10

xの一次の係数4y − 6の半分は2y − 3なので、平方の中身はx + 2y − 3です。この平方を展開すると余分な(2y − 3)²が出るので、それを引きます。

f = (x + 2y - 3)² - (2y - 3)² + 5y² - 14y + 10

引いた項を展開して、yの式をまとめます。

- (2y - 3)² = -4y² + 12y - 9
f = (x + 2y - 3)² + y² - 2y + 1
f = (x + 2y - 3)² + (y - 1)²

二つの平方はどちらも0以上なので、f ≥ 0です。等号が成り立つのは、x + 2y − 3 = 0とy − 1 = 0が同時に成り立つときです。y = 1を第一の式に代入するとx = 1になります。この組を元の式へ戻すと、1 + 4 + 5 − 6 − 14 + 10 = 0となり、平方完成の結果と一致します。

答えは、最小値0、最小になる組は(x,y) = (1,1)です。

別の見方もできます。x² + 4xy + 5y²は(x + 2y)² + y²と書けるので、u = x + 2yと置きます。x = u − 2yを残りの項へ代入すると、f = u² + y² − 6(u − 2y) − 14y + 10 = (u − 3)² + (y − 1)²になります。u − 3 = x + 2y − 3なので、同じ形に着きます。交差項を先にまとめて新しい文字を作るか、xについて平方完成するかという順序の違いで、結果は変わりません。

図2のように、x + 2y − 3 = 0の直線とy = 1の直線が交わる点が(1,1)です。二つの平方はそれぞれの直線上で0になり、交点では両方が同時に0になります。f = 4の等値線は、この交点を中心にした傾いた楕円になります。交差項があるため、等値線は座標軸に平行な楕円にはなりません。

標準・発展の例題

例題2（やや難）—平方が一つに減る場合

例題2　f(x,y) = x² + 2xy + y² + 3x + 3y + 4 の最小値と、最小になる組の全体を求めなさい。

x² + 2xy + y²は(x + y)²です。s = x + yと置くと、x + yの部分がそのままsになるので、f = s² + 3s + 4と書けます。sについて平方完成すると、f = (s + 3/2)² + 7/4です。二乗は0以上なのでf ≥ 7/4で、等号はs = -3/2のとき、つまりx + y = -3/2のときに成り立ちます。

答えは、最小値7/4です。最小になる組は、x + y = -3/2を満たすすべての実数の組で、(x,y) = (t, -3/2 − t)（tは任意の実数）と表せます。t = 0の組(0,-3/2)を元の式へ戻すと、9/4 − 9/2 + 4 = 7/4となり、一致します。

ここで注意するのは、答えが一点ではないことです。残ったyの式のy²の係数が0で、yの一次の係数も0になったため、最小になる組が直線全体に広がりました。答案では「すべて」と書き、tを使って組の全体を示します。一点だけを書くと、それ以外の組を見落とした答案になります。

この係数は、1行目で示した式のe − bd/(2a)で決まります。この例題ではa = 1、b = 2、d = 3、e = 3なので、3 − 3 = 0です。同じ形でも一次の係数が0でない場合があります。g(x,y) = x² + 2xy + y² + x − yでは、a = 1、b = 2、d = 1、e = -1なので、-1 − 1 = -2となり、0ではありません。

gを実際に変形すると、g = (x + y)² + x − yです。x + y = sと置くとx − y = s − 2yなので、g = s² + s − 2yになります。sを0に固定してyを大きくすると、g = -2yはいくらでも小さくなります。y = t、x = -tと置けばg = -2tとなり、tを大きくするだけで負の方向へ限りなく進みます。したがってgには最小値がありません。

平方完成の後、残りのy²の係数が0になったら、次にyの一次の係数を見る。この順序を守ると、最小値がある場合とない場合を取り違えません。

例題3（難）—文字定数を含む式

例題3　kを実数の定数とします。f(x,y) = x² + 2kxy + 4y² − 2x − 4y + 5の最小値が存在するkの範囲を求め、存在するときの最小値と最小になる組を求めなさい。

xについて整理し、平方完成します。

f = x² + (2ky - 2)x + 4y² - 4y + 5
  = (x + ky - 1)² - (ky - 1)² + 4y² - 4y + 5
  = (x + ky - 1)² + (4 - k²)y² + (2k - 4)y + 4

残ったyの二次式の係数は4 − k²です。この符号で場合を分けます。

|k| > 2のときは4 − k² < 0です。x = 1 − kyと置くと第一の平方は0になり、残りは(4 − k²)y² + 2(k − 2)y + 4です。y²の係数が負なので、yを大きくするだけで式はいくらでも小さくなります。最小値はありません。

k = 2のときは4 − k² = 0で、yの一次の係数も2k − 4 = 0になります。f = (x + 2y − 1)² + 4となり、最小値は4です。等号はx + 2y = 1のときに成り立つので、最小になる組はこの直線上のすべての点です。

k = -2のときは4 − k² = 0で、yの一次の係数は2k − 4 = -8です。f = (x − 2y − 1)² − 8y + 4となり、x = 1 + 2yと置けば第一の平方が0になります。残りは-8y + 4で、yを大きくすると限りなく小さくなります。最小値はありません。

|k| < 2のときは4 − k² > 0なので、yについても平方完成できます。

(4 - k²)y² + (2k - 4)y + 4
= (4 - k²)(y - 1/(2 + k))² + (6 + 5k)/(2 + k)

頂点のyは1/(2 + k)で、このときx = 1 − k/(2 + k) = 2/(2 + k)です。最小値は(6 + 5k)/(2 + k)になります。

まとめると、最小値が存在するのは-2 < k ≤ 2のときです。-2 < k < 2のときは最小値(6 + 5k)/(2 + k)を組(2/(2 + k), 1/(2 + k))で取り、k = 2のときは最小値4を直線x + 2y = 1上のすべての点で取ります。k ≤ -2またはk > 2のときは最小値がありません。

k = 0を代入すると、最小値3を組(1, 1/2)で取ることが確かめられます。k = 1なら最小値11/3を組(2/3, 1/3)で取ります。境目のk = 2では、上の式の(6 + 5k)/(2 + k)が16/4 = 4となり、直線全体で取る場合の値とつながります。

一般式のb² < 4acの条件でこの例題を見ると、b = 2k、a = 1、c = 4なので4k² < 16、つまり|k| < 2となり、場合分けの境目と一致します。係数4 − k²が0になるk = ±2は、式が一つの平方と一次式に分かれる境目です。k = 2では残りの一次式も消えて最小値が直線全体に広がり、k = -2では一次式が残って下に有界でなくなります。同じ「係数が0」でも、次に残る項によって答えの形が変わる点に注意します。

よくある誤りと直し方

最初の誤りは、交差項を切り離して、xの項とyの項を別々に最小にすることです。例題1の式でx² − 6xの最小は-9（x = 3）、5y² − 14yの最小は-49/5（y = 7/5）なので、これに定数10を足して-44/5 = -8.8と答えてしまいます。しかし(3, 7/5)を元の式へ戻すと、落とした交差項4xy = 84/5が効いてf = 8になります。さらに例題1の変形からf = (x + 2y − 3)² + (y − 1)² ≥ 0なので、負の値を最小値にすることはできません。交差項を落とした分だけ、答えが下へずれていたのです。

直し方は、交差項を残したままxについて平方完成し、残ったyの式をもう一度整理することです。xの平方完成では、yを含む係数もそのまま平方の中へ入れます。この一手間を省くと、変数どうしの結びつきが式から抜け落ちます。

二つ目の誤りは、平方完成の符号です。(x + 2y − 3)²を作った後に(2y − 3)²を足してしまい、f = (x + 2y − 3)² + (2y − 3)² + 5y² − 14y + 10とする答案があります。この式を展開すると4xyの符号やy²の係数が元の式と合いません。直し方は単純で、平方完成のたびに展開して元の式に戻るかを確かめます。式変形を1行ずつ書き、前の行との差がその行の操作と一致しているかを見ます。

三つ目の誤りは、残ったyの式の係数を確かめずに、いつでも頂点があると決めることです。例題2のg(x,y) = x² + 2xy + y² + x − yでは、y²の係数が0です。それでも「y²の係数が正だから頂点がある」と決め打ちすると、最小値があると誤答します。実際にはy = t、x = -tとすれば値は-2tとなり、どこまでも小さくなります。平方完成の後は、残った式の最高次の係数を見て、0なら一次の係数へ進むという順序を守ります。

図3は、交差項を無視した誤答と、交差項を平方の中へ含めた正しい変形を並べたものです。左の答え-8.8は、右のように交差項を平方の中へ入れると消えて、最小値0に置き換わります。

四つ目の誤りは、条件を後回しにすることです。x ≥ 3という条件の下で(x − 2)² + (y + 3)²の最小を求めるとき、平方完成だけで(2,-3)を答えてしまう答案があります。この組はx ≥ 3を満たさないため、条件の下では使えません。x ≥ 3ではx = 3のときに第一の平方が最小の1になり、y = -3で0になるので、最小値は1です。平方完成の後は、必ず条件へ組を戻して確かめます。

練習問題

問題1　f(x,y) = x² + 6xy + 10y² − 4x − 10yの最小値と、最小になる組を求めなさい。

問題2　g(x,y) = 2x² − 4xy + 5y² + 2x − 8y + 7の最小値と、最小になる組を求めなさい。

問題3　h(x,y) = x² + 2xy + y² − 4x − 4y + 3の最小値と、最小になる組の全体を求めなさい。

問題4　k(x,y) = x² + 2xy + y² − 2x + 4yに最小値はあるか。ある場合は最小値と組、ない場合はその理由を述べなさい。

問題5　x ≥ 0、y ≥ 0のとき、f(x,y) = x² + 2xy + 3y² − 4y + 1の最小値と、最小になる組を求めなさい。

問1の解答

x² + 6xy + 10y² = (x + 3y)² + y²です。u = x + 3yと置くとx = u − 3yなので、

f = u² + y² - 4(u - 3y) - 10y
  = u² + y² - 4u + 2y
  = (u - 2)² + (y + 1)² - 5
  = (x + 3y - 2)² + (y + 1)² - 5

二つの平方は0以上なのでf ≥ -5です。等号はx + 3y − 2 = 0かつy = -1のときで、x = 5です。求めた組(5,-1)を元の式へ戻すと、25 − 30 + 10 − 20 + 10 = -5となり、一致します。答えは最小値-5、組(5,-1)です。

問2の解答

2x² − 4xy + 5y² = 2(x − y)² + 3y²です。u = x − yと置くとx = u + yなので、

g = 2u² + 3y² + 2(u + y) - 8y + 7
  = 2u² + 3y² + 2u - 6y + 7
  = 2(u + 1/2)² + 3(y - 1)² + 7/2
  = 2(x - y + 1/2)² + 3(y - 1)² + 7/2

二つの平方は0以上なのでg ≥ 7/2です。等号はx − y + 1/2 = 0かつy = 1のときで、x = 1/2です。組(1/2, 1)を元の式へ戻すと、2・1/4 − 2 + 5 + 1 − 8 + 7 = 7/2となり、一致します。答えは最小値7/2、組(1/2, 1)です。

問3の解答

x² + 2xy + y² = (x + y)²なので、s = x + yと置くと、

h = s² - 4s + 3
  = (s - 2)² - 1
  = (x + y - 2)² - 1

二乗は0以上なのでh ≥ -1です。等号はx + y = 2のすべての組で成り立ちます。(2,0)や(0,2)を元の式へ戻すと、どちらも-1になります。答えは最小値-1、組はx + y = 2を満たすすべての実数の組です。

問4の解答

x² + 2xy + y² = (x + y)²なので、s = x + yと置くとx = s − yです。これをxとyの項へ代入すると、

k = s² - 2(s - y) + 4y
  = s² - 2s + 6y
  = (s - 1)² + 6y - 1

ここでs = 1、つまりx + y = 1に固定し、y = tと置くとx = 1 − tです。このときk = 6t − 1となり、tを限りなく小さくするとkも限りなく小さくなります。したがって下に有界でなく、最小値はありません。t = -10の組(11,-10)では、121 − 220 + 100 − 22 − 40 = -61となり、値が負の方向へ動くことを確かめられます。

問5の解答

x² + 2xy + 3y² = (x + y)² + 2y²なので、

f = (x + y)² + 2y² - 4y + 1
  = (x + y)² + 2(y - 1)² - 1

x ≥ 0、y ≥ 0なのでx + y ≥ y ≥ 0です。したがって(x + y)² ≥ y²が成り立ち、

f ≥ y² + 2(y - 1)² - 1
  = 3y² - 4y + 1
  = 3(y - 2/3)² - 1/3

となります。等号はx = 0のときで、y = 2/3のときに最後の平方も0になります。組(0, 2/3)を元の式へ戻すと、3・4/9 − 8/3 + 1 = -1/3となり、一致します。制約なしの最小は-1で組は(-1,1)ですが、x ≥ 0に反するため使えません。答えは最小値-1/3、組(0, 2/3)です。

覚えておくこと

• 二変数の二次式は、まずxについて平方完成し、残りをyの式としてまとめる。
• 残りのy²の係数が正なら最小値があり、0ならyの一次の係数で有界性を判断する。
• 最小になる組は、二つの平方を同時に0にする連立方程式の解として求める。
• 求めた組は元の式と条件の両方へ戻して確かめる。

つまずきの見分け方

交差項を無視して変数を別々に最小にしている答案は、x² − 6xのような一部だけの平方完成が並びます。式をxについてまとめ直させ、交差項が平方の中に入っているかを見れば、抜けはすぐに分かります。平方完成の符号が合わない答案は、1行戻って展開し、元の式と一致するかを確かめます。残ったyの式の係数を見ていない答案は、y²の係数、次にyの係数の順に声に出して確認させます。

個別指導では、どの平方が0になる条件を書き出させ、二つを連立させるところまでを本人の言葉で説明してもらいます。式変形の各段で何をしたかを言わせると、符号の誤りと交差項の落としが早く見つかります。最後に求めた組を元の式へ戻し、値が一致するかを本人自身に計算させると、答えの形への納得が定着します。

交差項を平方の中に畳み込めば、二変数の式は最小の場所を自分から示します。