大学入試数学 コーシー・シュワルツの分数形—正の分母をそろえ逆数の和の下界を証明する｜武蔵野個別指導塾

正の分母をもつ二項の分数を、分子を平方にそろえて下から押さえ、等号を取る比を和の条件へ戻して達成を確かめるまでを、置換の計算と四つの例題でたどる分数形です。

よくあるのは、逆数の和を一つの不等式で押さえる練習を終えた直後に、分母が一次式になった問題で同じ形をそのまま重ねてしまう場面です。高2から高3の本人が自習中に、1/(x-1) と 4/(x-5) を並べた式へ迷わず分数形を当てはめ、x が1と5のあいだにある場合まで同じ向きの不等号で押さえてしまいます。分母が正であることを確かめないまま進むと、成り立たない下界を最小値として答案に書くことになります。以下では、二項の分数形を置換から導き、分母の正と等号の比を確かめ、和が一定という制約へ戻して値を決める手順を、四つの例題と五つの練習で組み立てます。

問いの型と、使う前に確かめること

出題で多いのは、正の二数の和が決まっているときに、逆数の和や分子に係数の付いた分数の和の最小値を求める形です。x+y=7 という条件の下で 1/x+9/y を最小にする問いが典型で、条件の左辺と分母の並びがそのまま重なります。

二つ目は、分母が x-1 や 2y のような一次式や係数付きで、条件の左辺とそのままでは重ならない形です。分母を並べ替えるか一つの分母へまとめると和が一定になり、そこで初めて分数形が使えます。三つ目は証明と等号を一組で問う形で、(x+y)(1/x+4/y) ≥ 9 を示したあとに等号の比を述べさせます。

道具は実数の二乗が0以上という性質だけで、数学Iと数学IIの展開で足ります。相加相乗平均でも入口は作れますが、分子の係数が 1 と 3 のように違うと等号の点が変数の中央から外れ、二項の相加相乗では評価が甘くなります。分子を平方の形にして分母の和で割る分数形は、係数をそのまま比へ反映できます。

答案には下界、等号を取る組、その組が条件を満たすことの三つを書きます。下界だけでは、達成できない値を最小値として提出する答案になります。

前提は二つの分母が正であることです。崩れたときに何が起きるかは、次の節で数値を使って確かめます。

分数形の定理と、置換による導出

二つの正の数 x₁, x₂ と実数 a₁, a₂ に対して、次の不等式が成り立ちます。

a₁²/x₁ + a₂²/x₂ ≥ (a₁+a₂)²/(x₁+x₂)

左辺は分子の二乗を分母で割った和、右辺は分子の和の二乗を分母の和で割ったものです。コーシー・シュワルツの不等式を分数の形に書き直したものとして使います。等号は a₁/x₁ = a₂/x₂ のときに限ります。証明は、各項の分数を新しい文字に置き換えると短く終わります。

p = a₁/x₁, q = a₂/x₂ とおくと a₁ = p x₁, a₂ = q x₂
a₁²/x₁ + a₂²/x₂ - (a₁+a₂)²/(x₁+x₂)
= p²x₁ + q²x₂ - (p x₁ + q x₂)²/(x₁+x₂)
= ((p²x₁ + q²x₂)(x₁+x₂) - (p x₁ + q x₂)²)/(x₁+x₂)
= (p²x₁² + p²x₁x₂ + q²x₁x₂ + q²x₂² - p²x₁² - 2pq x₁x₂ - q²x₂²)/(x₁+x₂)
= x₁x₂(p² - 2pq + q²)/(x₁+x₂)
= x₁x₂(p-q)²/(x₁+x₂)

一行目は p と q の定義による置き換えです。x₁ と x₂ が正なので a₁ = p x₁, a₂ = q x₂ をそのまま代入できます。二行目は左辺と右辺の差、三行目はその差へ置き換えを反映した式です。四行目は分母を x₁+x₂ で通分した形、五行目は分子を展開した形、六行目は同類項をまとめた形、七行目は平方の形に直したものです。

x₁x₂ は正、x₁+x₂ も正、(p-q)² は0以上ですから、差は0以上になります。等号は p=q、つまり a₁/x₁ = a₂/x₂ のときです。分母が正なので、この等式は a₁x₂ = a₂x₁ と書き換えても同じ内容になります。分子の比と分母の比を同じ向きに取る、という読み方もできます。

分母の符号を緩めると何が起きるかを確かめます。x₁ と x₂ がどちらも負なら、x₁x₂ は正でも x₁+x₂ は負です。上の差は0以下になり、不等号の向きが逆になります。x₁=-1, x₂=-2, a₁=a₂=1 のとき、左辺は -3/2、右辺は -4/3 で、左辺のほうが小さくなります。異符号のときは x₁x₂ が負になり、差の符号は x₁+x₂ の符号に左右されて、一定の向きを保証できません。だから答案では、使う直前に二つの分母が正であることを確認します。

右辺の分母が x₁+x₂ であることも大切です。この和が一定のときだけ右辺は数値になり、左辺の下界として使えます。和が動くなら右辺も動くので、下界は変数の式のまま残り、最小値の計算は別に必要になります。

図1は、置換によって差を平方の形へ運ぶ流れを示したものです。

図1のように、左の二つの分数を p と q に置き換えると、右側の差は分母が x₁+x₂、分子が平方の形になります。置換そのものは分母が0でなければ元へ戻せますが、差の符号を決めるのは分母の和の符号です。負の分母が混ざると、この最後の判断が崩れます。

基本の例題で、下界と等号を一組にする

例題1（基本） x>0, y>0, x+y=7 のとき、1/x+9/y の最小値と、そのときの x, y の値を求めなさい。最小値も x と y も分数で答えること。

分母は x と y で、どちらも正です。分子は 1 と 9 なので、1 = 1², 9 = 3² と見て a₁=1, a₂=3 とします。分母の和は x+y=7 で一定ですから、分数形をそのまま当てられます。

1/x + 9/y
= 1²/x + 3²/y
≥ (1+3)²/(x+y)
= 16/7

等号は 1/x = 3/y のときです。分母を払うと y = 3x になり、x+y=7 へ代入すると 4x=7、x=7/4, y=21/4 です。どちらも正で、条件を満たします。したがって最小値は 16/7、そのとき x=7/4, y=21/4 です。

求めた組を元の式へ戻して確かめます。1/(7/4) + 9/(21/4) = 4/7 + 36/21 = 4/7 + 12/7 = 16/7 で、下界の値と一致します。x+y = 7/4 + 21/4 = 28/4 = 7 で、和の条件も戻ります。

x=y と置くと 1/(7/2)+9/(7/2) = 2/7+18/7 = 20/7 になり、16/7 より大きい値で止まります。等号の比は分子の比 1:3 に引っ張られるので、変数を等しく置くのではありません。ここが相加相乗平均との違いです。

図2は、和が7の線分を 1:3 に分けた位置が等号の組になることを示したものです。

図2のように、x と y の比が分子の比と同じ 1:3 になるところで等号が成立します。片方を動かして和を保つと、比が 1:3 からずれた分だけ値が大きくなります。

標準と発展の例題

例題2（標準）

例題2（標準） x>0, y>0, x+2y=4 のとき、4/x+9/(2y) の最小値と、そのときの x, y の値を求めなさい。最小値も x と y も分数で答えること。

分母は x と 2y です。この二つの和は x+2y=4 で一定なので、条件の左辺がそのまま分母の和になります。分子は 4=2², 9=3² ですから、a₁=2, a₂=3 として当てます。

4/x + 9/(2y)
= 2²/x + 3²/(2y)
≥ (2+3)²/(x+2y)
= 25/4

等号は 2/x = 3/(2y)。分母を払うと 4y=3x で、x=4y/3。x+2y=4 へ代入すると (10/3)y=4、y=6/5, x=8/5 です。どちらも正で、条件を満たします。

検算します。4/(8/5)+9/(12/5) = 20/8+45/12 = 5/2+15/4 = 10/4+15/4 = 25/4。x+2y = 8/5+12/5 = 20/5 = 4。値も条件も戻りました。

この問題で通分の相手に x+y を選ぶと、x+y は一定でないので右辺が動き、下界が数値になりません。分母を縦に並べ、その和が条件の左辺と一致するかを見るのが最初の判断です。

例題3（やや難）

例題3（やや難） x>1, y>2, x+y=10 のとき、1/(x-1)+4/(y-2) の最小値と、そのときの x, y の値を求めなさい。最小値も x と y も分数で答えること。

分母がそのままでは条件の和に現れません。u=x-1, v=y-2 と置くと、u>0, v>0 で、u+v = x+y-3 = 7 になります。x=u+1, y=v+2 と戻せるので、この置換は一対一で、u と v が正という範囲は x>1, y>2 とそのまま対応します。

1/(x-1) + 4/(y-2)
= 1/u + 4/v
= 1²/u + 2²/v
≥ (1+2)²/(u+v)
= 9/7

等号は 1/u = 2/v から v=2u。u+v=7 へ代入すると 3u=7、u=7/3, v=14/3 です。戻すと x=10/3, y=20/3 で、x>1, y>2 を満たします。

検算します。1/(7/3)+4/(14/3) = 3/7+12/14 = 3/7+6/7 = 9/7。x+y = 10/3+20/3 = 30/3 = 10。置換の定数を戻す計算まで含めて一致しました。

置換のあとは、u と v の和が一定になったことを確かめてから当てます。元へ戻すときに +1 と +2 を忘れると、等号の組だけがずれます。

例題4（難）

例題4（難） x≥2, y>0, x+y=3 のとき、1/x+4/y の最小値と、そのときの x, y の値を求めなさい。最小値も x と y も分数で答えること。

条件の和は3で、分母の和も x+y=3 です。分数形を当てると 1/x+4/y ≥ (1+2)²/3 = 3 です。等号は 1/x=2/y から y=2x、x+y=3 へ代入して x=1, y=2。しかし x≥2 を満たしません。下界の3は正しいものの、この範囲では達成できません。

達成できないときは、範囲の端まで値を比べます。y=3-x として 2≤x<3 の一変数の式にし、9/2 との差を因数分解します。

1/x + 4/(3-x) - 9/2
= (2(3-x) + 8x - 9x(3-x))/(2x(3-x))
= (9x² - 21x + 6)/(2x(3-x))
= 3(3x-1)(x-2)/(2x(3-x))

2≤x<3 では 3x-1>0, x-2≥0, 2x(3-x)>0 なので、差は0以上です。等号は x=2 のときで、y=1 は y>0 を満たします。したがって最小値は 9/2、そのとき x=2, y=1 です。

検算します。1/2+4/1 = 9/2、x+y = 2+1 = 3、x≥2 も満たします。下界の3と最小値の9/2は別の数で、答案では両方を区別して書きます。

三項以上へ広げる場合も、二項の形を順に重ねれば済みます。a₁²/x₁+a₂²/x₂ ≥ (a₁+a₂)²/(x₁+x₂) の左辺へ a₃²/x₃ を足し、まとめた項と a₃²/x₃ にもう一度同じ形を使うと、右辺は (a₁+a₂+a₃)²/(x₁+x₂+x₃) になります。等号は三つの比がすべて同じときです。

よくある誤りと、その直し方

一つ目の誤りは、分母の符号を確かめずに当てはめることです。1/(x-1)+4/(x-5) ≥ (1+2)²/((x-1)+(x-5)) = 9/(2x-6) と書くと、x が1と5のあいだでは x-1 が正、x-5 が負で、分母が異符号になります。x=4 を入れると左辺は 1/3+4/(-1) = -11/3、右辺は 9/2 で、左辺のほうが小さく、下界になっていません。二つの分母がともに正になるのは x>5 の範囲だけです。

図3は、数直線の上で二つの分母の符号が変わる位置と、使える範囲を示したものです。

図3のように、境目の1と5をまたぐと符号の組み合わせが変わり、同じ式でも不等号の向きが保証されなくなります。符号の確認は計算の前に済ませます。

二つ目の誤りは、等号を x=y と覚えてしまうことです。例題1で x=y=7/2 と置くと 20/7 になり、最小値 16/7 より大きい値で止まります。正しい等号は a₁/x₁ = a₂/x₂ で、分子の比が 1:3 なら分母の比も 1:3 です。係数が付いた問題では、この比を先に解いてから和の条件へ代入します。

三つ目の誤りは、下界を出した時点で最小値と書いてしまうことです。例題4のように等号の点が範囲の外にあると、下界は達成されません。等号の組を求めたら、必ず元の条件へ代入し、範囲の端も含めて値の存在を確かめます。範囲が閉じているか開いているかで、端の値が答えになるかも変わります。

四つ目の誤りは、分子を平方の形に直さずに足すことです。例題1で 1 と 9 をそのまま分子として (1+9)²/7 = 100/7 とすると、x=y=7/2 の値 20/7 より大きい下界になり、成り立ちません。分子は 1² と 3² と見て、比べるのは 1+3 の二乗です。

練習問題

次の五問は、条件も数も例題とは別にしてあります。まず問題だけを並べ、答えは後半にまとめます。どの問も、下界だけでなく等号の組と条件の確認まで書いてください。

練習1 まずは分子がそのまま平方になる型です。x>0, y>0, x+y=5 のとき、4/x+9/y の最小値と、そのときの x, y の値を求めなさい。最小値も x と y も分数で答えること。

練習2 次は係数付きの分母を一つの分母へまとめる型です。x>0, y>0, 4x+y=9 のとき、1/x+4/y の最小値と、そのときの x, y の値を求めなさい。最小値も x と y も分数で答えること。

練習3 三問目は分母を平行移動する型です。x>3, y>0, x+y=12 のとき、1/(x-3)+1/y の最小値と、そのときの x, y の値を求めなさい。最小値も x と y も分数で答えること。

練習4 四問目は証明型です。x>0, y>0 のとき、(2x+y)(2/x+1/y) ≥ 9 が成り立つことを示し、等号が成り立つ条件を求めなさい。

練習5 最後は等号の点が範囲の外へ出る型です。x≥3, y>0, x+y=6 のとき、1/x+9/y の最小値と、そのときの x, y の値を求めなさい。最小値も x と y も分数で答えること。

練習問題の答えと解き方

練習1の解答です。4=2², 9=3² で、分母の和は x+y=5 です。4/x+9/y ≥ (2+3)²/5 = 25/5 = 5。等号は 2/x=3/y から 3x=2y で、x+y=5 へ代入すると x=2, y=3。検算すると 4/2+9/3 = 2+3 = 5 です。最小値は 5、そのとき x=2, y=3 です。

練習2の解答です。4/y = 1/(y/4) と書き、条件を x+y/4 = 9/4 と見ます。1/x+1/(y/4) ≥ (1+1)²/(x+y/4) = 4/(9/4) = 16/9。等号は 1/x = 1/(y/4)、つまり y=4x です。4x+y=9 へ代入すると 8x=9、x=9/8, y=9/2。検算すると 1/(9/8)+4/(9/2) = 8/9+8/9 = 16/9、4x+y = 9/2+9/2 = 9 です。最小値は 16/9、そのとき x=9/8, y=9/2 です。

練習3の解答です。u=x-3, v=y と置くと u>0, v>0, u+v=9 です。1/u+1/v ≥ (1+1)²/9 = 4/9。等号は u=v=9/2 で、x=15/2, y=9/2。x>3 を満たします。検算すると 1/(9/2)+1/(9/2) = 2/9+2/9 = 4/9、x+y = 15/2+9/2 = 24/2 = 12 です。最小値は 4/9、そのとき x=15/2, y=9/2 です。

練習4の解答です。2/x = 4/(2x) と直すと、4/(2x)+1/y ≥ (2+1)²/(2x+y) = 9/(2x+y)。両辺に 2x+y>0 を掛けると (2x+y)(2/x+1/y) ≥ 9 です。等号は 2/(2x)=1/y、つまり y=x のときで、実際に y=x を入れると (3x)(3/x) = 9 になります。よって等号は x=y>0 のときです。

練習5の解答です。分数形は 1/x+9/y ≥ (1+3)²/6 = 16/6 = 8/3 で、等号は 1/x=3/y から y=3x、x+y=6 へ代入して x=3/2, y=9/2。しかし x≥3 を満たしません。y=6-x として 3≤x<6 で差を取ると、次のように因数分解できます。

1/x + 9/(6-x) - 10/3
= (3(6-x) + 27x - 10x(6-x))/(3x(6-x))
= (10x² - 36x + 18)/(3x(6-x))
= 2(5x-3)(x-3)/(3x(6-x))

3≤x<6 では 5x-3>0, x-3≥0, 3x(6-x)>0 なので、差は0以上です。等号は x=3 のときで、y=3 は y>0 を満たします。検算すると 1/3+9/3 = 1/3+3 = 10/3、x+y=6 です。最小値は 10/3、そのとき x=3, y=3 です。

覚えておくこと

・使う前に、二つの分母が正であることを確かめる。どちらも正でなければ、同じ形は使えない。 ・左辺の各項を p, q に置き換えると、左辺と右辺の差は x₁x₂(p-q)²/(x₁+x₂) になる。 ・等号は a₁/x₁ = a₂/x₂。分子の比と分母の比を同じ向きに取る。 ・右辺が数値になるのは、分母の和が一定のときだけ。和が動くなら下界も動く。 ・等号の組を条件へ戻し、範囲の中で達成できるかを確かめてから最小値と書く。

つまずきの見分け方

答案が止まったときは、分母の符号、分母の和が条件と一致するか、等号の比、等号の組が範囲に入るか、の四つの順に見ます。この順番には理由があり、前の段が崩れていると後の段の計算がすべて無駄になるからです。

分母の符号で止まる答案は、条件の不等式を数直線に写させると自分で直せます。分母の和が合わない答案は、条件の左辺と使う分母を縦に並べて書き、同じ並びになるかを見ます。等号の比を x=y と書く答案は、a₁ と a₂ を明示させ、a₁/x₁ = a₂/x₂ の式へ戻します。

説明を聞くときは、どの段で分母の正を確かめたか、等号の比をどう決めたか、その組が範囲に入るかを、本人の言葉で言えるかを確かめます。式の変形だけを追うと、範囲の外にある等号の点を見落としたまま、正解の形だけが整った答案になります。

答案を直すときは、式の見た目より、等号の組が条件の内側にあるかを見ます。そこが合えば、値の一致は最後の検算で自然にそろいます。