中学受験の算数 差集め算の人数—一人分の差が集まった量から人数を求める｜武蔵野個別指導塾

一人に配る数の増加と全員分の増加を分け、集まった差から人数を求めます。2通りの総配布量へ戻すと、枚数を人数と取り違えた箇所が見えてきます。

よくあるのは、一人に配る数を増やしたとき、一人分の増加と全員分の増加を混同する場面です。たとえば一人に2個ずつ多く配るなら、増えるのは全員で2個ではありません。受け取る人それぞれに2個の増加があります。その増加を集めた量がわかれば、同じ増加が何人分あるかを数えられます。

配り方が2通りある問題では、どちらも同じ人たちに配るのか、書かれた総数が何を表すのかを先に読みます。ここで扱うのは、2通りの総配布量の差から人数を求める場面です。配った後の余りや不足を使う場面とは区別します。

どの差から人数へ進むか

一つ目の型は、2通りの一人分と2通りの総配布量が与えられる問いです。総配布量どうしを引けば全員分の増加、一人分どうしを引けば一人あたりの増加です。前者を後者で割ると人数が出ます。引き算が2回あっても、出てくる量の単位が違います。

二つ目の型は、総配布量そのものではなく、増えた総数が与えられる問いです。この場合、総数どうしの引き算は不要です。「全部で何個多い」という文を見落として再び引くと、関係のない数になります。何を引いた結果が問題文に書かれているか、言葉を添えて整理します。

三つ目の型は、一方の総配布量と、もう一方との差から人数やもう一方の総配布量を求める問いです。人数を出した後、指定された配り方の一人分を人数にかけます。差から出るのは人数であり、そのまま総配布量として答えないようにします。

いずれも、一人分の数が各人で等しく、2通りで受け取る人数が同じという条件が必要です。人数が変わると、増えた総数には配り方の変化だけでなく人数の変化も混ざります。この方法の割り算をそのまま使うことはできません。

一人分を重ねて差を見る

図1は、同じ4人に一人3個ずつ配る場合と、一人5個ずつ配る場合の対応です。上の1区画と、その真下の1区画は同じ人を表します。横の長さは個数に比例し、共通の3個分を青、増えた2個分を橙で表しています。

図1のように、増えた部分は各人に2個ずつあります。4人分を集めると2 × 4 = 8個です。上の総数は3 × 4 = 12個、下は5 × 4 = 20個で、その差も20 − 12 = 8個です。共通部分が同じ数ずつあるので、総数を引くと増加部分が残ります。

この関係を逆にたどると人数を求められます。全員分の増加が8個、一人分の増加が2個なら、8個の中に2個のまとまりが4組あります。8 ÷ 2 = 4人です。割る数は「一人について増えた個数」、割られる数は「全員について増えた個数」です。個数を個数で割るときも、何個ずつのまとまりを数えるかを説明すれば、答えが人数になる理由を追えます。

表にすると、配り方、一人分、人数、総配布量を同じ行に置けます。人数は2行で共通です。一人分が増えた行の総配布量も増えますが、増える量は一人分の増加を人数回集めた数です。たし算で確かめると、人数回の繰り返しをかけ算で表した意味が見えます。

図の共通部分は、実際に同じ品物を2回配り直す操作を意味しません。2通りの条件を比べるために重ねています。各方法で何個配るかを比べているのであり、総数の差が配布後に手元に残った品物を表すわけではありません。

一人分を引くときと総数を引くときは、どちらも多い方から少ない方を引きます。配り方が文章中で大きい数から先に書かれていても、順番に引く必要はありません。多い方の方法がどちらかを確認してから引けば、増加を正の数として扱えます。

人数を求めた後の問いも読み直します。各方法の総数が必要なら、求めた人数をそれぞれの一人分にかけます。総数を答える必要がなくても、検算で両方の総数を作ると、差だけでなく配り方の対応も確認できます。

基本例題：増えた分を一人ずつに分ける

同じ人数の子どもに、カードを一人4枚ずつ配る方法と、一人6枚ずつ配る方法を考えます。後の方法の総配布量は、前の方法より18枚多くなります。人数を整数で求め、2通りの総配布量をそれぞれ整数の枚数で求めましょう。

図2の青い部分は前の方法で配る一人4枚、橙の部分は後の方法で一人に増える2枚です。橙の部分を人数分集めると18枚になります。上の帯は一人分の長さを比べ、下の帯は人数分の増加をまとめて示す模式図です。上下の帯の長さは同じ縮尺ではありません。

一人分を比べます。

6 − 4 = 2（枚）

後の方法では一人あたり2枚増えます。全員分では18枚増えるので、2枚のまとまりがいくつあるかを求めます。

18 ÷ 2 = 9（人）

前の方法の総配布量は、4 × 9 = 36（枚）です。後の方法は、6 × 9 = 54（枚）です。54 − 36 = 18（枚）となり、問題文の増加に戻ります。どちらも9人に同じ枚数ずつ配っており、人数は整数です。

答えは9人、前の方法が36枚、後の方法が54枚です。18をそのまま人数とすると、一人分の増加が1枚だった場合の数え方になってしまいます。配り方の差が2枚であることを、割る前に一度確かめます。

標準例題：総数どうしから差を作る

同じ人数の参加者に、紙を一人3枚ずつ配ると総配布量は42枚です。一人7枚ずつ配ると総配布量は98枚です。参加者は何人ですか。整数で答えましょう。

こちらは総配布量が2通りとも書かれています。まず総数の増加を出します。

98 − 42 = 56（枚）

次に一人分の増加を出します。

7 − 3 = 4（枚）

56枚の中に4枚のまとまりが何組あるかを考えます。

56 ÷ 4 = 14（人）

答えは14人です。条件へ戻すと、3 × 14 = 42枚、7 × 14 = 98枚です。差は98 − 42 = 56枚で、一人の増加4枚を14人分集めた4 × 14 = 56枚とも一致します。

この例では42 ÷ 3でも人数が出ます。2通りの総数を使う方法と比べると、どちらの情報を使ったかがはっきりします。もし各総数から出る人数が一致しなければ、同じ人数に配るという条件と両立しません。計算を終えた時点で両方の条件に戻すと、写し間違いや引き算の向きを見つけられます。

発展例題：段階を分けて比較する

同じ人数にシールを配ります。一人2枚ずつ配る方法から一人5枚ずつ配る方法に変えると、総配布量が33枚増えます。さらに一人8枚ずつ配る方法にすると、一人2枚ずつの場合と比べた総配布量の増加は何枚ですか。人数と増加を、それぞれ整数の人数と枚数で求めましょう。

最初の2通りについて、一人分の増加は5 − 2 = 3枚です。全員分の増加33枚を3枚ずつに分けます。

33 ÷ 3 = 11（人）

次に、問われた2枚と8枚の方法を比べます。一人分の増加は8 − 2 = 6枚です。人数は同じ11人なので、6 × 11 = 66枚増えます。答えは11人、66枚です。

別の見方では、2枚から5枚への増加と、5枚から8枚への増加はどちらも一人3枚です。同じ11人に配るので、後の段階でも全員分は33枚増えます。2枚から8枚までの増加は33 + 33 = 66枚です。2段階分を集めた表と、一度に6枚の差を集めた計算が一致します。

元の場面へ戻すと、2枚の方法は2 × 11 = 22枚、5枚の方法は5 × 11 = 55枚、8枚の方法は8 × 11 = 88枚です。55 − 22 = 33枚、88 − 22 = 66枚です。後の段階だけの差33枚と、最初から最後までの差66枚を取り違えないよう、比較する2つの方法を先に指で示します。

一人分の増加が0の場合は分かれ目です。両方で一人に配る数が同じなら、同じ人数では総配布量の差も0です。増加が0であることだけから人数は決まりません。0で割って人数を出そうとせず、別の条件があるか読みます。また、総数の差が一人分の差で割り切れず人数が整数にならない場合は、個数と人数の条件に合う答えはありません。端数を勝手に切り上げず、条件や計算を点検します。

誤答をほどく：18を人数としたら

基本例題で「全員で18枚多いから18人」と答えたとします。図3のように、18枚は増加部分を全部集めた量です。一人にはそのうち2枚が対応します。18個のまとまりではなく、18枚を2枚ずつ分けたまとまりの数が人数です。

18人として場面へ戻すと、4枚ずつでは72枚、6枚ずつでは108枚です。差は36枚で、与えられた18枚とは一致しません。原因は、全員分の枚数と人数を同じものとして読んだことです。

修正するときは、まず「一人に何枚多いか」を6 − 4 = 2枚と書き、その横に「全員では18枚」と書きます。次に18 ÷ 2 = 9人とし、9人で2通りの総数を作って差を確認します。式の答えに単位を付けると、枚数を人数として使った箇所を見つけやすくなります。

逆に、18 ÷ 6とする誤りもあります。6枚は後の方法の一人分全部であり、18枚はその方法の総配布量ではなく2通りの差です。差を扱うときは、割る数も同じ比較で生じた差にそろえます。総配布量を一人分で割る方法とは、割られる数の意味が違います。

練習：問題を先に読んで取り組む

次の5問は、いずれも2通りで同じ人数に配ります。配る数は各人で等しいものとします。人数と指定された量は整数で答えましょう。

1. 参加者に鉛筆を一人2本ずつ配る方法と、一人5本ずつ配る方法があります。後者の総配布量は前者より24本多いです。人数と、それぞれの総配布量を求めましょう。
2. 子どもに折り紙を一人4枚ずつ配ると総配布量は48枚、一人7枚ずつ配ると84枚です。人数を求めましょう。
3. 人に封筒を一人3枚ずつ配る方法から一人8枚ずつ配る方法に変えると、総配布量は45枚増えます。人数と、一人8枚ずつの場合の総配布量を求めましょう。
4. 人に札を一人1枚ずつ配る方法から一人4枚ずつ配る方法に変えると、総配布量は21枚増えます。一人7枚ずつ配る方法の総配布量は、一人1枚ずつの場合より何枚多いですか。人数も求めましょう。
5. 人に箱を一人2個ずつ配る方法と一人6個ずつ配る方法では、総配布量の差が18個だと書かれています。この条件に合う整数の人数があるか答え、理由を述べましょう。

練習の答えと確かめ方

1. 一人分の差は5 − 2 = 3本です。24 ÷ 3 = 8人です。総配布量は2 × 8 = 16本と5 × 8 = 40本です。40 − 16 = 24本なので、元の増加を再現します。

2. 総数の差は84 − 48 = 36枚、一人分の差は7 − 4 = 3枚です。36 ÷ 3 = 12人です。4 × 12 = 48枚、7 × 12 = 84枚となり、両方の条件に戻ります。

3. 一人分の差は8 − 3 = 5枚です。45 ÷ 5 = 9人、一人8枚の総配布量は8 × 9 = 72枚です。一人3枚では3 × 9 = 27枚で、72 − 27 = 45枚です。

4. 一人分の差は4 − 1 = 3枚なので、21 ÷ 3 = 7人です。7枚と1枚の方法の一人分の差は6枚で、6 × 7 = 42枚多くなります。総配布量は順に7枚、28枚、49枚です。28 − 7 = 21枚、49 − 7 = 42枚と確かめられます。

5. 一人分の差は6 − 2 = 4個です。18 ÷ 4は整数にならないので、条件に合う整数の人数はありません。4人なら差は4 × 4 = 16個、5人なら4 × 5 = 20個です。人数が1人増えるごとに差は4個増えるため、その間の18個にはなりません。

覚えておきたいこと

同じ人数について、一人分の差を人数分集めると総配布量の差になります。
総配布量の差 ÷ 一人分の差で人数を求めます。
一人分の差が0のときは、この割り算で人数を決められません。
答えを2通りの配布に戻し、総数と差を確かめます。

つまずきの場所を見つけるには

お子さまが式を書けないときは、いきなり割り算の形を示さず、2通りの一人分を上下に描いて増えた部分を指してもらいます。そこが言えれば、次は同じ増加が何人分あるかをたずねます。一人分の差は出せても総数の差を選べない場合は、問題文の「一人」と「全員」に印を付け、単位とともに表の別の欄に置きます。

個別指導で確かめるなら、答えの数字だけでなく、その数字を使って各方法の総配布量を作れるかを見ます。割り切れない条件も試し、整数に丸める前に場面へ戻れるかを確かめます。比べる2通りと一人分の差が定まれば、集まった差から人数を数えられます。