中学受験の算数 年齢算の過去と未来—二つの時点の倍数から年齢差をそろえて考える｜武蔵野個別指導塾

過去と未来の倍数条件から、年齢差が表す区画をそろえます。二つの時点を結ぶ年数と同じ人の増加を対応させ、指定された時点の年齢を導きます。

よくあるのは、過去から未来までの年数を数えるとき、現在から未来への年数だけを書いてしまう場面です。たとえば「4年前」と「6年後」を比べるなら、二つの時点の間には10年あります。過去から現在までの4年も通るからです。

二人の年齢は同じ時間だけ増えます。一方、何倍かという比べ方は時間とともに変わります。時点を結ぶ年数と、変わらない年齢差を線分図に置くと、現在の年齢が直接示されていなくても考えられます。ここでは誕生日の違いによる途中の変化を避け、各時点の満年齢が経過年数と同じだけ増える条件で考えます。

どの時点の何を求めるか

一つ目の型は、過去に年上の人が年下の人の何倍、未来には別の何倍という条件から、現在の二人の年齢を求める問題です。現在の年齢は書かれていなくても、二つの時点の間隔はわかります。まず間隔を求め、それぞれの時点の年齢差を同じ長さとして扱います。

二つ目の型は、現在の年齢ではなく、過去や未来の年齢を求める問題です。線分図から求まるのがどの時点の年齢かを明記し、指定された時点まで戻したり進めたりします。答えの数が正しくても、時点を取り違えると条件に合いません。

三つ目の型は、過去の年齢の比が何対何という形で与えられ、未来の倍数条件と結びつく問題です。比の一目盛りの大きさは時点を変えると一般に変わります。比の数字を年齢そのものとせず、二人の差に注目して図をそろえます。

変わらない差と時点を結ぶ線

年上の人と年下の人の年齢を、それぞれ同じ時点で比べます。二人が10年ずつ年を取っても、年上の人が先に生まれた年数は変わりません。年齢の差は二人に同じ数を足しても引いても変わらないからです。たとえば差が24歳なら、過去も未来も差は24歳です。

図1のように、過去と未来の年齢差を同じ長さで表します。過去には年上が年下の4倍、未来には2倍だとします。過去の差は年下の年齢3個分、未来の差は年下の年齢1個分です。同じ差にそろえると、未来の年下の年齢は過去の3倍になります。

図1では、過去の年下の年齢を1区画とすると、差は3区画です。未来の年下の年齢はその差と同じ3区画ですから、年下は2区画分だけ年を取っています。この増加分が二つの時点の間の年数に当たります。年上も同じ年数だけ増えるので、差の部分を増加分として数えることはありません。

時点を表に並べることも役立ちます。「過去」「現在」「未来」を左から順に書き、過去から現在、現在から未来までの年数をそれぞれ矢印に記します。4年前から6年後なら4 + 6で10年です。過去の年数を引くと、現在から見た位置の差を取り違えてしまいます。

線分図の区画は人数ではなく年齢を表します。また、過去の1区画と未来の1区画を最初から同じ年数としてはいけません。差が同じという条件を使ってから、どの長さどうしが等しいかを決めます。倍数の条件は同じ時点の二人を比べたものなので、過去の年上と未来の年下を直接比べる意味ではありません。

基本例題：差を3区画にそろえる

【問題】父と子の満年齢について考えます。2年前、父の年齢は子の4倍でした。8年後、父の年齢は子の2倍になります。二人の年齢は各時点の間で経過年数と同じだけ増えるものとして、現在の父と子の年齢をそれぞれ整数で求めてください。

まず2年前から8年後までを数えます。現在までの2年と現在からの8年を合わせるので、間は2 + 8 = 10年です。この10年の間に、父も子もそれぞれ10歳ずつ年を取ります。

図2のように、2年前の子の年齢を1区画とします。父は4区画なので、年齢差は4 − 1 = 3区画です。8年後は父が子の2倍ですから、そのときの差は子の年齢1個分です。差は変わらないので、8年後の子の年齢は、2年前の子の年齢3区画分になります。

子の年齢は1区画から3区画へ増えています。増えた2区画が10年です。したがって、1区画は10 ÷ 2 = 5歳です。2年前の子は5歳、父は5 × 4 = 20歳です。

現在に戻すには、2年前から二人とも2歳ずつ増やします。子は5 + 2 = 7歳、父は20 + 2 = 22歳です。答えは父22歳、子7歳です。

条件に戻して確かめます。2年前は父20歳、子5歳で、20は5の4倍です。8年後は父30歳、子15歳で、30は15の2倍です。差は2年前も現在も8年後も15歳で、過去から未来への増加もそれぞれ10歳です。二つの倍数と時点の両方を確かめると、計算の途中で片側の年数を落とした間違いにも気づけます。

標準例題：異なる区画を同じ差に直す

【問題】姉と妹の満年齢を考えます。3年前、姉の年齢は妹の3倍でした。7年後、姉の年齢は妹の5/3倍になります。各時点の年齢は経過年数と同じだけ増えます。現在の姉と妹の年齢を、それぞれ整数で求めてください。

3年前から7年後までは3 + 7 = 10年です。3年前の妹を1区画とすると、姉は3区画、差は2区画です。7年後の妹を3区画とすると、姉は5区画、差は2区画です。

それぞれの図の差が2区画で、しかも実際の年齢差は同じです。そこで両方の図の1区画を同じ長さにできます。妹は過去の1区画から未来の3区画に増えていますから、2区画が10歳です。1区画は10 ÷ 2 = 5歳です。

3年前の妹は5歳、姉は15歳です。現在はそれぞれ3歳増え、妹8歳、姉18歳となります。7年後は妹15歳、姉25歳です。25 ÷ 15 = 5/3で未来の条件を満たし、3年前も15 ÷ 5 = 3です。どの時点でも差は10歳です。

分数の倍数を使うときは、5/3倍を「妹が3区画、姉が5区画」と読みます。分母の3を年下、分子の5を年上に対応させるのが要点です。二つの図で差の区画数が異なる場合は、差の区画数をそろえてから年下の増加を読み取ります。

発展例題：差の区画数をそろえて比較する

【問題】兄と弟の満年齢について、4年前の兄と弟の年齢の比は7対3でした。6年後には兄の年齢が弟の2倍になります。各時点の年齢は経過年数と同じだけ増えます。現在の兄と弟の年齢を整数で求めてください。

4年前の比をそのまま図にすると、兄は7区画、弟は3区画で、差は4区画です。6年後は兄が弟の2倍なので、差は弟の年齢と等しくなります。差を4区画とするため、未来の弟を4区画、兄を8区画と描きます。

二つの時点で差を同じ4区画にそろえました。弟は3区画から4区画へ増え、増加は1区画です。4年前から6年後までは4 + 6 = 10年ですから、1区画は10歳です。4年前の弟は30歳、兄は70歳です。現在は弟34歳、兄74歳です。

表に戻すと、4年前は兄70歳と弟30歳で比は7対3、6年後は兄80歳と弟40歳で2倍です。年齢差は各時点で40歳、過去から未来への増加は両方とも10歳です。実際の親族の年齢として思い込みで判断せず、問題で与えられた条件を満たすかを確認します。

分かれ目は、各時点の差が何区画かです。差の区画数が最初から一致すれば標準例題のように比較できます。一致しなければ、過去と未来のそれぞれの区画を分けたりまとめたりして差を同じ数の区画にします。その際、同じ図の中では兄と弟の区画を同じ倍率で変えます。

時点を進めても年齢差が変わらない一方、倍数は変わります。年下の年齢が増えるほど、一定の差は年下の年齢に対して小さくなるからです。年上が年下より年を取っている条件で、未来の倍数の方が過去より大きいとされた場合、年齢が正で経過年数も正なら条件を満たせません。数字を無理に計算する前に、条件の向きも点検します。

誤答を時点の線に戻す

基本例題で、2年前から8年後までを8年と数えたとします。差をそろえる考え方自体は同じでも、子の増加2区画を8年としてしまい、1区画を4歳とします。そこから現在の子を6歳、父を18歳と答えるのが誤答です。

図3のように、2年前から現在までの2年を飛ばしたことが原因です。現在を境に二つの区間を書き、両方を足して10年に直します。正しい増加を使えば1区画は5歳になり、現在の子7歳、父22歳に修正できます。

誤答を場面に戻すと、2年前は子4歳、父16歳で4倍という条件には合います。しかし8年後は子14歳、父26歳で、父は子の2倍ではありません。一方の条件に合った時点で検算を終えず、もう一方の時点と差も確かめます。

別の誤りは、過去の差3区画を未来にも加えてしまうことです。差は増えた年齢ではありません。二人の線分の右端の隔たりを表しており、時間が過ぎても同じ長さです。年下の線分どうしを比べて増加を読み取り、その増加と経過年数を対応させます。

練習：時点と差を整理する5問

いずれも二人の満年齢は、各時点の間で経過年数と同じだけ増えるものとします。答えは指定された時点の整数の年齢です。

1. 母と子について、1年前の母は子の5倍、7年後の母は子の3倍です。現在の二人の年齢をそれぞれ求めてください。
2. 叔父と子について、2年前の叔父は子の3倍、10年後の叔父は子の2倍です。現在の二人の年齢をそれぞれ求めてください。
3. 父と娘について、5年前の父と娘の年齢の比は5対1、5年後は3対1です。現在の二人の年齢をそれぞれ求めてください。
4. 祖父と孫について、3年前の祖父と孫の年齢の比は9対1、9年後は5対1です。現在の二人の年齢をそれぞれ求めてください。
5. 姉と弟について、2年前の姉と弟の年齢の比は4対1、7年後は5対2です。7年後の二人の年齢をそれぞれ求めてください。

練習の答えとたどり方

1. 過去の差は子の4区画、未来の差は子の2区画です。差を4区画にそろえると、子は1区画から2区画へ増えます。経過は1 + 7 = 8年なので1区画は8歳です。1年前は子8歳、母40歳、現在は子9歳、母41歳です。7年後は子16歳、母48歳で3倍になり、差はどちらの時点も32歳です。

2. 過去の差は子の2区画、未来の差は子の1個分です。差をそろえると子は1区画から2区画へ増えます。2 + 10 = 12年が1区画です。2年前は子12歳、叔父36歳、現在は子14歳、叔父38歳です。10年後は子24歳、叔父48歳で2倍です。差は24歳のままです。

3. 5年前の差は娘4区画です。5年後の比3対1では差が娘2区画なので、差を4区画にすると娘は2区画です。娘は1区画から2区画へ増え、その1区画は5 + 5 = 10歳です。5年前は娘10歳、父50歳、現在は娘15歳、父55歳です。5年後は娘20歳、父60歳で3対1、差は両時点とも40歳です。

4. 3年前の差は孫8区画です。9年後は差が孫4区画なので、同じ差にそろえると孫は2区画です。孫の増加1区画は3 + 9 = 12歳です。3年前は孫12歳、祖父108歳、現在は孫15歳、祖父111歳です。9年後は孫24歳、祖父120歳で5対1です。差は96歳で変わりません。

5. 2年前は姉4区画、弟1区画で差は3区画です。7年後は姉5区画、弟2区画で差は同じ3区画です。弟は1区画増え、2 + 7 = 9年が1区画に当たります。7年後の弟は18歳、姉は45歳です。2年前に戻すと弟9歳、姉36歳で4対1、差はどちらも27歳です。求められた時点は現在ではなく7年後なので、18歳と45歳を答えにします。

覚えておくこと

過去から未来までの経過年数は、現在までと現在から先を足します。 二人が同じ年数だけ年を取ると、年齢差は変わりません。 各時点の線分図で年齢差の区画をそろえて、同じ人の増加を読みます。 求める時点へ移し、二つの条件と年齢差に戻して確かめます。

どこで止まったかを見分ける

お子さまが答えを出せないときは、最初に時点の線だけを書いてもらいます。過去から未来までの区間が片方しかないなら、現在を通る二つの区間に分けて数え直します。時点は正しいのに図が進まない場合は、倍数から年齢差が何区画になるかを、一方の時点ずつ確かめます。

個別指導で見る箇所は、数字を式へ入れる速さより、図の区画が誰の何歳を示すかの説明です。差をそろえた後に同じ人の増加を指せるか、答えを指定された時点へ移せるかも確認します。年齢差を橋にすると、離れた二つの時点が一本のつながりになります。