中学受験の算数 年齢算の現在—変わらない年齢差を今と将来の線分図に置く｜武蔵野個別指導塾

二人に同じ年数を足しても年齢差は変わりません。今の比と将来の倍数を線分で結び、求めた年齢をそれぞれの時点へ戻して確かめます。

よくあるのは、将来の年齢を考えるとき、小学生が二人の年齢差にもたった年数を足してしまう場面です。年上の人も年下の人も年を重ねるので、差も広がりそうに見えます。しかし、同じ期間に二人が増える年齢は同じです。増えた分を両方から取り除くと、残る隔たりは今と変わりません。

年齢を一本ずつの線分で表し、同じ時点の線分の端をそろえると、その隔たりが見えます。ここでは二人の現在の年齢と、何年後かの倍数の関係を行き来します。問題の年齢は、示した時点での満年齢とし、指定された年数がたつと二人の満年齢がそれぞれその年数だけ増えるものとします。

どの時点の関係を読むか

第一の型は、現在の年齢と、将来何倍になるかが与えられ、何年後かを求める問いです。例えば今の差がわかれば、将来の倍数から、そのときの年下の年齢が決まります。将来の年齢と現在の年齢の差が、たつ年数です。

第二の型は、現在の年齢の比と、何年後の倍数が与えられ、今の年齢を求める問いです。現在の比の一目盛りと将来の倍数の一目盛りは、同じ大きさとは限りません。両方の図に共通する年齢差を手がかりに、目盛りを対応させます。

第三の型は、将来の倍数と現在の差、または和を使う問いです。差と倍数から将来の二人の年齢を決めた後、現在へ戻します。和が与えられたら、二人が増える年齢の合計も考えます。和は時間とともに増えますが、差は増えません。どちらを使うかは、問題で与えられた量を見て決めます。

どの型でも、まず「今」「何年後」を書き分け、求めるものに印をつけます。今の年齢を聞かれているのに将来の年齢で止まると、途中の計算が正しくても答えは違います。逆に何年後かを聞かれた場合は、将来の年齢を求めることが途中の仕事です。

二本の線に残る差

図1のように、現在の二人を同じ左端から描きます。年上の線が年下の線より長い部分が年齢差です。将来は二人の線に同じ長さを足すので、右端どうしの隔たりはそのままです。図の線は年齢に比例する長さで、増加分も二人とも同じ長さです。

図1では今の年下が10歳、年上が30歳で、差は20歳です。5年後は15歳と35歳で、差はやはり20歳です。これは一組の数の検算ですが、理由は数の偶然ではありません。二人に同じ年数を足すと、年上に足した分と年下に足した分がつり合い、もとの差が残るからです。

倍数を線分に置くときは、基準になる年下の年齢を等しい長さに区切ります。年上が年下の3倍なら、年下を1本分、年上を同じ長さの3本分と見ます。二人の差は3本分全体ではなく、重なった1本分を除いた2本分です。差が20歳なら1本分は10歳と求められます。

ここでの「1本分」は、その時点の年下の年齢です。今の1本分と将来の1本分に同じ印をつけても、年下本人は年を重ねますから長さは変わります。名前が同じでも中身が違う目盛りを、そのまま足したり引いたりしないことが大切です。共通しているのは目盛りの長さではなく、二人の差です。

満年齢は誕生日の前後で変わります。実際の暦を細かく読む問題では基準日や誕生日の条件が必要ですが、ここでの問題は、指定された年数がたつと二人ともその年数だけ増える設定です。同じ時点で比べるという約束があるから、差を保存できます。

基本例題：将来の年齢から今へ戻る

父と子の現在の満年齢の比は4:1で、6年後には父の年齢が子の年齢の2倍になります。父と子の現在の満年齢を、それぞれ整数で答えなさい。指定の6年で二人とも6歳ずつ年を取るものとします。

図2のように、現在の子の年齢を1目盛りとすると、父は4目盛りです。差は4目盛りから1目盛りを除いた3目盛りです。6年後の子の年齢を別の目盛りで表すと、父はその2倍なので、差は将来の子の年齢1人分です。

今の差と6年後の差は同じです。そのため、6年後の子の年齢は、現在の子の年齢の3目盛り分に当たります。一方、現在の子から6年後の子までは6歳増えます。今の1目盛りから3目盛りへ増えた2目盛りが6歳です。

6 ÷ 2 = 3歳（現在の1目盛り）

子は3歳、父は3 × 4 = 12歳です。年齢差は12 − 3 = 9歳です。6年後は子が3 + 6 = 9歳、父が12 + 6 = 18歳となり、18 ÷ 9 = 2です。差も18 − 9 = 9歳で、現在と一致します。答えは父12歳、子3歳です。

6年を差に足して15歳とすると、6年後の年齢差が変わってしまいます。父も子も6歳増えるので、年上側の増加だけを差に足すことはできません。また、現在の比4:1を6年後にもそのまま当てはめるのも誤りです。両方に同じ数を足しても比は通常変わります。実際に12:3は4:1ですが、18:9は2:1です。

標準例題：差から将来の基準を決める

姉は今24歳、妹は今8歳です。姉の満年齢が妹の満年齢の2倍になるのは何年後ですか。整数の年数で答え、二人とも同じ年数だけ年を取るものとします。

現在の差は24 − 8 = 16歳です。将来の妹を1本分と描くと、姉は2本分です。差は1本分ですから、そのときの妹は16歳です。現在の妹は8歳なので、16 − 8 = 8年後です。

姉にも同じ8年を足すと32歳、妹は16歳です。32 ÷ 16 = 2で、32 − 16 = 16歳です。答えは8年後です。姉の年齢からも32 − 24 = 8年と戻れます。両方が同じ年数になることが、場面に戻した確認です。

差が倍数の図の何本分に当たるかは、倍数によって変わります。3倍なら差は2本分、4倍なら差は3本分です。どの場合も、年上の全体から年下と重なる1本分を引いて考えます。「差を倍数で割る」と覚えると、2倍のときに16 ÷ 2としてしまいます。何本分の差なのかを図に戻してください。

発展例題：和も二人分増える

兄と弟の現在の満年齢の差は12歳、和は20歳です。何年か後に兄の年齢が弟の年齢の2倍になります。それは何年後ですか。整数の年数で答え、二人とも同じ年数だけ年を取るものとします。

将来の弟を1本分、兄を2本分とすると、差の1本分が12歳です。したがって、そのとき弟は12歳、兄は24歳で、和は36歳です。現在の和は20歳なので、和は36 − 20 = 16歳増えます。二人に同じ年数が加わるため、和の増加16歳は経過した年数の2人分です。

16 ÷ 2 = 8年後

別の確かめ方として、現在の和20歳から差12歳を除くと、弟の年齢2人分が残ります。20 − 12 = 8歳、8 ÷ 2 = 4歳です。兄は4 + 12 = 16歳です。8年後は弟12歳、兄24歳で、和36歳、差12歳、倍数2倍の条件に戻ります。

和の増加16歳をそのまま年数とすると、二人それぞれに16歳を足すことになり、和は32歳も増えてしまいます。和が何人分の増加を含むかを明示すると、2で割る理由が見えます。この問題は差から将来を先に決めましたが、現在の和と差から今の年齢を先に求めても、同じ答えに着きます。

条件が変わると、将来にその倍数になるとは限りません。例えば現在の年上がすでに年下の2倍より小さい場合、同じ年数を足しても差は一定で、年下の年齢は増えます。差が年下の年齢と等しくなる将来はありません。今ちょうど2倍なら、求める時点は今です。「何年後」に0年を含むかを問題の指定に合わせます。計算結果が負の年数になった場合も、指定された将来の答えにはできません。

整数年後と指定されているとき、計算した年数が整数でなければ、その条件を満たす整数年後はありません。年齢の差を倍数の目盛りに分けたときに割り切れない場合も、近似して満年齢を作らず、指定された整数の条件と照合します。年上と年下を逆に置いたり、年齢が負になったりする答えも場面に合いません。

誤答を線分で直す

基本例題で、現在の差を正しく9歳と求めた後、「6年後の差は9 + 6 = 15歳」とする誤答を考えます。図3のように、父にも子にも6歳分が加わります。増えた部分どうしは同じ長さなので、両端の差は9歳のままです。

誤りの原因は、父の増加だけを見て、子の増加を差から引いていないことです。父側に6歳を加えたら、子側にも6歳を加えます。差を計算するときは、父の増加6歳から子の増加6歳を差し引くので、差の増加は0歳です。6年後の18歳と9歳を直接引いても9歳と確かめられます。

もう一つの誤りは、現在の父と6年後の子を比べて差を出すことです。それぞれ違う時点の値なので、二人の年齢差とは呼べません。線分の横に「今」「6年後」と書き、同じ行の二人を比べ直します。図3は基本例題の値を使っていますが、差が変わらない理由は、同じ年数の増加を両方に描くことにあります。

練習問題

次の各問では、指定された年数の間に二人の満年齢がそれぞれその年数だけ増えるものとします。答えの単位と形を確認してから、図や表に整理してください。

1. 母は今35歳、子は今11歳です。母が子の2倍になるのは何年後ですか。整数の年数で答えなさい。
2. 祖父は今56歳、孫は今8歳です。祖父が孫の3倍になるのは何年後ですか。整数の年数で答えなさい。
3. 父と娘の現在の年齢の比は5:2です。4年後に父が娘の2倍になります。現在の満年齢をそれぞれ整数で答えなさい。
4. 叔母と姪の現在の年齢差は18歳、年齢の和は30歳です。叔母が姪の2倍になるのは何年後ですか。整数の年数で答えなさい。
5. 二人は今それぞれ18歳と10歳です。年上が年下の2倍になる時点は、今から後にありますか。ある場合は整数の年数、ない場合は「ない」と答えなさい。

練習の答えと戻して確かめる手順

1. 差は35 − 11 = 24歳です。2倍になるときは差が子の年齢と等しいので、子は24歳です。24 − 11 = 13年後。母は48歳、子は24歳になり、48 ÷ 24 = 2、差は24歳です。答えは13年後です。

2. 差は56 − 8 = 48歳です。3倍になるとき、差は孫の年齢の2本分なので、孫は48 ÷ 2 = 24歳です。24 − 8 = 16年後。祖父は72歳、孫は24歳で、72 ÷ 24 = 3、差は48歳です。答えは16年後です。

3. 現在の娘を2目盛り、父を5目盛りとすると差は3目盛りです。4年後の2倍の図では、差は娘の年齢1人分です。そのため4年後の娘は現在の3目盛り分で、現在の2目盛りからの増加1目盛りが4歳です。娘は4 × 2 = 8歳、父は4 × 5 = 20歳です。4年後は12歳と24歳で2倍、差は現在も将来も12歳です。答えは父20歳、娘8歳です。

4. 将来の2倍の図では、差18歳が姪の年齢1人分です。そのとき姪18歳、叔母36歳で和は54歳です。現在の和との差は54 − 30 = 24歳、二人分の増加なので24 ÷ 2 = 12年後です。現在は姪が(30 − 18) ÷ 2 = 6歳、叔母が24歳です。12年後は18歳と36歳で、差18歳、和54歳、倍数2倍です。答えは12年後です。

5. 差は18 − 10 = 8歳です。2倍になるには年下の年齢が差と同じ8歳である必要があります。今すでに10歳で、今から後はさらに増えるため、その時点はありません。例えば1年後も19歳と11歳で差は8歳、年下の11歳は差より大きいままです。これは一例の確認であり、今後も年下の年齢が増え続けることが、存在しない理由です。

覚えておくこと

• 同じ年数がたつ二人の年齢差は変わりません。
• 倍数の図では、年齢差が年下の年齢の何本分かを数えます。
• 今と将来の目盛りの大きさを混同せず、差を通して結びます。
• 求めた年齢や年数を二人の各時点に戻し、比・差・和を確かめます。

どこで止まっているかを見分ける

お子さまが答えを間違えたときは、計算だけをやり直す前に、今と将来の二本ずつの線を指してもらいます。差が変わると説明するなら、二人に同じ長さを足した後の端を見比べます。差は言えるのに倍数から年齢を出せないなら、年上の線のうち年下と重なる部分と、残る差を分けます。

個別指導では、途中の数字に「今の子」「将来の父」「差」のような意味を添え、求める時点まで戻せているかを確かめます。和を使う問題なら、経過年数が二人分あることを図か表で説明できるかも見ます。答えが条件に戻るところまでたどると、年齢差の線分は計算の根拠になります。