大学入試数学 相加相乗平均の平行移動—一次式を新しい正の変数に直して制約を戻す｜武蔵野個別指導塾

x-2 のような一次式を t と置くと、x の範囲が t の符号に置き換わります。分母の零点を外し、等号の点を x に戻して値を確かめる手順が平行移動です

x が 2 より大きいとき、x + 1/(x-2) の最小値を求める。この式を前にして x − 2 を t と置き、t + 1/t に相加相乗平均を当てたものの、t が正になる範囲を確かめないまま答案を閉じる。自習中の高2から高3の本人に多い場面です。置換そのものは正しくても、x の範囲と t の符号の対応が抜けると、等号の点が元の条件を満たすかを最後まで追えません。ここでは、一次式を新しい正の文字に直し、評価してから元の x に戻すまでの運びを、一行ごとの根拠つきで組み立てます。

問われる形と使う道具

x > c のとき x + k/(x-c)（k > 0）の最小値を求める形が基本です。c は定数で、分母が 0 になる点を原点から右へずらした形になっています。この形では x − c を新しい文字 t に置き換えると、式が t + k/t という見慣れた形になります。k が 1 なら t + 1/t、k が 4 なら t + 4/t です。

二つ目の形は、x < c の範囲で聞かれるものです。このとき 1/(x-c) は負になり、同じ置き換えでは相加相乗平均をそのまま当てられません。符号を反転した s = c − x > 0 を作ると、問われる値は最大値に切り替わります。

三つ目の形は、(二次式)/(一次式) のように分子の次数が高い分数式です。割り算で分母と同じ一次式をくくり出すと、一次式の置換が使える形に戻ります。文字 a を含む式では、a の符号によって √ の値と等号の位置が変わるため、条件を先に確認します。

どの形でも使う道具は同じです。a > 0、b > 0 のとき a + b ≥ 2√(ab) が成り立ち、等号は a = b のときに限って成り立ちます。(√a − √b)² ≥ 0 を展開すれば a + b − 2√(ab) ≥ 0 が出るので、この不等式は平方の非負性から従います。使う前に、足す二つの項がともに正であることを確かめます。置換が x の範囲と一対一に対応していることも、最後に元へ戻す段階で効きます。

置換と定義域の対応

t = x − c という置き換えを、範囲の言葉で見直します。x が c より大きい範囲を動くとき、t は 0 より大きい範囲を動きます。逆に、t が 0 より大きい値を取れば、x = t + c は c より大きい値を一つだけ決めます。行って戻れる対応なので、t の世界で最小値を与えた点は、そのまま x の世界の点に戻せます。この可逆性が、平行移動という見方の土台です。

図1のように、x の範囲と t の範囲は t = x − c で一対一に対応します。左の x の世界で x > c と言っていた条件は、右の t の世界では t > 0 と言い換えられます。この対応を書かずに式だけを置き換えると、t が負の場合まで同じ扱いにしてしまいます。

逆数の項も同じ対応で見ます。1/(x-c) = 1/t ですから、t > 0 のとき逆数も正です。t と 1/t の積は 1 で一定になり、和 t + 1/t は t = 1 のとき最小値 2 を取ります。k が付いた t + k/t なら、積が k で一定になり、t = √k のとき最小値 2√k を取ります。

グラフの位置で言うと、t + k/t の最小点は (√k, 2√k) です。これを x の言葉に戻すと、最小値は c + 2√k、取る点は x = c + √k になります。縦の漸近線 t = 0 は x = c へ移り、曲線の形は変わりません。式の形が同じままで位置だけが右へずれるので、この置き換えを平行移動と呼びます。移動した分の c は、評価の最後に必ず足し戻す対象になります。

定義域について二つ確認します。一つ目は、x = c では分母が 0 になるため、この点は範囲に含まれません。t = 0 も同じ理由で除外され、t > 0 という開いた範囲になります。二つ目は、等号を取る点がこの開いた範囲の内側にあるかどうかです。t = √k は k > 0 なら正なので内側にあり、x = c + √k も c より大きくなります。この確認を書いておくと、端点や除外点の扱いで迷いません。

評価の向きも整理します。式全体が A 以上であることを示しただけでは、A が最小値とは限りません。A に等しくなる組が範囲の中に実在して、初めて A が最小値になります。逆に、式全体が B 以下であることを示しただけでは、B が最大値とは限りません。上界と下界の証明と、その値を取る組の存在は、別々に示します。

基本の例題

例題1（基本）

x > 2 のとき、f(x) = x + 1/(x-2) の最小値を求めよ。また、そのときの x の値を求めよ。

x の範囲を先に書きます。x > 2 です。t = x − 2 と置くと、x > 2 より t > 0 です。逆に t > 0 なら x = t + 2 > 2 なので、この置換は x > 2 の範囲をそのまま t > 0 の範囲に写します。

t = x - 2 と置く（x > 2 より t > 0）
x = t + 2
f(x) = (t + 2) + 1/t = t + 1/t + 2
t > 0 より t + 1/t ≥ 2√(t・1/t) = 2
f(x) ≥ 2 + 2 = 4
等号は t = 1/t すなわち t = 1 のとき（t > 0 を満たす）
x = 1 + 2 = 3
f(3) = 3 + 1/(3-2) = 4

三行目は置換した式への代入です。四行目が相加相乗平均で、t と 1/t がともに正であることを直前の t > 0 が保証しています。五行目は両辺に 2 を足しただけで、この 2 が平行移動の分です。六行目が等号の条件で、t² = 1 から t = 1 を選ぶのは t > 0 のためです。七行目で逆写像 x = t + 2 を使い、八行目で元の式に戻して値を確かめています。

したがって、最小値は 4 で、x = 3 のときに取ります。等号の点が x > 2 を満たすことも確認済みです。

確かめとして、t の世界で 2 だった値に、置換で足した 2 が加わって 4 になっています。この足し戻しを忘れると、答えを 2 としてしまいます。また、t = 1 をそのまま x = 1 と書くと、x > 2 を満たさない点を答えにしてしまいます。値そのものより、どの世界の数を書いているのかを意識することが大切です。

図2は、この例題の流れを三つの枠にまとめたものです。x > 2 という条件が t > 0 に変わり、t = 1 のときに x = 3 で最小値 4 を取る、という対応を順に確かめてください。

標準と発展の例題

例題2（標準）

x < 2 のとき、f(x) = x + 1/(x-2) の最大値を求めよ。また、そのときの x の値を求めよ。

x < 2 より t = x − 2 < 0 です。このままでは t + 1/t に相加相乗平均を使えません。そこで s = 2 − x と置きます。x < 2 より s > 0 で、x = 2 − s です。この置き換えも、x < 2 の範囲と s > 0 の範囲を一対一に対応させます。

f(x) = (2 − s) + 1/(-s) = 2 − s − 1/s = 2 − (s + 1/s)

s > 0 だから s + 1/s ≥ 2 です。両辺を -1 倍すると -(s + 1/s) ≤ -2 となり、f(x) ≤ 2 − 2 = 0 です。不等号の向きが反転するのは、負の数を掛けたためです。

等号は s = 1/s のとき、s > 0 より s = 1 です。このとき x = 2 − 1 = 1 で、x < 2 を満たします。f(1) = 1 + 1/(1-2) = 1 − 1 = 0 なので、最大値は 0 で、x = 1 のときに取ります。

この範囲には最小値がありません。x を 2 に左から近づけると、1/(x-2) は負の向きにいくらでも小さくなり、f(x) もいくらでも小さくなります。聞かれているのが最大値である理由を、範囲の形から読み取ってください。同じ式でも、x > 2 なら最小値、x < 2 なら最大値というように、範囲が答えの種類を決めます。

ここで大切なのは、置換の前に符号を決めることです。t < 0 のまま「t + 1/t ≥ 2」と書くと、x = 1 のとき t = -1 で t + 1/t = -2 となり、たちまち反例になります。符号を反転した s を作れば、二つの項がともに正になり、同じ不等式を正しい向きで使えます。

例題3（やや難）

x > 2 のとき、g(x) = x²/(x-2) の最小値を求めよ。また、そのときの x の値を求めよ。

分子の次数が分母より高いので、まず割り算をします。x² を x − 2 で割ると、商が x + 2、余りが 4 です。

x² = (x − 2)(x + 2) + 4

両辺を x − 2 で割ると、次の形になります。

g(x) = x + 2 + 4/(x-2)

ここで t = x − 2 と置きます。x > 2 より t > 0 で、x = t + 2 です。

g(x) = (t + 2) + 2 + 4/t = t + 4/t + 4

t > 0 だから t + 4/t ≥ 2√(t・4/t) = 2√4 = 4 です。よって g(x) ≥ 4 + 4 = 8 です。

等号は t = 4/t のとき、すなわち t² = 4 のときです。t > 0 より t = 2 で、x = 2 + 2 = 4 です。x > 2 を満たします。g(4) = 16/(4-2) = 8 なので、最小値は 8 で、x = 4 のときに取ります。

別の運びも確かめます。t = x − 2 を先に置いて x = t + 2 とし、g(x) = (t + 2)²/t = (t² + 4t + 4)/t = t + 4 + 4/t としても同じ式になります。割り算を先にするか、代入を先にするかの違いで、どちらも分母と同じ一次式をくくり出す操作です。割り算の検算は、商と除数を掛けて余りを足し、元の分子に戻ることで行います。(x + 2)(x − 2) + 4 = x² − 4 + 4 = x² となり、一致します。

例題4（難）

a > 0 とする。x > 1 のとき、h(x) = x + a²/(x-1) の最小値を求めよ。また、そのときの x の値を a で表せ。

t = x − 1 と置きます。x > 1 より t > 0 で、x = t + 1 です。

h(x) = (t + 1) + a²/t = t + a²/t + 1

t > 0 だから t + a²/t ≥ 2√(t・a²/t) = 2√(a²) です。a > 0 なので √(a²) = a となり、右辺は 2a です。よって h(x) ≥ 1 + 2a です。

等号は t = a²/t のとき、すなわち t² = a² のときです。t > 0、a > 0 より t = a で、x = 1 + a です。x > 1 を満たします。h(1 + a) = (1 + a) + a²/a = 1 + a + a = 1 + 2a なので、最小値は 1 + 2a で、x = 1 + a のときに取ります。

a > 0 という条件は、√(a²) を a と書くために効いています。a < 0 なら √(a²) = -a なので、正しい下界は 1 − 2a です。等号の点も t = -a に変わり、x = 1 − a になります。a の符号を確かめずに √(a²) = a と書くと、t = a が正でないために取れない値を最小値として答えてしまいます。どちらの符号でも t > 0 の内側に等号の点はありますが、その位置と式の値は符号で変わります。

a = 0 の場合も見ておきます。このとき h(x) = x となり、x > 1 の範囲で値は 1 にいくらでも近づきますが、1 そのものは取りません。したがって最小値は存在しません。a > 0 を外すと答えの形が変わるので、文字定数を含む問題では、条件を答案の最初に写すところから始めます。

よくある誤りと直し方

置換した文字の符号を確かめない

x < 2 の範囲で t = x − 2 と置き、そのまま t + 1/t ≥ 2 と書いてしまう誤りです。x = 1 なら t = -1 で、t + 1/t = -1 − 1 = -2 となり、2 以上という結論は成り立ちません。破綻する条件は t < 0 です。相加相乗平均は二つの項がともに正のときにだけ使えます。

直し方は、置換の直後に t の符号を書くことです。x < c なら s = c − x > 0 と置き直し、式を -s で書き換えます。図3のように、数直線を c で二つに分け、右側だけが t > 0 になることを目で確かめてから計算に入ります。

平行移動の分を足し戻さない

t + 1/t ≥ 2 から最小値 2 と答える誤りです。元の式は t + 1/t + 2 なので、最小値は 4 です。破綻の原因は、置換で加わった定数 c を評価の後に落としていることです。

直し方は、x = t + c という関係を答案の最後まで保持することです。評価のたびに元の式の形に戻し、定数が残っているかを確かめます。例題1なら、t の世界の 2 に 2 を足して 4 になる、という一文を入れておけば落ちません。

等号の点を元の変数に戻さない

t = 1 をそのまま x = 1 と書く誤りです。正しくは x = t + 2 = 3 です。破綻の原因は、逆写像 x = t + c の適用を飛ばしていることです。t = 1 は t の世界の点であって、x の世界の点ではありません。

直し方は、等号の t を x に戻し、元の範囲を満たすかを確かめてから値を代入することです。x = 3 は x > 2 を満たすので、答えとして採用できます。

定義域の端点を含めてしまう

t ≥ 0 と書いて t = 0 を含める誤りです。t = 0 は x = c に対応し、分母が 0 になります。破綻するのは、分母が 0 になる点を範囲に含めたときです。

直し方は、t > 0、x > c と開いた範囲で書くことです。等号の点がこの開いた範囲の内側にあるかを、答案の最後にもう一度確かめます。

練習問題

次の五問を、最小値または最大値と、そのときの x の値まで求めてください。答えは次の節にまとめてあります。

1. x > 4 のとき、f(x) = 2x + 8/(x-4) の最小値を求めよ。また、そのときの x の値を求めよ。
2. x < 1 のとき、f(x) = x + 4/(x-1) の最大値を求めよ。また、そのときの x の値を求めよ。
3. x > 1 のとき、f(x) = (x² + 3)/(x-1) の最小値を求めよ。また、そのときの x の値を求めよ。
4. x > 0 のとき、f(x) = x + 9/(x+1) の最小値を求めよ。また、そのときの x の値を求めよ。
5. x > 0 のとき、f(x) = (x² + 4x + 5)/(x+1) の最小値を求めよ。また、そのときの x の値を求めよ。

練習問題の答えと解き方

1

t = x − 4 と置きます。x > 4 より t > 0 で、x = t + 4 です。

f(x) = 2(t + 4) + 8/t = 2t + 8/t + 8

2t > 0、8/t > 0 だから、相加相乗平均より 2t + 8/t ≥ 2√(2t・8/t) = 2√16 = 8 です。よって f(x) ≥ 16 です。

等号は 2t = 8/t のとき、すなわち 2t² = 8、t² = 4 のときです。t > 0 より t = 2 で、x = 6 です。x > 4 を満たします。

f(6) = 2・6 + 8/(6-4) = 12 + 4 = 16

答えは、最小値 16、x = 6 のときです。

2

x < 1 より s = 1 − x > 0 と置きます。x = 1 − s です。

f(x) = (1 − s) + 4/(-s) = 1 − s − 4/s = 1 − (s + 4/s)

s > 0 だから s + 4/s ≥ 2√(s・4/s) = 4 です。両辺を -1 倍して f(x) ≤ 1 − 4 = -3 です。

等号は s = 4/s のとき、s² = 4、s > 0 より s = 2 です。x = 1 − 2 = -1 で、x < 1 を満たします。

f(-1) = -1 + 4/(-1-1) = -1 − 2 = -3

答えは、最大値 -3、x = -1 のときです。この範囲に最小値はありません。x を 1 に左から近づけると f(x) はいくらでも小さくなります。

3

t = x − 1 と置きます。x > 1 より t > 0 で、x = t + 1 です。

x² + 3 = (t + 1)² + 3 = t² + 2t + 1 + 3 = t² + 2t + 4

f(x) = (t² + 2t + 4)/t = t + 2 + 4/t

t > 0 だから t + 4/t ≥ 2√(t・4/t) = 4 です。よって f(x) ≥ 2 + 4 = 6 です。

等号は t = 4/t のとき、t² = 4、t > 0 より t = 2 です。x = 3 で、x > 1 を満たします。

f(3) = (9 + 3)/(3 − 1) = 12/2 = 6

答えは、最小値 6、x = 3 のときです。

4

t = x + 1 と置きます。x > 0 より t > 1 です。x = t − 1 です。

f(x) = (t − 1) + 9/t = t + 9/t − 1

t > 0 だから t + 9/t ≥ 2√(t・9/t) = 2√9 = 6 です。よって f(x) ≥ 6 − 1 = 5 です。

等号は t = 9/t のとき、t² = 9、t > 0 より t = 3 です。t = 3 は t > 1 を満たします。x = 2 で、x > 0 を満たします。

f(2) = 2 + 9/(2 + 1) = 2 + 3 = 5

答えは、最小値 5、x = 2 のときです。この問題では t の範囲が t > 0 ではなく t > 1 になるので、等号の t = 3 がこの範囲の内側にあることを確かめます。

5

t = x + 1 と置きます。x > 0 より t > 1 です。x = t − 1 です。

x² + 4x + 5 = (t − 1)² + 4(t − 1) + 5 = t² − 2t + 1 + 4t − 4 + 5 = t² + 2t + 2

f(x) = (t² + 2t + 2)/t = t + 2 + 2/t

t > 0 だから t + 2/t ≥ 2√(t・2/t) = 2√2 です。よって f(x) ≥ 2 + 2√2 です。

等号は t = 2/t のとき、t² = 2、t > 0 より t = √2 です。√2 > 1 なので t > 1 を満たします。x = √2 − 1 で、√2 > 1 より x > 0 を満たします。

最後に、この x で元の式の値が 2 + 2√2 になることを確かめます。x + 1 = √2 だから、x² + 4x + 5 = (x + 1)² + 2(x + 1) + 2 = 2 + 2√2 + 2 = 4 + 2√2 です。分母は √2 なので、割ると (4 + 2√2)/√2 = 4/√2 + 2 = 2√2 + 2 です。一致します。

答えは、最小値 2 + 2√2、x = √2 − 1 のときです。

覚えておくこと

• x の範囲を先に書き、置換した文字の符号を決める。
• 分母の零点は範囲から外れ、x > c なら t > 0 になる。
• 1/(x-c) = 1/t なので、t と 1/t の積は 1 で一定になる。
• 評価の後は x = t + c で戻し、等号の点が元の範囲にあるか確かめる。
• 下界は達成する組を示して初めて最小値になる。

つまずきの見分け方

答えが 2 になったら、平行移動の分を足し戻したかを確認します。例題1なら、t の世界の最小値 2 に、置換で加わった 2 を足して 4 にします。答案に「t + 1/t + 2」の形が残っているかを見れば、どこで落としたかが分かります。

答えの x が 1 になったら、逆写像を通したかを確認します。t = 1 は t の世界の点で、x = t + 2 = 3 に直してから範囲を照合します。x の値だけを書いて範囲の確認を省いた答案は、この段階で止まっています。

x < 2 の範囲で同じ不等式を使っていたら、置換の符号から見直します。t = x − 2 が負になる区間では、s = 2 − x と置き直し、負の符号を外に出してから相加相乗平均を当てます。

個別の指導では、次の四つを順に言わせて確かめます。x の範囲、置換とその逆、二つの項が正である理由、等号の点が元の範囲にある理由です。この四つが揃えば、計算の途中で迷っても戻る場所があります。式変形の速さより、どの条件でどの不等式が使えるかを説明できるかを先に見ます。

置換の前後で範囲が対応しているかを見る。この一点を答案の最初に置くだけで、等号の点を戻す作業まで一本の線でつながります。