大学入試数学 最大値の期待値—値そのものの分布とある値以上の確率を対応させて求める｜武蔵野個別指導塾

5枚の札から3枚を引くとき、いちばん大きい番号の平均は、値ごとの確率を全部書き出さなくても出せます。ある値以上が出る確率を足し上げる近道が、最大値の裾の和です。

5枚から3枚を引くとき、いちばん大きい番号はいくつと見込めるか

番号の付いた札をまとめて引く場面を考えます。1 から 5 までの番号を書いた5枚の札をよく切り、3枚を同時に引きます。手元に残る3枚のうち、いちばん大きい番号を X とおくと、X は 3、4、5 のどれかです。

この X について聞かれることは、大きく三つに分かれます。第一に、X の平均、つまり期待値を求める問いです。第二に、X が 4 以上になる確率のように、ある値以上になる確率を求める問いです。第三に、X の分布表を作り、そこから期待値まで進む問いです。

三つは別の計算に見えますが、根は同じです。最大値がちょうど j である確率と、最大値が j 以上である確率を、いつでも行き来できるようにしておく。この行き来ができると、期待値は「j 以上になる確率を、端から順に足す」だけで出ます。

端でつまずく人が多くいます。3枚引けば最大値は必ず 3 以上なので、k が 1、2、3 のとき、最大値が k 以上になる確率は 1 です。この三つを「意味のある値ではない」と飛ばすと、期待値は実際より小さく出ます。以下の例題では、この端を一項ずつ書くことを繰り返します。

用語と考え方

確率変数と期待値

試行の結果に一つの数を対応させたものを確率変数といい、ここでは X のように大文字で書きます。X が値 j をとる確率を P(X=j) と書き、j を並べて P(X=j) を対応させたものが分布です。分布の確率を全部足すと 1 になります。

期待値 E[X] は、値とその確率を掛けて足したものです。X の取り得る値が有限個なら、E[X] = Σ[j] j・P(X=j) と書けます。Σ[j] は、X がとり得るすべての j について足すという意味です。値が有限個の場合だけを扱い、無限に続く和は使いません。

裾の確率

X が k 以上になる確率 P(X≥k) を、ここでは裾の確率と呼びます。分布の棒を右端から k の位置まで足したものだと考えるとイメージしやすいでしょう。最大値の期待値では、この裾の確率の方が分布より簡単に書けることが多く、計算の負担が大きく変わります。

たとえば5枚から3枚を引く例では、最大値が 3、4、5 になる確率はそれぞれ 1/10、3/10、6/10 です。これを右から足すと、4 以上になる確率は 9/10、5 以上になる確率は 6/10 になります。分布の列を足すと 1 ですが、裾の列は 1、9/10、6/10 と減っていきます。

表の右の列は、その行から下の確率を足したものです。最も小さい値の行では、下に足すものがなく、確率は 1 になります。分布の列を足すと 1 ですが、裾の列を足すと 4.5 になり、この 4.5 が期待値です。

裾の和で期待値が出る理由

X が 0 以上の整数値をとり、X ≤ n を満たすとします。このとき、次の等式が成り立ちます。

E[X] = Σ[k=1..n] P(X≥k)

証明は数え直しです。根元事象を一つ選び、その結果の値を x とします。1 ≤ k ≤ x を満たす整数 k は x 個あります。そこで、すべての根元事象について「1 ≤ k ≤ X を満たす k の個数」を足すと、値の合計 Σ x になります。

同じ足し算を k ごとにまとめると、k のそれぞれについて X ≥ k となる根元事象の個数を足したものになります。根元事象の個数で割れば、左辺は期待値、右辺は裾の確率の和です。有限個の和を入れ替えているだけなので、無限和の心配はありません。

分布の棒を縦に切って横に並べ替える、と説明しても同じです。値 j の棒は高さ P(X=j) で、横に j 個の区切りを持つと考えます。区切りごとに積み上げ直すと、k 段目の長さが P(X≥k) になります。図1は、5枚から3枚を引く場合の裾の確率を一段ずつ並べたものです。

図1のように、k が 1 から 3 までの三段は長さが 1 で、k が 4 で 0.9、k が 5 で 0.6 に短くなります。五段の長さを足すと 4.5 で、これが最大値の期待値です。端の三段を落とすと 1.5 になってしまい、最大値が 3 以上であるという当たり前の事実と食い違います。

使うときの条件

裾の和の等式を使う前に、三つを確かめます。値が 0 以上の整数であること、上限 n があること、そして k を 1 から n まで動かすことです。最大値のように下限が 0 でない値でも、k を 1 から数えて構いません。下限より小さい k では裾の確率が 1 になり、その 1 が下限の分をちょうど埋めます。

非復元抽出では、裾の確率は組合せで書けます。1 から n までの札から r 枚を同時に引くとき、最大値 X について P(X≥k) = 1 − C(k-1,r)/C(n,r) です。最大値が k 未満になるのは、引いた r 枚がすべて k-1 以下である場合で、その組は C(k-1,r) 通りあります。C(m,r) は m が r より小さいとき 0 と約束します。

復元抽出では、各回が独立なので P(X≥k) = 1 − ((k-1)/n) の r 乗です。1 から n までを何度でも選べるので、r 回すべてが k-1 以下になる確率は、1 回あたりの (k-1)/n を r 回掛けたものになります。

両者は k が小さいところでは同じ 1 になりますが、k が大きくなると値がずれます。式を取り違えると裾の和が少しずれて、期待値が半端にずれるので、どちらの抽出かを問題文から確かめます。

最大値が右に寄る理由

r 枚の最大値が小さい値になるには、r 枚すべてがその値以下でなければなりません。一方、最大値が大きい値になるには、その値以上の札が一枚でも混ざればよい。起こりやすさのこの非対称が、分布の右寄りの原因です。

5枚から3枚なら、最大値が 5 になる組は六つ、3 になる組は一つで、この差がそのまま確率の差になります。最大値の期待値が中央の 4 より大きくなるのは、この右寄りのためです。裾の確率でいえば、k が小さいうちは 1 のままで、k が下限に近づいてから急に減り始めます。

基本例題（標準）5枚から3枚を引く

問題: 1 から 5 までの番号を書いた5枚の札から、同時に3枚を引きます。引いた札の番号の最大値を X とするとき、X の分布と期待値を求めてください。答えは既約分数で答えてください。

方針: 最大値が j になるのは、j の札を必ず含み、残りの2枚を j より小さい札から選ぶ場合です。j を含め忘れると、最大値が j 以下になる場合を数えてしまいます。

解き方:

C(5,3) = 10
P(X=3) = C(2,2)/C(5,3) = 1/10
P(X=4) = C(3,2)/C(5,3) = 3/10
P(X=5) = C(4,2)/C(5,3) = 6/10
1/10 + 3/10 + 6/10 = 1
E[X] = 3・(1/10) + 4・(3/10) + 5・(6/10)
     = (3 + 12 + 30)/10
     = 45/10
     = 9/2

分布の合計が 1 になることを先に確かめました。次に裾の和で同じ値を出します。

P(X≥1) = 1
P(X≥2) = 1
P(X≥3) = 1
P(X≥4) = 1 - C(3,3)/10 = 9/10
P(X≥5) = 1 - C(4,3)/10 = 6/10
1 + 1 + 1 + 9/10 + 6/10 = 45/10 = 9/2

最初の三項は「必ず起こる」項です。3枚引けば最大値は 3 以上なので、k が 1、2、3 のときの裾の確率は 1 になります。意味のない項に見えても、期待値の 4.5 のうち 3 を担っているのはこの三項です。

図2は、十通りの組を最大番号で色分けしたものです。

図2のように、最大番号が 3 になる組は一つ、4 になる組は三つ、5 になる組は六つあります。組の数が多いほど確率が大きいので、最大値は 5 寄りに分布します。だから期待値 4.5 は、3 と 5 の真ん中である 4 より少し大きくなります。

標準例題（やや難）9枚から4枚を引く

問題: 1 から 9 までの番号札から同時に4枚を引きます。最大値を X とするとき、E[X] を求めてください。答えは整数で答えてください。

方針: 分布を九通り書くより、裾の確率を k の式で書いて足す方が速くなります。裾の式は k の値によらず同じ形なので、和の計算に持ち込めます。

解き方:

C(9,4) = 126
P(X≥k) = 1 - C(k-1,4)/126    (k = 1, 2, ..., 9)
E[X] = Σ[k=1..9] (1 - C(k-1,4)/126)
     = 9 - (C(0,4) + C(1,4) + ... + C(8,4))/126

ここで C(m,4) は m が 4 未満なら 0 です。分子の和は、5 個の数字を 1 から 9 までから選ぶ組の数に等しくなります。

C(0,4) + C(1,4) + ... + C(8,4) = C(9,5) = 126
E[X] = 9 - 126/126 = 8

和の変形を確かめます。1 から 9 までの五個の組を一つ選び、その最大の数を m+1 とします。残りの四個は 1 から m までから選ぶので、最大の数が m+1 である組は C(m,4) 通りです。m を 0 から 8 まで足すと、すべての五個の組を最大の数で分類したことになり、合計は C(9,5) です。

別解として、最大値より大きい番号の個数を数えます。9 − X は、引いた4枚のどれよりも大きい番号の個数です。9 − X が k 以上になる確率は P(X ≤ 9-k) なので、裾の和を逆向きに使うと次の式になります。

E[9-X] = Σ[m=0..8] P(X≤m)
       = (C(0,4) + C(1,4) + ... + C(8,4))/126
       = 126/126
       = 1
E[X] = 9 - 1 = 8

結果の確かめ: 期待値 8 は取り得る値 4 から 9 の範囲に入っています。また P(X≥8) = 1 − C(7,4)/126 = 91/126 で、七割を超える組が 8 以上の最大値を持ちます。最大値が大きい方へ寄る分布なので、8 という値は自然です。

この形は一般化できます。n 枚から r 枚を同時に引くとき、同じ計算で E[X] = n − C(n,r+1)/C(n,r) となり、組合せの比を整理すると次の式になります。

C(n,r+1)/C(n,r) = (n-r)/(r+1)
E[X] = n - (n-r)/(r+1)

この式に n = 5、r = 3 を入れると 5 − 2/4 = 9/2、n = 9、r = 4 を入れると 9 − 5/5 = 8 となり、さきほどの答えと一致します。引く枚数が増えるほど、最大値は上限 n に近づきます。

発展例題（難）最大値と最小値を一緒に見る

問題: 1 から 8 までの番号札から同時に3枚を引きます。最大値を X、最小値を Y とするとき、E[X] + E[Y] と E[X-Y] を求めてください。答えは既約分数で答えてください。

方針: 最大値と最小値を別々に裾の和で出し、最後に対称性で照合します。二つの値が同じ組から決まるので、片方を出せばもう片方も関係から決まります。

解き方:

E[X] = 8 - C(8,4)/C(8,3)
     = 8 - 70/56
     = 8 - 5/4
     = 27/4

最小値の裾は、3枚すべてが k 以上である確率です。k 以上の札は 9-k 枚あるので、その中から3枚を選びます。

P(Y≥k) = C(9-k,3)/C(8,3)
E[Y] = (C(8,3) + C(7,3) + ... + C(3,3))/56
     = (56 + 35 + 20 + 10 + 4 + 1)/56
     = 126/56
     = 9/4

和は 27/4 + 9/4 = 36/4 = 9 です。差は 27/4 − 9/4 = 18/4 = 9/2 です。

別解として対称性を使えます。札の番号 c を 9-c に置き換えると、3枚の組は別の3枚の組に一対一で移り、最大値は 9 から最小値を引いた値に移ります。したがって Y と 9-X の分布は同じで、E[Y] = 9 − E[X] がわかります。この関係から E[X] + E[Y] = 9 がすぐに出ます。

和が 9 になるのは偶然ではありません。n 枚から r 枚を同時に引くとき、番号を反転させる対応で、最小値は n+1 から最大値を引いた値に移ります。だから E[X] + E[Y] = n+1 がいつでも成り立ちます。8枚から3枚の例では 8+1 = 9 です。

確かめ: 3枚の組 56 通りのうち、最大値が j になる組は C(j-1,2) 通りで、j が 3 から 8 まで 1、3、6、10、15、21 となり、合計 56 になります。この分布から直接計算しても E[X] = 378/56 = 27/4 です。最小値の分布も C(8-k,2) 通りで 21、15、10、6、3、1 となり、合計 56 です。

誤答の実例と直し方

1 から 6 までの番号札から同時に2枚を引く問題で、最大値 X の期待値を求める答案を考えます。ある答案は、裾の確率を k が 3 から 6 までだけ足して、8/3 と答えました。式は次のとおりです。

P(X≥3) = 14/15
P(X≥4) = 12/15
P(X≥5) = 9/15
P(X≥6) = 5/15
14/15 + 12/15 + 9/15 + 5/15 = 40/15 = 8/3

理由: 2枚引けば最大値は必ず 2 以上なので、k が 1 と 2 のときの裾の確率はどちらも 1 です。答案は「最大値は 3 以上になることが多い」と考えて k が 3 から数え始めましたが、確率 1 の二項を落としたために、期待値が 2 だけ小さくなりました。8/3 は取り得る値の下限 2 をわずかに超えるだけで、2枚のうち大きい方の平均としては小さすぎます。

直し方: k を 1 から 6 まで並べ直します。

1 + 1 + 14/15 + 12/15 + 9/15 + 5/15
= 2 + 40/15
= 2 + 8/3
= 14/3

分布からも確かめます。最大値が j になるのは、j の札を含み、もう一枚を j より小さい札から選ぶ場合です。

P(X=2) = C(1,1)/C(6,2) = 1/15
P(X=3) = C(2,1)/15 = 2/15
P(X=4) = C(3,1)/15 = 3/15
P(X=5) = C(4,1)/15 = 4/15
P(X=6) = C(5,1)/15 = 5/15
1/15 + 2/15 + 3/15 + 4/15 + 5/15 = 15/15 = 1
E[X] = (2 + 6 + 12 + 20 + 30)/15 = 70/15 = 14/3

図3は、この2枚の例で裾の確率を k ごとに並べ、落としやすい二項を色で示したものです。

図3のように、k が 1 と 2 の二項は長さが 1 で、ほかの四項より目立ちません。しかしこの二項を落とすと、和は 8/3 になって 14/3 から 2 だけずれます。端の項は「当たり前」なだけで、値としては最大の 1 です。

もう一つの誤りは、復元抽出の式を非復元の問題に使うことです。さきほどの2枚の例で P(X≥k) = 1 − ((k-1)/6) の 2 乗を使うと、同じ番号が二度出る場合を数えてしまい、裾の確率が少しずつ小さくなります。非復元では C(k-1,2)/15 で引く、と分母と分子を問題文の引き方に合わせます。

三つ目は、期待値と確率の混同です。最大値が 4 以上になる確率を求めたのに、それを期待値として答える答案があります。確率は 0 から 1 までの数で、期待値は札の番号と同じ大きさを持つ数です。答えを書く前に、聞かれているのがどちらかを読み直します。

練習問題

練習1（標準）1 から 7 までの番号を書いた玉が袋に入っています。同時に3個を取り出すとき、番号の最大値の期待値を求めてください。答えは整数で答えてください。

練習2（標準）1 から 8 までの数字が等しい確率で出るルーレットを2回回します。出た数字のうち大きい方を X とするとき、E[X] を求めてください。答えは既約分数で答えてください。

練習3（やや難）1 から 10 までの番号札から同時に4枚を引きます。最大値を X とするとき、P(X≤7) と E[X] を求めてください。確率は既約分数、期待値は既約分数で答えてください。

練習4（やや難）1 から 9 までの番号札から同時に2枚を引きます。最大値と最小値の差の期待値を求めてください。答えは既約分数で答えてください。

練習5（難）1 から 4 までの番号札を、一枚引くたびに戻してから3回引きます。最大値を X とするとき、E[X] と P(X≥3) を求めてください。期待値は既約分数、確率は既約分数で答えてください。

練習問題の解答

練習1

3個の組は C(7,3) = 35 通りです。最大値が j になるのは、j を含み、残り2個を j より小さい玉から選ぶ場合です。

P(X=3) = 1/35
P(X=4) = C(3,2)/35 = 3/35
P(X=5) = C(4,2)/35 = 6/35
P(X=6) = C(5,2)/35 = 10/35
P(X=7) = C(6,2)/35 = 15/35
1/35 + 3/35 + 6/35 + 10/35 + 15/35 = 35/35 = 1
E[X] = (3 + 12 + 30 + 60 + 105)/35 = 210/35 = 6

裾の和でも同じ値になります。

P(X≥1) = P(X≥2) = P(X≥3) = 1
P(X≥4) = 1 - 1/35 = 34/35
P(X≥5) = 1 - 4/35 = 31/35
P(X≥6) = 1 - 10/35 = 25/35
P(X≥7) = 1 - 20/35 = 15/35
3 + (34 + 31 + 25 + 15)/35 = 3 + 105/35 = 6

答えは 6 です。7個から3個なら最大値は 5 以上になることが多く、期待値が 6 になるのは自然です。

練習2

2回の数字の組は 64 通りです。最大値が j 以下になるのは、2回とも j 以下である場合で、その確率は (j/8) の 2 乗です。したがって裾の確率は次のようになります。

P(X≥k) = 1 - ((k-1)/8)の2乗
E[X] = Σ[k=1..8] (1 - ((k-1)/8)の2乗)
     = 8 - (0 + 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 + 49)/64
     = 8 - 140/64
     = 8 - 35/16
     = 93/16

分布からも確かめます。最大値がちょうど j になるのは、j が一回だけ出る場合と j が二回出る場合で、合わせて 2j-1 通りです。

P(X=j) = (2j-1)/64
E[X] = (1・1 + 2・3 + 3・5 + 4・7 + 5・9 + 6・11 + 7・13 + 8・15)/64
     = (1 + 6 + 15 + 28 + 45 + 66 + 91 + 120)/64
     = 372/64
     = 93/16

答えは 93/16 です。約 5.81 で、2回のうち大きい方の平均が 8 の半分より上になるという見当とも合います。

練習3

4枚の組は C(10,4) = 210 通りです。最大値が 7 以下になるのは、4枚すべて 7 以下から選ぶ場合です。

P(X≤7) = C(7,4)/C(10,4) = 35/210 = 1/6

期待値は裾の和で求めます。

E[X] = 10 - (C(0,4) + ... + C(9,4))/210
     = 10 - C(10,5)/210
     = 10 - 252/210
     = 10 - 6/5
     = 44/5

答えは P(X≤7) = 1/6、E[X] = 44/5 です。期待値 8.8 は 4 から 10 の範囲に入り、最大値が 7 以下になる確率が小さいこととも整合します。

練習4

最大値を X、最小値を Y とします。E[X] は9枚から2枚の場合の式で求められます。

E[X] = 9 - C(9,3)/C(9,2)
     = 9 - 84/36
     = 9 - 7/3
     = 20/3

最小値は、2枚とも k 以上である確率を足します。

P(Y≥k) = C(10-k,2)/36
E[Y] = (C(9,2) + C(8,2) + ... + C(2,2))/36
     = (36 + 28 + 21 + 15 + 10 + 6 + 3 + 1)/36
     = 120/36
     = 10/3

差の期待値は 20/3 − 10/3 = 10/3 です。対称性を使えば、E[X] + E[Y] = 10 なので E[X] − E[Y] = 2E[X] − 10 = 40/3 − 10 = 10/3 と、同じ値に短くたどり着けます。

練習5

復元抽出なので、3回とも k-1 以下になる確率を全体から引きます。

P(X≥k) = 1 - ((k-1)/4)の3乗
E[X] = Σ[k=1..4] (1 - ((k-1)/4)の3乗)
     = 4 - (0 + 1 + 8 + 27)/64
     = 4 - 36/64
     = 4 - 9/16
     = 55/16

P(X≥3) は、3回とも 2 以下になる場合の余事象です。

P(X≥3) = 1 - (2/4)の3乗
       = 1 - 1/8
       = 7/8

分布でも確かめます。最大値が j になる確率は、j 以下になる確率から j-1 以下になる確率を引いたものです。

P(X=1) = 1/64
P(X=2) = (8 - 1)/64 = 7/64
P(X=3) = (27 - 8)/64 = 19/64
P(X=4) = (64 - 27)/64 = 37/64
1/64 + 7/64 + 19/64 + 37/64 = 64/64 = 1
E[X] = (1 + 14 + 57 + 148)/64 = 220/64 = 55/16

答えは E[X] = 55/16、P(X≥3) = 7/8 です。期待値 55/16 は 1 から 4 の範囲に入っています。

覚えておくこと

• 0 以上の整数値をとる X は、E[X] = Σ[k=1..n] P(X≥k) で期待値を出せる。
• k は 1 から上限まで動かし、確率 1 になる端の項も書く。
• 最大値が j とは、j を含み、残りは j より小さい、と読む。
• 非復元の裾は C(k-1,r)/C(n,r)、復元の裾は ((k-1)/n) の r 乗で引く。
• 出した期待値が取り得る値の範囲に入るか、分布の合計が 1 かを戻して確かめる。

つまずきの見分け方と個別指導で確かめる箇所

答案を見るとき、まず分布の合計が 1 になっているかを確かめます。合計が 1 を超えるなら、その値以下になる確率を、その値ちょうどになる確率として書いています。最大値の分布では、j 以下から選ぶ数 C(j,r) と、j を含む数 C(j-1,r-1) を取り違えたときにこの症状が出ます。

次に、期待値が取り得る値の下限を下回っていないかを見ます。5枚から3枚なら下限は 3 で、期待値が 3 を下回ることはありません。裾の和で端の項を落とすと、この下限割れが起きます。8/3 のような値が出たら、k が 1 から始まっているかを答案の一行目まで戻って確かめます。

三つ目は、復元と非復元の取り違えです。同じ番号が二度出せる問題なのに C の記号で裾を書いていたら、復元の式に直します。逆に、同時に引く問題で「の r 乗」が出てきたら、各回が独立でないことを思い出します。

四つ目は、期待値と確率の混同です。答えが 0 から 1 の間に収まっていて、しかも問われているのが平均なら、確率を答えています。期待値の答えは、番号の下限と上限の間に収まるはずです。

個別指導では、まず n と r の小さい場合を全列挙させます。5枚から3枚なら十通りを書き出し、最大値ごとに組の数を数えさせると、C(j-1,2) の意味が自分の言葉になります。そのあとで裾の表を書き、最後に二つの値が一致することを確かめさせます。式を先に教えるより、十通りの表から式を読ませる方が、端の項の理由まで残ります。

最大値の期待値は、分布を全部書く根気ではなく、端まで数える几帳面さで決まります。