大学入試数学 期待値と組の数—一個ごとの和では数えられないペアを対象として平均を求める｜武蔵野個別指導塾

赤4枚と青4枚を一列に並べ、隣り合う同じ色の組を7つの間ごとに指示変数で数えると、平均して3組になるのが求める組の数です。

赤4枚と青4枚をよく混ぜて一列に並べ、隣り合う2枚が同じ色である組の数を数える場面を考えます。ある高校生は、同色の札が8枚あるのだから組も8つだと見積もり、並べ方を変えても平均は8組になると答えました。実際に並べてみると、組の数は並べ方によって0から6まで変わり、平均は3組です。1枚の札は複数の組に属するので、札の枚数をそのまま組の数に置き換えることはできません。

同じ見落としは、袋から数枚を取り出して同じ色の組を数える場面でも、何人かを班に分けて同じ班になる組を数える場面でも起こります。問われ方は三つに分かれます。一列に並んだ隣り合う組を数える型、決まった枚数を取り出した中の組を数える型、決まった人数ずつの班に分けたときの組を数える型です。どれも、数える単位が「もの」ではなく「ものの組」であり、組どうしが1つのものを共有するために、組の数を個々のものの数から足し上げることはできません。

そこで、組ごとに0か1を立てる印を置き、その平均を足し合わせます。この手順は三つの型で同じ形をしており、変わるのは1つの組が条件を満たす確率だけです。以下では、確率を求める根拠を毎回明示しながら、組の数の平均と、組の数が取り得る値の範囲を分けて確かめます。

用語と考え方

nを2以上の整数として、n個のものから2個を選ぶ組の総数はC(n,2)=n(n-1)/2です。ただし組の数を数えるときは、何を1組とみなすかを先に決めます。ここでは、同じ色どうしの2枚の組、同じ班に入った2人の組のように、2個のものが条件を満たす組だけを数えます。

組の数を個々のものの数から足せないのは、1つのものが同時にいくつもの組に属するからです。8枚の札にはC(8,2)=28の2枚組があり、どの札も7つの組に顔を出します。赤い札が4枚あるから赤の組も4つ、と数えると、赤どうしの組C(4,2)=6のうち2つを取り落とすことになります。札を1枚ずつ見て相手を数える方法でも、同じ組を2回ずつ数えてしまうため、そのままでは合いません。組を1回ずつ数えるには、組そのものを数える単位にする必要があります。

同じ同色の組という言葉でも、一列の隣り合う2枚だけを組とする場面と、離れた2枚も組とする場面では、数える組の集合が変わります。問題文がどの2枚を1組とするかを決めるので、式を立てる前に組の候補を書き出します。たとえば8枚のうち赤4枚だけを見ると、離れた2枚も組とする場面では赤どうしの組はC(4,2)=6組です。これを札ごとに赤の相手は3枚と足すと4×3=12になり、同じ組を2回ずつ数えた値になります。組の数を出すときは、組を1回だけ通る数え方に直す必要があります。

そのために、組ごとに次のような指示変数を置きます。2枚の組{i,j}について、条件を満たすならX(i,j)=1、満たさないならX(i,j)=0とします。組の総数をYとすると、Yはすべての組のX(i,j)の和です。この作り方では、1つの組はちょうど1回だけ足されるので、二重計数は起こりません。

期待値については、和の期待値が各項の期待値の和になる性質を使います。E(Y)=ΣE(X(i,j))=ΣP(組{i,j}が条件を満たす)です。この等式は、X(i,j)どうしが独立でなくても成り立ちます。たとえば、並びの隣り合う2つの間は1枚の札を共有するので、一方が同色でも他方の確率は変わります。それでも、各組の確率を足すだけで平均が出る、という点がこの方法の要です。

指示変数が独立でないことを、基本例題の並びで確かめます。1つ目の間と2つ目の間がともに同色になるのは、3枚続けて同じ色になるときで、その確率は(4×3×2+4×3×2)/(8×7×6)=48/336=1/7です。一方、それぞれの間が同色になる確率は3/7なので、積は3/7×3/7=9/49です。1/7と9/49は等しくなく、2つの指示変数は独立ではありません。それでも期待値は3/7+3/7=6/7と足せます。和の期待値が各項の期待値の和になる性質は、独立性を必要としないからです。

図1のように、8枚の並びには7つの間があり、間ごとに指示変数が1つ対応します。札8枚を8組と数えるのではなく、間7つを7つの組として数える、と読み替えると見通しが立ちます。

平均を出す前に、確率の根拠を場面ごとに確かめます。n枚を一列に並べるとき、隣り合う間はn-1個あり、特定の間の2枚が同色になる確率は、色ごとの枚数をn₁、n₂、…（和はn）とすると(Σnᵢ(nᵢ-1))/(n(n-1))です。n枚からm枚を取り出すとき、2≤m≤nとして、特定の同色2枚がともに取り出される確率はm(m-1)/(n(n-1))です。n人をg人ずつの班に分けるとき、gがnの約数であるとして、特定の2人が同じ班になる確率は(g-1)/(n-1)です。どれも、1つ目の位置や枚数、班が決まった後に残る選択肢を数えた値です。

1つ目の式は、1枚目に色iを置く確率nᵢ/nと、2枚目に同じ色を置く確率(nᵢ-1)/(n-1)を色ごとに掛けて足したものです。2つ目の式は、特定の2枚を選んだ状態から残りm-2枚を選ぶ場合の数C(n-2,m-2)をC(n,m)で割った値で、m(m-1)/(n(n-1))と等しくなります。3つ目の式は、1人を固定したとき、その相手が残りn-1人から等確率で選ばれ、同じ班の残り枠がg-1人分あることから出ます。式の形は違っても、どれも残った選択肢の数から確率を組み立てています。

和の期待値の性質は、期待値の定義からも確かめられます。Yが値yを取る確率をP(Y=y)とすると、E(Y)=Σy×P(Y=y)です。ここにY=ΣX(i,j)を代入し、同じ組の項をまとめると、各組についてX(i,j)=1となる確率だけが残ります。組の数が有限なので、確率の和の順序を入れ替えても値は変わりません。この確認があると、依存があっても和を分けてよい理由を、公式の暗記ではなく定義から説明できます。

三つの式に共通するのは、特定の組が条件を満たす確率だけを求めればよい、という点です。組どうしの依存は平均の計算に入ってきません。ただし、組の数が取り得る値の範囲は依存の影響を受けます。平均だけを見て「どの場合もその値になる」と読まないよう、最小値と最大値も場面ごとに確かめます。

基本例題　隣り合う同色の組

赤4枚と青4枚の合計8枚をよく混ぜて一列に並べます。隣り合う2枚が同じ色である組の数の期待値を求めてください。答えは整数で答えてください。

標準。7つの間のそれぞれについて、同色になる確率を求めます。まず、着目した間の1枚目が赤である確率は4/8、そのとき2枚目も赤である確率は3/7です。1枚目が青の場合も同じ形で、4/8×3/7です。したがって、特定の間が同色になる確率は、次の式で求められます。

P(1枚目が赤) = 4/8
P(2枚目も赤｜1枚目が赤) = 3/7
P(同色) = 4/8×3/7 + 4/8×3/7
= 12/56 + 12/56
= 24/56
= 3/7

間は7つあり、どの間も同じ確率3/7で同色になります。各間の指示変数の期待値は3/7なので、和の期待値は7×3/7=3です。よって、求める期待値は3組です。

組の数が取り得る値も確かめます。赤4枚を続けて並べ、その後に青4枚を続けると、赤のブロックに3組、青のブロックに3組で合計6組になり、これが最大です。7組にはなりません。7つの間がすべて同色なら8枚すべてが同じ色になってしまい、赤4枚と青4枚という条件に反するからです。最小は0組で、赤と青を交互に並べると実現します。したがって組の数は0から6までの整数値を取り、期待値3はその平均です。

別解として、色が変わる回り目を数える方法もあります。並びを同じ色のブロックに分けると、組の数は8からブロックの数を引いた値になります。特定の間で色が変わる確率は、1枚目が赤で2枚目が青の場合とその逆を足して、2×4/8×4/7=32/56=4/7です。ブロックの数の期待値は1+7×4/7=5なので、組の数の期待値は8-5=3となります。

70通りの色の並びをすべて書き出すと、組の数の合計は210で、210/70=3になります。間の数と確率の積で求めた3と一致するので、平均の見方も裏づけられます。図2のように、7つの間のそれぞれに同じ確率3/7を置き、7つ分を足すと3組になります。

標準例題と発展例題

標準例題　取り出した4枚の中の組

袋に赤4枚と青4枚の合計8枚が入っています。よく混ぜて無作為に4枚を取り出すとき、取り出した4枚の中にある同色の2枚の組の数の期待値を求めてください。答えは分数で答えます。

やや難。取り出した4枚の中で作れる同色の組は、赤どうしのC(4,2)=6組と青どうしのC(4,2)=6組の合計12組です。この12組のそれぞれについて、2枚とも袋から取り出される確率を求めます。特定の2枚がともに取り出される確率は、8枚から4枚を選ぶときにその2枚を含める場合の数で、C(6,2)/C(8,4)=15/70=3/14です。よって期待値は12×3/14=36/14=18/7です。

別解として、取り出した4枚の色の内訳で場合分けします。赤4枚と青0枚になる確率は2/70、赤3枚と青1枚は32/70、赤2枚と青2枚は36/70です。それぞれの同色の組の数は6組、3組、2組なので、期待値は(2/70)×6+(32/70)×3+(36/70)×2=(12+96+72)/70=180/70=18/7となり、指示変数による値と一致します。

取り得る値は2組、3組、6組の三つです。4枚を取り出すと、色の内訳は4対0、3対1、2対2のいずれかになり、同色の組の数はそれぞれ6、3、2です。0組や1組は現れません。2組が最小で6組が最大であり、期待値18/7は約2.57で、実際に現れる2組と3組の間にあります。70通りの取り出し方をすべて数えると、組の数の合計は180で、180/70=18/7です。

指示変数で解く方針と、色の内訳で場合分けする方針は、どちらも同じ18/7に着きます。期待値だけを求めるなら、候補12組に同じ確率3/14を掛ける指示変数の方が短く済みます。場合分けは、どの組の数がどれくらいの確率で出るかまで知りたいときに強くなります。問題文が期待値だけを問うているか、分布まで問うているかで、書き分けます。

発展例題　班分けでできる同クラスの組

Aクラス5人とBクラス5人の合計10人を、無作為に2人ずつ5つの班に分けます。同じクラスの2人が同じ班になる組の数の期待値を求めてください。あわせて、その組の数が取り得る値をすべて答えてください。

難。同じクラスの2人の組は、AクラスどうしのC(5,2)=10組とBクラスどうしのC(5,2)=10組の合計20組です。特定の2人が同じ班になる確率は、一方の相手が残り9人から等確率で選ばれるので1/9です。よって期待値は20×1/9=20/9です。

取り得る値は0組、2組、4組です。Aクラスどうしの班の数をaとすると、Aクラス5人は2人ずつ組になるので、AとBが混ざる班の数は5-2aです。Bクラスどうしの班の数もAと同じaになるため、同クラスの組の数は2aです。aは0、1、2のいずれかであり、3以上にはなりません。実際、Aクラス5人から2人ずつ取ると、a=2のときAクラスどうしの班が2つとA1人余り、その余りがB1人と組になります。

分布まで確かめると、10人を2人ずつに分ける方法は全部で945通りです。a=0となるのはA5人とB5人をすべて組み合わせる場合で5!=120通り、a=1はC(5,2)×C(5,2)×3!=600通り、a=2はC(5,4)×3×C(5,4)×3=225通りです。確率は順に120/945=8/63、600/945=40/63、225/945=5/21で、期待値は2×40/63+4×5/21=80/63+60/63=140/63=20/9となります。期待値20/9は約2.22で、取り得る値0、2、4のどれでもありません。平均と実現値を分けて読む必要があります。

指示変数で解く方針は、20組に同じ確率1/9を掛けるだけで20/9に届きます。一方、取り得る値や分布まで問われると、aの三つの場合と、その場合の数え上げが必要になります。期待値と分布のどちらが問われているかを先に読み分けると、書く量の見当がつきます。候補の組の数は色やクラスの内訳から、1組あたりの確率は残りの選択肢から、と別々に求めてから掛けると、数の取り違えを防げます。

誤答を直す

一つ目の誤りは、札の枚数をそのまま組の数にすることです。赤4枚と青4枚だから同色の組は8組と答えると、間の数を7つしか持たない並びに対して、8つの組を数えたことになります。直し方は、組の数を間の数や、選んだ2個の組の数に対応させてから数えることです。一列の並びなら間は7つ、8枚から4枚を取り出すなら候補の同色組は12組です。

二つ目の誤りは、どの間も確率1/2で同色になるとすることです。7×1/2=3.5と計算すると、期待値が整数でない値になります。1枚目が赤なら残りは赤3枚と青4枚なので、2枚目が赤になる確率は3/7です。1枚目が青の場合も3/7なので、特定の間の同色確率は3/7になります。1/2は、色の枚数が同じでも、1枚引いた後の残りが同じ割合ではなくなるため使えません。

三つ目の誤りは、平均の3組を、どの並べ方でも3組と読むことです。組の数は0組から6組まで変わり、3組はあくまで平均です。平均が整数だからといって、すべての場合にその値が出るわけではありません。期待値を答える問題では、取り得る値の範囲と、その平均であることを分けて書きます。

四つ目の誤りは、同色でない組まで候補に加えることです。8枚から4枚を取り出す場面で、すべての2枚組28通りに確率3/14を掛けると6になります。しかし数えたいのは同色の組だけなので、候補は12組です。条件に合う組だけを候補にし、その候補の数と1組あたりの確率を掛けます。

五つ目の誤りは、組どうしが独立でないから和の期待値は使えない、と決めつけることです。実際には、隣り合う間も、同じ人を含む組も独立ではありませんが、和の期待値は各組の確率の和のままです。独立でないと使えないのは、積の期待値を積に分ける場面です。和と積を取り違えないよう、何を足しているのかを式の横に書いて確かめます。

図3のように、誤りは数える単位の取り違えから生まれます。左の箱は札を数えて8組とした誤り、真ん中は間の数を数えた7つ、右は間ごとの確率を足した正しい3組です。同じ並びを見ていても、数える単位が変われば答えが変わります。どの単位を1組とするかを先に決めてから、候補の数を数えます。

練習問題

練習1（標準）赤5枚と青3枚の合計8枚を一列に並べます。隣り合う2枚が同じ色である組の数の期待値を分数で求めてください。

練習2（標準）赤3枚、青3枚、緑4枚の合計10枚を一列に並べます。隣り合う2枚が同じ色である組の数の期待値を分数で求めてください。

練習3（やや難）Aクラス4人、Bクラス3人、Cクラス2人の合計9人を、無作為に3人ずつ3つの班に分けます。同じクラスの2人が同じ班になる組の数の期待値を分数で求めてください。

練習4（やや難）袋に赤4枚、青3枚、緑3枚の合計10枚が入っています。無作為に5枚を取り出すとき、取り出した中にある同色の2枚の組の数の期待値を分数で求めてください。

練習5（難）Aクラス4人とBクラス4人の合計8人を、無作為に2人ずつ4つの班に分けます。同じクラスの2人が同じ班になる組の数の期待値を分数で求め、取り得る値をすべて答えてください。

練習問題の答え

練習1の答えは13/4です。8枚の並びには間が7つあり、特定の間が同色になる確率は(5×4+3×2)/(8×7)=(20+6)/56=26/56=13/28です。期待値は7×13/28=13/4です。赤5枚と青3枚では完全な交互の並びを作れないため、組の数は1組から6組までを取ります。

練習2の答えは12/5です。10枚の並びには間が9つあり、特定の間の同色確率は(3×2+3×2+4×3)/(10×9)=(6+6+12)/90=24/90=4/15です。期待値は9×4/15=36/15=12/5です。

練習3の答えは5/2です。同じクラスの2人の組はC(4,2)+C(3,2)+C(2,2)=6+3+1=10組です。特定の2人が同じ3人班に入る確率は、一方の相手2人が残り8人から選ばれるので2/8=1/4です。期待値は10×1/4=5/2です。

練習4の答えは8/3です。同色の2枚の組はC(4,2)+C(3,2)+C(3,2)=6+3+3=12組です。特定の2枚がともに取り出される確率は、10枚から5枚を選ぶときにその2枚を含める場合の数で、C(8,3)/C(10,5)=56/252=2/9です。期待値は12×2/9=24/9=8/3です。取り出した5枚の色の内訳から、組の数は2組、3組、4組、6組のいずれかになります。

練習5の答えは12/7で、取り得る値は0組、2組、4組です。同じクラスの2人の組はC(4,2)+C(4,2)=6+6=12組で、特定の2人が同じ班になる確率は1/7です。期待値は12×1/7=12/7です。Aクラスどうしの班の数をaとすると、AとBが混ざる班は4-2a、同クラスの組の数は2aとなり、a=0、1、2から0組、2組、4組が得られます。全105通りの内訳は0組が24通り、2組が72通り、4組が9通りで、期待値は2×72/105+4×9/105=(144+36)/105=180/105=12/7です。

覚えておくこと

• 組の数は、個々のものの数ではなく、条件を満たす2個の組の数として数える。
• 組ごとに0か1の指示変数を置くと、二重計数が起きない。
• 和の期待値は各組の確率の和であり、組どうしが独立でなくても使える。
• 特定の組が条件を満たす確率は、場面ごとの式で求める。
• 期待値と取り得る値の範囲は別に確かめる。

つまずきの見分け方

答えが札の枚数や人数と同じになったときは、組ではなくものを数えている可能性があります。まず、数えたい組の候補が何組あるかを書かせ、その候補が問題文の条件と一致しているかを確かめます。候補の数と1組あたりの確率を別の行に分けて書くと、どこで数を取り違えたかが見えます。

次に、確率の分母と分子を場面の選択肢に戻して確かめます。一列の並びなら、1枚目を置いた後に残る枚数、班分けなら、1人を固定した後に残る人数です。確率を1/2や1/3と決め打ちしていないか、色やクラスの内訳が変わった後に割合が変わることを反映しているかを見ます。

最後に、期待値が取り得る値かどうかを問い直します。期待値は平均なので、実際には現れない値になることがあります。取り得る値の最小と最大を別に求め、期待値がその間に収まっているかを確かめると、平均と実現値の混同を防げます。

確かめの練習として、枚数の小さい模型で全通りを書き出す方法があります。赤2枚と青2枚の4枚を一列に並べる場合、色の並びは6通りで、隣り合う同色の組の数の合計は6、平均は1です。公式では間が3つ、同色確率は(2×1+2×1)/(4×3)=4/12=1/3なので、3×1/3=1となり、書き出した値と一致します。小さい模型で一致を確かめてから、元の枚数に戻すと、式の形を間違えにくくなります。

組の数を平均で見積もるとき、数える単位を間や組に置き換えられるかどうかが境目です。