大学入試数学 同じものを含む円順列—回転で重なる個数の違いを周期のある配置から見極める｜武蔵野個別指導塾

二色の円形模様を並べ替え、周期ごとに回転で得られる列の数を調べて、同じものを含む円順列に迫ります。

よくあるのは、高校生が円形の色模様を直線の並びの総数から一定数で割る場面です。異なるものを円に並べるときの方法を知っていても、同じ色が繰り返される模様では、一回転するまでに現れる並びの数が模様ごとに違うことがあります。

たとえば赤と青の個数が決まった円形模様を数える問いでは、回して重なるものを同じと見ます。また、隣り合う色の条件から分類したり、周期を持つ配置の個数を先に調べたりする問いもあります。ここでは位置に印のない有限個の二色の円形模様を扱い、回転は同じ、裏返して初めて重なるものは別として数えます。

回転と周期を区別する

円周上に等間隔の位置があり、各位置に赤か青を置きます。同色のものは区別しません。円そのものに始点や向きの印はありませんが、計算のために一時的に上の位置を始点と決め、時計回りに色を書けば直線の列として記録できます。この印は記録用ですから、完成した模様の違いには含めません。

図1のように、赤赤青青の列は始点を1つずつ進めると4種類の列になります。一方、赤青赤青では2位置進めると元の列に戻るため、異なる列は2種類です。どちらも4か所を始点に選べますが、始点の選び方と異なる列の個数は同じとは限りません。

図1の上段と下段は色の枚数が同じでも周期が違います。最初に元の列へ戻る正の移動数をここでは周期と呼びます。周期が4なら4種類、周期が2なら2種類の異なる列が同じ円形模様に対応します。

この理由を確認します。位置がn個あるとき、最初に元に戻る移動数をdとします。0からd-1位置の移動でできる列は互いに異なります。もし途中の2つが一致すれば、その移動数の差はdより小さい正の数で元へ戻ることになり、dの選び方に反します。さらにnをdで割った余りだけ移動しても元に戻るので、余りは0です。したがってdはnの約数であり、d位置ごとに列が繰り返されます。

n個の位置を区別してできる列の総数をnで割る方法は、各円形模様が必ずn種類の列を生む場合に限って使えます。同色がある場合でも必ず失敗するわけではありません。各模様の周期がnであると確かめられれば、この割り算は成立します。

反転は回転と別にします。時計回りの列を逆向きに読んだ列が、回転だけで元の列と一致することも、一致しないこともあります。前者では新しい模様が増えず、後者では別の模様が増えます。反転したら必ず2で割る、あるいは必ず2倍するという扱いはできません。

基本例題：4か所に2色を置く

標準。円周上の4か所に赤2個と青2個を置きます。同色は区別せず、回転して一致する配置を同じとします。反転だけで一致する配置は別とするとき、模様は何種類か、整数で答えてください。

赤が隣り合うかどうかで分けます。赤が隣り合えば、始点を赤の連続部分の先頭に取って赤赤青青と記録できます。赤が隣り合わなければ赤と青が交互になり、赤青赤青と記録できます。この2つは隣接の有無が違うので回転で重ならず、赤2個の位置関係はこのどちらかです。

隣り合う配置  1種類
隣り合わない配置  1種類
合計  1 + 1 = 2種類

図2のように、位置に印を付けた列で確かめると、前者は4列、後者は2列に対応します。4か所から赤の位置2か所を選ぶ列は6通りですから、4 + 2 = 6で元の条件へ戻ります。

図2の各列は、色が異なるところを比較して別だと確認できます。計算で始点を仮に置いても、最後にその印を消すことが円形模様の数え上げです。

別の見方では、赤2個の間にある青の個数を時計回りに順に数えます。(0,2)と(2,0)は赤のどちらから数え始めるかの違いなので同じ模様です。(1,1)はもう一方です。この方法では色の並びを全部書かずに、赤の間隔という条件に着目できます。

標準例題：間隔の組を使う

やや難。円周上の6か所に赤2個と青4個を置きます。同色は区別せず、回転で一致するものを同じ、反転だけで一致するものを別とします。模様の種類数を整数で求めてください。

赤の一方から時計回りに進み、次の赤までにある青の数をa、残りの青の数をbとします。aとbは0以上の整数で、a + b = 4です。始点の赤を取り替えると(a,b)は(b,a)になります。この取り替えは円を回した同じ模様の別の記録です。

(a,b) = (0,4), (1,3), (2,2), (3,1), (4,0)
交換して同じ組をまとめると (0,4), (1,3), (2,2)
答え  3種類

この分類は漏れません。どの配置でも2つの赤の間にある青の数は一組に決まり、逆に一組を決めれば円形模様を復元できます。また異なる組が同じ模様なら赤の開始位置の選び方しか違わないので、2成分の交換で一致するはずです。この問題では反転による組の交換も、赤の開始位置の交換と同じ結果になるため、新しい一致は生じません。

別解は赤い位置の距離で分類する方法です。短い方の距離が1、2、3のいずれかになり、それぞれ1種類です。距離3では半周の回転で元に戻るため、対応する印付き列は3列です。距離1と2はそれぞれ6列なので、6 + 6 + 3 = 15列となります。これは6か所から赤2か所を選ぶ15通りと一致します。

発展例題：反転を別にしたまま数える

難。円周上の7か所に赤3個と青4個を置きます。同色の個々のものは区別しません。回転で一致する配置を同じとし、反転だけで一致する配置は別とします。模様の種類数を整数で求めてください。

赤から次の赤までの青の個数を時計回りに(a,b,c)とします。3つは0以上の整数で、和は4です。赤の開始位置を変える操作は(a,b,c)を(b,c,a)、(c,a,b)に移します。順序を逆にする操作は回転とは限らないので、ここでは交換を自由に認めません。

0を含む組  (0,0,4), (0,1,3), (0,2,2), (0,3,1)
0を含まない組  (1,1,2)
合計  5種類

この一覧では、0を含むとき0を先頭に置きます。0が1個なら残りの順番はそのまま残し、0が2個なら(0,0,4)に回してそろえます。0がない場合は和が4なので(1,1,2)を回したものに限られます。(0,1,3)と(0,3,1)は反転で重なりますが、巡回しても一致しないので別の2種類です。

別解として、7か所から赤3か所を選ぶ印付き列は35通りです。7は素数なので周期は1か7です。周期1なら全位置が同じ色となり、赤3個という条件に反します。よってどの模様も7列に対応し、35/7 = 5種類です。周期が一定であると証明した後なら割り算を使えます。

一覧の5種類をもとの色の数に戻すと、いずれも赤3個と青4個です。各組の巡回による記録は3通りで、これに赤を置く始点7か所を対応させた21通りの記録が、各印付き列を赤3個のいずれから読むかで3回ずつ数えます。したがって1模様に対応する列は7通りであり、5種類で35通りです。

間違った割り算を直す

先の4か所の例で、印付き列が6通りだから6/4 = 3/2種類とする解答を考えます。個数が整数でない時点で数え方を見直す必要がありますが、整数になっても正しいとは限りません。必要なのは、割る前の各列が完成した模様に何列ずつ対応するかです。

図3のように、隣接型には4列、交互型には2列が対応します。4で一律に割ると、交互型を2/4種類と数えてしまいます。列を周期別に分け、それぞれ対応する列数で割れば、4/4 + 2/2 = 2種類です。

図3で分けた2組は互いに重ならず、6列を尽くしています。この排反性と網羅性を確かめずに「周期の短いものを足す」と、補正の対象を二重に数えることがあります。まず列を分類し、それぞれが何種類の完成物に属するかを調べます。

たとえば、すべての位置が同色の列なら、どの位置を始点にしても同じ列なので周期は1です。模様は1種類ですが、位置数で割ると1より小さくなります。周期が短いことは特殊な見た目に限らず、数えた対象と完成物の対応を調べる必要があることを示します。

回転と反転を混同する誤りもあります。3つの間隔がすべて異なるとき、順番を逆にすると元の巡回順序に戻らない場合があります。逆に、同じ間隔が2つあるときは逆順が巡回で一致することもあるため、反転を認める条件を問題文で確認してから分類します。

練習問題

どの問題でも円周上の位置は等間隔で、同色のものは区別しません。回転で一致する配置を同じ、反転だけで一致する配置を別とします。答えは種類数を整数で示してください。各問題の設定は独立です。

1. 標準。5か所に緑1個と白4個を置くとき、模様は何種類ですか。
2. 標準。6か所に緑2個と白4個を置き、緑同士が隣り合う模様は何種類ですか。
3. やや難。8か所に緑2個と白6個を置くとき、模様は何種類ですか。
4. やや難。6か所に緑3個と白3個を置くとき、模様は何種類ですか。
5. 難。8か所に緑4個と白4個を置くとき、模様は何種類ですか。

練習の解答

1

緑を一時的に上に置けば、残る位置はすべて白です。緑の位置がどこにあっても回転で上に移せるため、答えは1種類です。

緑の位置  5通り
1模様に対応する列  5通り
5/5 = 1種類

元の条件に戻すと、5列はいずれも緑が1個です。緑の位置が異なるので5列は重なりません。

2

緑の連続する2位置をひとかたまりとして見ると、残りの4位置は白です。緑の組を上から時計回りに置く位置へ回せば、どの配置も同じ模様になるので1種類です。

緑の組の開始位置  6通り
1模様に対応する列  6通り
6/6 = 1種類

開始位置ごとの6列は互いに異なり、どれも緑が隣り合います。反転しても回転で元に戻ります。

3

緑の間の白の個数を(a,b)とすると、a + b = 6です。2つの緑のどちらから始めるかで組が交換されます。

(a,b) = (0,6), (1,5), (2,4), (3,3)
答え  4種類

前の3種類の周期は8、最後の周期は4です。印付き列の個数を戻して数えると8 + 8 + 8 + 4 = 28で、8か所から緑2か所を選ぶ28通りに一致します。各行は緑2個と白6個を再現します。

4

緑の間の白の個数を(a,b,c)とします。和は3で、巡回する組を同一とすると次の4組です。

(a,b,c) = (0,0,3), (0,1,2), (0,2,1), (1,1,1)
答え  4種類

最初の3種類は周期6、最後は周期2です。印付き列は6 + 6 + 6 + 2 = 20通りで、6か所から緑3か所を選ぶ20通りに戻ります。(0,1,2)と(0,2,1)は反転で一致しますが、回転では一致しないため別々に数えます。

5

8か所から緑4か所を選ぶ印付き列は70通りです。周期は8の約数です。周期1では両色が現れず、周期2では交互の1模様があり、対応する列は2通りです。

周期4以下の列は、前半4位置の緑2個の選び方で6通りあります。そのうち交互の2列は周期2なので、周期がちょうど4の列は4通り、模様は1種類です。残る列は周期8です。

周期2の模様  2/2 = 1種類
周期4の模様  (6 - 2)/4 = 1種類
周期8の模様  (70 - 6)/8 = 8種類
合計  1 + 1 + 8 = 10種類

元の条件への照合は2 + 4 + 8・8 = 70です。周期2、4、8の分類は重複せず、各列の最小の周期が8の約数であることから漏れもありません。反転による追加の同一視は行っていません。

手元に残す要点

• 回転で同じとする範囲と反転の扱いを先に決めます。
• 始点を付けた列と、印のない円形模様を区別します。
• 1模様から生じる異なる列の数は、その模様の周期です。
• 周期が混在するなら、周期ごとに列を分けて割ります。
• 間隔の組では、開始点の変更による巡回をまとめます。

どこで止まったかを見つける

答えが分数になった場合は、まず一律に割った数と、各模様から実際に生じる列の数を比べてください。答えが整数でも、短い周期の配置が混じっていないか、色の列を1つ回して戻るまで書けば点検できます。間隔の組を使う場合は、開始位置の変更と反転を別の操作として紙に書くと、同じとする根拠が見えます。

個別指導で確認するときは、最初に列を分類する基準を言葉にし、次に各分類の代表から元の色の枚数を復元してみます。最後に代表を回して得た列の合計が、印付きの位置を直接選んだ総数に一致するかを調べます。周期ごとの対応を押さえると、円形模様の数は根拠を持って決まります。