高校情報I 分散と標準偏差—平均との差を二乗する理由と単位の違いを説明する｜武蔵野個別指導塾

加工長の偏差表から分散と標準偏差を求め、単位換算による倍率と目標からのずれを確かめます。

平均からの差をそのまま足すと、正と負が打ち消し合います。散らばりを表すには、それぞれの差を二乗してから平均し、元の長さと同じ単位で読みたいときは平方根を取ります。よくあるのは、加工した部品の長さについて偏差の合計が0になり、散らばりも0だと考える場面です。平均と一致しない部品があれば、散らばりは残っています。

出方には、元データから偏差表を作る型、2群の分散を比較する型、単位を変えた後の値や結論を検証する型があります。ここでは学習用に作った加工長を使い、答えを元の値に戻して確かめます。

平均からの差を散らばりに変える

加工長の記録を、決めた対象の全件とします。欠損はなく、同じ値が複数あればその回数だけ数えます。件数をn、各値をx、平均をmとすると、平均は値の合計をnで割った値です。偏差は「各値 − 平均」で、平均より短ければ負、長ければ正です。

偏差の合計は常に0です。各値の合計から平均をn個分引くと、平均の定義によって0になるからです。これは散らばりがないという意味ではありません。例えば平均より2 mm短いものと2 mm長いものは、差を足せば0ですが、どちらも平均から離れています。

図1のように、偏差をそれぞれ二乗してから合計すると、正と負による打ち消しを避けられます。二乗の合計を件数nで割ったものが、ここで使うデータ全体の分散です。記号では分散は「Σ[k=1..n] (xₖ − m)² / n」と書けます。二乗を使うと、大きく離れた値はその距離に対してより大きく寄与します。

図1の最後にある標準偏差は、分散の負でない平方根です。長さがmmなら偏差もmm、分散はmm²、標準偏差はmmです。平方根を取ることで元の測定値と同じ単位に戻ります。ただし、標準偏差が「各部品の平均からの距離そのもの」になるとは限りません。偏差の絶対値の平均とは別の計算です。

どの値も平均と同じなら、二乗した偏差はすべて0なので分散も標準偏差も0です。逆に少なくとも1つが平均と異なれば、その二乗は正で、他の二乗は負にならないため分散は正です。この関係を使えば、計算結果が0のとき元データに異なる値が混じっていないかを確かめられます。

対象全体の記述にはnで割る分散を用います。標本から母集団の分散を推定する文脈では、偏差の二乗和をn − 1で割る不偏分散が使われることがあります。目的と分母が違うので、問題文の指定を確かめます。nが1なら今回の分散は0ですが、n − 1で割る計算は分母が0となりできません。

基本例題：2群の偏差表を作る

学習用に作った4本ずつの加工長があります。A群は8、10、10、12 mm、B群は6、10、10、14 mmです。それぞれ4本を対象全体とし、平均、偏差、分散、標準偏差を求めてください。分散はmm²、標準偏差はmmで、丸めずに表します。欠損はありません。

まずA群の合計は8 + 10 + 10 + 12 = 40 mmです。 平均は40 / 4 = 10 mmです。 各値から10 mmを引くと、偏差は順に-2、0、0、2 mmです。 偏差を二乗すると順に4、0、0、4 mm²です。 二乗和は8 mm²です。 分散は8 / 4 = 2 mm²です。 標準偏差は√2 mmです。

次にB群の合計は6 + 10 + 10 + 14 = 40 mmです。 平均は40 / 4 = 10 mmです。 偏差は順に-4、0、0、4 mmです。 偏差の二乗は順に16、0、0、16 mm²です。 二乗和は32 mm²です。 分散は32 / 4 = 8 mm²です。 標準偏差は√8 = 2√2 mmです。

図2のように両群の平均は同じ10 mmですが、端の値はB群のほうが平均から遠く、標準偏差はA群の2倍です。偏差の合計はどちらも0なので、その合計から両群の違いは読み取れません。

表を逆にたどって確認します。A群では10に-2、0、0、2を順に足すと8、10、10、12に戻ります。B群も10に-4、0、0、4を足すと6、10、10、14に戻り、それぞれ4本と合計40 mmを保っています。平均との差を取り違えたり、同じ長さの2本を1本にしたりすると、この照合で見つかります。

分散が小さいことは、この記録の中で平均の周りへの散らばりが小さいという意味です。部品が目的に合うかどうかは、目標の長さや許される範囲も必要です。散らばりが小さくても、平均が目標から大きくずれていれば、その点は別に調べなければなりません。

標準例題：単位を変えて同じ部品を読む

基本例題のA群4本をcmで表し直します。1 cm = 10 mmとします。平均、分散、標準偏差をcm、cm²、cmでそれぞれ丸めずに求め、mmの結果との関係を説明してください。

各値を10で割ると、順に0.8、1、1、1.2 cmです。 合計は4 cmです。 平均は4 / 4 = 1 cmです。 偏差は-0.2、0、0、0.2 cmです。 偏差の二乗は0.04、0、0、0.04 cm²です。 二乗和は0.08 cm²です。 分散は0.08 / 4 = 0.02 cm²です。 標準偏差は√0.02 = √2 / 10 cmです。

元の平均10 mmと標準偏差√2 mmは、それぞれ10で割ると1 cmと√2 / 10 cmになります。分散は2 mm²を100で割った0.02 cm²です。1 mmが0.1 cmなので、1 mm²は0.01 cm²です。偏差の数値が10分の1になれば、その二乗の数値は100分の1になります。

換算後の各値を10倍すると、8、10、10、12 mmへ戻ります。対象の長さや4本という件数は変わりません。異なる単位の数値を直接比較して散らばりの大小を決めず、まず単位をそろえます。

発展例題：散らばりと目標との差を分ける

別の学習用データとして、C群は19、20、21 mm、D群は24、24、24 mmの各3本です。目標は20 mm、許される範囲は19 mm以上21 mm以下とします。各群の平均と分散を求め、範囲内の本数を数えて、標準偏差だけで良否を決められるか説明してください。分散はmm²で分数のまま示し、標準偏差はmmで根号を使います。

C群の合計は60 mm、平均は60 / 3 = 20 mmです。 偏差は-1、0、1 mmです。 偏差の二乗は1、0、1 mm²です。 分散は2 / 3 mm²です。 標準偏差は√(2 / 3) mmです。

D群の合計は72 mm、平均は72 / 3 = 24 mmです。 偏差は0、0、0 mmです。 偏差の二乗も0、0、0 mm²です。 分散は0 / 3 = 0 mm²です。 標準偏差は0 mmです。

平均に偏差を戻すとC群は19、20、21 mm、D群は24、24、24 mmです。C群は3本とも指定範囲内、D群は3本とも範囲外です。D群の標準偏差は小さいものの、目標からのずれと範囲内の本数を考えれば、標準偏差だけを根拠に良いとは言えません。

この条件では範囲の端も含むため、19 mmと21 mmを範囲内に数えます。端を含むか否かを読み落とすと、同じ数値でも本数が変わります。また、全体の散らばりが同じでも、どの値が範囲外かまでは分散だけから復元できません。元の記録を残して、判断に必要な条件と照合します。

誤答を直す：偏差の和を二乗しない

基本例題のA群について「偏差を足してから二乗したので分散は0」とした答えを考えます。-2 + 0 + 0 + 2 = 0という偏差の和は正しい計算です。しかし、和を二乗すると、すでに打ち消された差は取り戻せません。

図3のように、二乗する位置を各偏差の直後に移します。4、0、0、4を足して4本で割れば、分散は2 mm²です。平均に偏差を戻すと8 mmと12 mmが存在するため、散らばり0という結論とは一致しません。

別の誤りとして、二乗和8を4本で割らずに8 mm²を分散とする場合があります。8 mm²は合計、2 mm²は1本あたりの二乗偏差の平均です。計算途中の値に名前と単位を付けておくと、合計と平均を区別できます。

また、値が1つ欠けたとき、空欄を0 mmとして計算すると別の部品を勝手に追加したことになります。元の記録を確認し、欠けた値が復元できなければ対象全体の分散は確定できません。観測できた値だけで計算するなら、対象と件数が変わったことを明記します。測定の入力が長さ以外の文字なら、そのまま数値として扱わず、記録に戻って修正します。

練習問題

次の問題も学習用の加工長です。指定された記録を対象全体とし、同じ値は本数分数えます。欠損が明記されていないものは欠損なしです。途中では丸めず、指定された単位と形で答えてください。

1. 3本の長さが4、5、6 mmです。平均、各偏差、分散、標準偏差を求めてください。分散は分数のmm²、標準偏差は根号を使ったmmで示します。
2. 4本の長さが3、3、7、7 cmです。平均と分散を求め、偏差から元の4本を復元してください。分散はcm²で示します。
3. 2本の長さが2、6 cmです。mmに変換した場合の平均、分散、標準偏差を求め、元のcmによる結果と対応させてください。1 cm = 10 mmとします。
4. 3本の長さが12、12、12 mmです。分散と標準偏差を求め、目標が10 mmのとき、散らばり0から目標に一致すると言えるか答えてください。
5. 4本分の記録が7、9、空欄、10 mmです。空欄は0 mmとは限りません。4本全体の分散が確定するか答え、記録を復元できない場合に、記録済みの3本に限って平均と分散を求めてください。分散は分数のmm²で示します。

練習問題の答えと解き方

1. 差を二乗してから平均する

合計は4 + 5 + 6 = 15 mmです。 平均は15 / 3 = 5 mmです。 偏差は-1、0、1 mmです。 二乗は1、0、1 mm²で、二乗和は2 mm²です。 分散は2 / 3 mm²、標準偏差は√(2 / 3) mmです。 平均5に偏差を足すと4、5、6に戻り、3本の合計も15 mmです。偏差の和が0でも、両端は平均から1 mm離れています。

2. 同じ値を本数分だけ扱う

合計は3 + 3 + 7 + 7 = 20 cmです。 平均は20 / 4 = 5 cmです。 偏差は-2、-2、2、2 cmです。 二乗は4、4、4、4 cm²で、二乗和は16 cm²です。 分散は16 / 4 = 4 cm²です。 5に各偏差を足すと3、3、7、7 cmに戻ります。重複した長さも別の部品なので、2種類として割らず4本で割ります。

3. 換算後の二乗の単位に注意する

cmのままでは合計8 cm、平均4 cmです。 偏差は-2、2 cm、二乗は4、4 cm²です。 分散は8 / 2 = 4 cm²、標準偏差は2 cmです。 mmに直すと20、60 mmで、平均は80 / 2 = 40 mmです。 偏差は-20、20 mm、二乗は400、400 mm²です。 分散は800 / 2 = 400 mm²、標準偏差は20 mmです。 40に偏差を戻すと20、60 mmになり、それぞれ2、6 cmに戻ります。数値は標準偏差が10倍、分散が100倍ですが、同じ長さの記録です。

4. 目標への近さは別に確認する

合計は36 mm、平均は36 / 3 = 12 mmです。 偏差は0、0、0 mm、二乗も0、0、0 mm²です。 分散は0 mm²、標準偏差は0 mmです。 12に偏差を戻すと3本とも12 mmです。互いに同じ長さですが、目標10 mmとの差は各2 mmなので、目標に一致するとは言えません。

5. 空欄を勝手に埋めない

4本目までの対象に空欄があるので、4本全体の平均も分散も確定しません。空欄が7 mmか10 mmかでも元データが変わります。原記録を確認し、復元できない場合は欠損のまま残します。

記録済み3本に限ると、合計は7 + 9 + 10 = 26 mmです。 平均は26 / 3 mmです。 偏差は順に-5 / 3、1 / 3、4 / 3 mmです。 二乗は25 / 9、1 / 9、16 / 9 mm²です。 二乗和は42 / 9 = 14 / 3 mm²です。 分散は(14 / 3) / 3 = 14 / 9 mm²です。 平均に各偏差を足すと7、9、10 mmに戻り、合計26 mmも一致します。この結果は記録済みの3本を表し、欠けた1本を含む4本の分散ではありません。

覚えておくこと

• 偏差の合計0は、散らばり0を意味しません。
• 各偏差を二乗して足し、対象の件数nで割ると分散です。
• 標準偏差は分散の負でない平方根で、元の値と同じ単位です。
• 単位を変えると、偏差と標準偏差は同じ倍率、分散はその倍率の二乗で変わります。
• 散らばりに加えて目標、許容範囲、欠損の有無を確かめます。

偏差の符号で迷うときは、平均より短い値から平均を引けば負になることを、元の長さに戻して確認します。分母に迷うときは、表の行数と同じ値の本数を数え、対象全体の分散か不偏分散かを問題文から選びます。個別指導では、二乗の前に足していないか、単位の換算後に分散を何倍したかを、途中の表と元の記録を並べて確認します。散らばりの数字は、どの部品を数えたかと一緒に読むことで意味を持ちます。