高校情報I 四分位数と箱ひげ図—分位点の規則と元の分布を照らして比較の限界を読む｜武蔵野個別指導塾

配送時間から四分位数を求め、同じ箱ひげ図になる別の記録を作って読み取れる情報の限界を探ります。

よくあるのは、配送にかかった時間の箱ひげ図を見て、横に長い箱の方が人数も多いと考える場面です。箱の幅は時間の差を表し、件数を直接表しません。学習用に作った配送所要時間を小さい順に並べ、四分位数から図を作り直すと、その違いを確かめられます。

出方には、元データから5つの値を求める型、2つの箱を同じ尺度で比べる型、同じ図になる別のデータを作って図の限界を説明する型があります。どの型でも、最初に中央値の扱いとひげの端を確認します。

5つの値と箱の役割

配送所要時間を短い順に並べたとき、中央にある値を中央値、または第2四分位数と呼びます。個数が偶数なら、中央の2個の平均です。個数が奇数なら、中央の1個が中央値です。ここでは奇数個のとき、その中央の1個を除いて残りを上下に分けます。偶数個なら同じ個数ずつ上下に分けます。下半分の中央値が第1四分位数、上半分の中央値が第3四分位数です。

たとえば9個なら、中央の5番目を除き、1番目から4番目と6番目から9番目に分けます。それぞれ4個なので、下半分では2番目と3番目、上半分では7番目と8番目の平均を使います。同じ値が繰り返されても、別の記録として個数に含めます。並べ替えの途中で重複を消すと、位置が変わってしまいます。

図1のように、箱の左端が第1四分位数、箱の中の線が中央値、右端が第3四分位数です。第3四分位数から第1四分位数を引いた値を四分位範囲と呼び、中央付近の広がりを表します。今回のひげは箱の端から最小値と最大値まで伸ばします。外れ値を別の点にしてひげの端を決める方式もありますが、その図と混ぜて読んではいけません。

箱の左右の区間は、それぞれ並べた記録の約4分の1に対応します。ただし境界に同じ値が複数ある場合や個数が少ない場合、区間の端にある実際の件数を機械的に4分の1と数えることはできません。たとえば境界値が2個の平均なら、その値の記録自体がないこともあります。箱の幅は人数ではなく時間の幅です。単位を分から秒に直せば幅の数値も変わりますが、記録の件数は変わりません。幅が長い区間は、その部分の値が広く散らばる可能性を示しますが、内部の値が等間隔とは限りません。

比較する箱ひげ図では単位、数直線の向きと目盛り、対象の条件をそろえます。配送時間が短い方が望ましいという目的なら中央値や最大値を比べる意味がありますが、一つの値だけで配送方法の優劣は決まりません。件数、配送先、集め方が違えば、差の理由も図からは特定できません。元の記録に空欄があるときは0分に置き換えず、何件が対象外かと処理の理由を残します。全件が空欄なら中央値も箱も作れません。

基本例題：9件の配送時間から箱を作る

ある配送の所要時間を学習用に9件作りました。単位は分で、欠損はありません。記録は 12, 4, 9, 6, 15, 7, 11, 5, 8 です。小さい順に並べ、最小値、第1四分位数、中央値、第3四分位数、最大値を分単位で求め、四分位範囲も答えてください。奇数個では中央を除き、ひげは最小値と最大値までとします。

並べ直すと 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 15 です。

9個の中央は5番目なので、中央値は8分です。

下半分は 4, 5, 6, 7 です。その中央2個は5と6なので、第1四分位数は (5 + 6) / 2 = 5.5分です。

上半分は 9, 11, 12, 15 です。その中央2個は11と12なので、第3四分位数は (11 + 12) / 2 = 11.5分です。

最小値は4分、最大値は15分です。四分位範囲は 11.5 − 5.5 = 6分です。

図2のように5つの値を数直線上に置くと、箱は5.5分から11.5分、中央の線は8分です。左のひげは4分まで、右のひげは15分までです。並べた元の9件に戻ると、中央値より下に4件、上に4件あります。下半分の中央は5分と6分の間、上半分の中央は11分と12分の間ですから、図の端点も計算と一致します。

ここで5.5分や11.5分という配送が実際にあったと答えることはできません。どちらも2件の平均であり、元の記録にはありません。また、箱の中に9件の半数ちょうどが入ると端点だけを見て数えるのも適切ではありません。図を描く手順と、実際の件数を数える手順を分けておきます。

標準例題：異なる記録から同じ箱を作る

次の2組は、それぞれ9件の配送時間です。単位は分、欠損はありません。上と同じ四分位数とひげの規則で、それぞれの5つの値を求め、同じ箱ひげ図になるかを答えてください。さらに、10分以下の件数をそれぞれ数え、図からその件数が決まるか説明してください。

A: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 20

B: 2, 3, 7, 9, 10, 11, 13, 17, 20

Aの中央値は5番目の10分です。下半分の中央は4と6、上半分の中央は14と16です。

Aの第1四分位数は (4 + 6) / 2 = 5分、第3四分位数は (14 + 16) / 2 = 15分です。

Bの中央値も5番目の10分です。下半分の中央は3と7、上半分の中央は13と17です。

Bの第1四分位数は (3 + 7) / 2 = 5分、第3四分位数は (13 + 17) / 2 = 15分です。

両方とも最小値は2分、最大値は20分なので、5つの値は順に 2, 5, 10, 15, 20 分です。同じ尺度なら箱とひげは重なります。元の記録に戻して10分以下を数えると、AもBも5件です。この条件では中央値が10分で、重複もないため、10分以下の件数はどちらも5件です。

それでも元データが一致するわけではありません。たとえば4分の記録はAにありBにはありません。5つの値を残したまま内部の値を動かせるため、箱ひげ図から4分の件数を決定することはできません。中央値と上下の中央の平均、両端を維持するように元データを組み立てると、失われる情報を具体的に示せます。図が同じでも配送記録の中身まで同じだと結論しないことが要点です。

発展例題：箱の幅と件数を切り分ける

配送方法CとDについて、それぞれ8件の所要時間を分単位で示します。欠損はなく、同じ尺度で比較します。前と同じ規則で5つの値と四分位範囲を求め、「箱が広いDはCより配送件数が多い」という主張を検証してください。

C: 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12

D: 2, 3, 4, 6, 10, 14, 15, 18

Cの中央は4番目と5番目なので、中央値は (7 + 8) / 2 = 7.5分です。

Cの下半分は3, 5, 6, 7、上半分は8, 9, 10, 12です。

第1四分位数は (5 + 6) / 2 = 5.5分、第3四分位数は (9 + 10) / 2 = 9.5分です。

最小値は3分、最大値は12分、四分位範囲は 9.5 − 5.5 = 4分です。

Dの中央値は (6 + 10) / 2 = 8分です。

Dの下半分は2, 3, 4, 6、上半分は10, 14, 15, 18です。

第1四分位数は (3 + 4) / 2 = 3.5分、第3四分位数は (14 + 15) / 2 = 14.5分です。

最小値は2分、最大値は18分、四分位範囲は 14.5 − 3.5 = 11分です。

箱の幅はDの方が7分広いですが、元の記録を数えると両方8件です。したがって主張は誤りです。Dの中央付近の時間はCより広がっていますが、幅から件数の多さは判断できません。元の並びに各端点を戻すと、Cの5.5分は5と6の間、Dの14.5分は14と15の間にあり、端点とデータの対応も確かめられます。

箱の横幅が広い部分にも狭い部分にも、記録が等間隔に並んでいるとは限りません。さらに、この2組では件数が等しいと問題文が与えていますが、箱ひげ図だけでは一般に件数そのものもわかりません。尺度をそろえた上で、広がりと件数を別の情報として読みます。

誤答を直す：中央値を二度使わない

7件の配送時間が 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13 分のとき、中央値7分を下半分と上半分の両方に入れ、第1四分位数を4分、第3四分位数を10分とする誤答を考えます。これは今回の規則に反します。7を両方に入れると、下を1, 3, 5, 7、上を7, 9, 11, 13として平均を求めてしまうからです。

図3のように、正しくは中央の7を除き、下を1, 3, 5、上を9, 11, 13とします。各3個の中央はそれぞれ3と11です。よって5つの値は1, 3, 7, 11, 13分です。元の7件へ戻ると中央の前後に3件ずつあり、下の中央が3、上の中央が11であることを確認できます。

別の規則で求めた値を見かけても、数字だけで誤りと断定せず、中央値を含めたかを調べます。規則の指定がなければ、解答に採用した規則を添えます。ひげの方式が不明なら、端が最大値なのか別の条件で選んだ値なのかも確認します。図の端から読み取れない条件を勝手に補うと、比較の結論が変わる場合があります。

練習問題

各問の時間は分単位の学習用データで、空欄は特に示した場合を除きありません。奇数個の中央値は上下に含めず、ひげは最小値と最大値までとします。値は小数または整数で答え、丸めは不要です。

1. 5件の配送時間が 10, 2, 8, 4, 6 です。並べ替え、5つの値と四分位範囲を分単位で答えてください。
2. 6件の配送時間が 3, 5, 7, 9, 11, 13 です。5つの値を分単位で答え、中央値が実際の記録にあるか答えてください。
3. 7件の配送時間が 2, 4, 4, 6, 8, 8, 12 です。重複を残して5つの値と四分位範囲を分単位で求め、8分の記録の件数を答えてください。
4. 7件の記録が 1, 3, 5, 7, 9, 11, 15 分です。5つの値を保ち、5分の記録がない別の7件を小さい順に1組作ってください。値は整数とします。
5. 5件のうち、4件は 3, 5, 7, 9 分で、残り1件は空欄です。空欄を0分とした場合の中央値と、空欄を除いた場合の中央値を分単位で求め、記録が不明なときに採るべき扱いを説明してください。

練習の答えと解き方

1. 並べると 2, 4, 6, 8, 10 です。中央は6、下の2個の平均は3、上の2個の平均は9です。5つの値は順に 2, 3, 6, 9, 10 分、四分位範囲は 9 − 3 = 6分です。元の5件へ戻すと、中央の前後に2件ずつあり、端は2分と10分です。

2. 中央の2個は7と9なので、中央値は (7 + 9) / 2 = 8分です。下の3個の中央は5、上の3個の中央は11です。5つの値は 3, 5, 8, 11, 13 分です。8分は元の記録にありません。中央の7と9の平均が8になることを戻して確かめます。

3. 中央は4番目の6です。下の 2, 4, 4 の中央は4、上の 8, 8, 12 の中央は8です。5つの値は 2, 4, 6, 8, 12 分、四分位範囲は4分です。8分の記録は2件です。同じ値を別の記録として残すと7件になり、中央の位置も4番目に戻ります。

4. 例は 1, 3, 4, 7, 10, 11, 15 分です。中央は7、下の3個の中央は3、上の3個の中央は11です。両端も1と15なので、元の5つの値 1, 3, 7, 11, 15 分と一致します。作った7件に5分はなく、箱ひげ図だけでは5分の記録の有無を決められません。

5. 0を入れると 0, 3, 5, 7, 9 の中央は5分です。空欄を除けば 3, 5, 7, 9 の中央は (5 + 7) / 2 = 6分です。0は実際に測った値ではないため、不明のまま区別し、除いて集計するなら対象4件と空欄1件を明記します。元の5件に戻ると、4件の値と1件の不明が保たれます。欠損の理由が判明すれば記録を確かめた上で処理を見直します。

覚えておくこと

奇数個では中央を除いて上下の中央値を求めます。 箱の幅は四分位範囲であり、件数ではありません。 ひげの端の規則と尺度を確かめて比較します。 同じ箱ひげ図でも元の記録は異なり得ます。

つまずきの見分け方

答えの四分位数がずれたら、まず並べ替えた記録の個数と中央の位置を指で追います。次に上下へ分けた記録を実際に書き、中央を重複していないか確認します。個別指導では、箱の幅を人数と説明した箇所に戻り、同じ件数で幅の違う2組を作って比べます。5つの値を元の記録へ戻せば、図が残す情報と落とす情報の境界が見えてきます。